2018届中考数学名师复习课件练习第20讲直角三角形2份打包

第20讲直角三角形数学1．(2017·温州)四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S

的小正方形EFGH.已知AM

为Rt△ABM

较长直角边，AM＝2

2EF，求正方形

ABCD

的面积．解：设AM＝2a，BM＝b，则正方形ABCD

的面积＝4a2＋b2，由题意可知EF＝(2a－b)－2(a－b)＝2a－b－2a＋2b＝b，∵AM＝2

2EF，∴2a＝2

2

b，∴a＝

2b，∵正方形EFGH

的面积为S，∴b2＝S，∴正方形ABCD

的面积＝4a2＋b2＝9b2＝9S2．(2017·丽水)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，求正方形EFGH的边长．解：图中三角形面积为(14×14－2×2)÷8＝24，正方形EFGH

面积为24×4＋2×2＝96＋4＝100，100＝10，即正方形EFGH

的边长为103．(2017·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2＋A′D2＝A′B2，∴BD2＋22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2米1．如图，在△ABC

中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD

是△ABC

的角平)分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝(A.

3B．2C．3D.

3＋2C解：连结CD，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8.∵作法可知BC＝CD＝4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD＝AD＝4，∴BF＝DF＝2，∴AF＝AD＋DF＝4＋2＝612．如图，在△ABC

中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C

为圆心，CB

长为半径作弧，交AB

于点D；再分别以点B

和点D

为圆心，大于2BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE

交AB

于点F，求AF

的长．3．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2,l2，l3之间的距离为3，求AC的长．【解析】分别过点A，C作AF⊥l3,

CE⊥l3，构造一对全等的三角形．解：分别过点A，C

作AF⊥l3，CE⊥l3，则有△ABF≌△BCE，BF＝CE＝5，在Rt△ABF

中，AB＝

AF2＋BF2＝

34，在Rt△ABC

中，AC＝

AB2＋BC2＝2

174．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，求AB的长．【解析】根据勾股定理得到

CE＝

2a，根据直角三角形的性质可得到结论．解：∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，∴CE＝

2a，∵在△ABC

中，∠ACB＝90°，点

E

是

AB

的中点，∴AB＝2CE＝2

2a【解析】易知AB＝BC＝10，四边形BDEF为正方形，∴EF＝DE＝AF＝DC，∴正方形的周长为AB＋BC＝20，∴正方形边长为5，∴S正方形EFBD＝5×5＝25.5．如图，在Rt△ABC

中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10

2，四边形

BDEF

是△ABC

的内接正方形(点D，E，F

在三角形的边上)．则此正方形的面积是

25

．6.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，求FP的长．＝60°，得出∠PEF＝∠CEF＝1【解析】根据折叠的性质，知EC＝EP＝2a＝2DE；则∠DPE＝30°，∠DEP2(180°－60°)＝

60°，从而∠PFE＝30°，得出EF＝2EP＝4a，再由勾股定理，得出FP

的长．解：∵DC＝3DE＝3a，∴DE＝a，EC＝2a.根据折叠的性质，EC＝EP＝2a；∠PEF＝∠CEF，∠EPF＝∠C＝90°.根据矩形的性质，∠D＝90°，在Rt△DPE

中，EP＝2DE＝2a，∴∠DPE＝30°，∠DEP＝60°.∴∠PEF＝∠CEF

1(180°－60°)＝

60°.∴在Rt△EPF

中，∠PFE＝30°，∴EF＝2EP＝2＝4a.在Rt△EPF

中，∠EPF＝90°，EP＝2a，EF＝4a，∴根据勾股定理，得FP＝

EF2－EP2＝2

3a7．(2018·预测)如图，在四边形ABCD

中，AB⊥BC，AB＝5，BC＝12，AD＝9，CD＝5

10，求四边形ABCD

的面积．解：连结

AC，∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴AC＝

AB2＋BC2＝13，∵在

△ACD

中，AC2＋AD2＝132＋92＝250，CD2＝(5

10)2＝250，∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠DAC＝90°，∴S

四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD1＝1BC·AB＋

AD·AC2

2＝1×12×5

1×9×13

1772

＋2

＝

28．(2018·预测)如图，将一矩形纸片ABCD

折叠，使两个顶点A，C

重合，折痕为FG.若AB＝4，BC＝8，求△ABF

的面积．1解：∵将一矩形纸片ABCD

折叠，使两个顶点A，C

重合，折痕为FG，∴

FG

是AC

的垂直平分线，∴AF＝CF，设AF＝FC＝x，在Rt△ABF

中，由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2，42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即CF＝5，BF＝8－5＝3，∴△ABF

的面积为2×3×4＝69．如图，在△ABC

中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E

是AC

上一点，连结BE.如图

1，若

AB＝4

2，BE＝5，求

AE

的长；如图2，点D

是线段BE

延长线上一点，过点A

作AF⊥BD

于点F，连结CD，CF，当AF＝DF

时，求证：DC＝BC.【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到

AC＝BC＝

2

＝4，根据勾2

AB股定理得到

CE＝

BE2－BC2＝3，于是得到结论；(2)得到∠CFB＝∠CAB＝45°，求得∠DFC＝∠AFC＝135°，根据全等三角形的性质即可得到结论．解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC＝BC＝

2

＝4，∵BE＝52

AB∴CE＝

BE2－BC2＝3，∴AE＝4－3＝1(2)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∵AF⊥BD，∴∠AFB＝∠ACB＝90°，∴A，F，C，B

四点共圆，∴∠CFB＝∠CAB＝45°，∴∠DFC＝∠AFC＝135°，在△ACF

与△DCF

中，∵AF＝DF，∠AFC＝∠DFC，CF＝CF，∴△ACF≌△DCF，∴DC＝AC，∵AC＝BC，∴DC＝BC10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连结BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．解：(1)在△ACD

中，∵M，N

分别是AC，CD

的中点，∴MN∥AD

且1

1MN＝2AD.在Rt△ABC

中，∵M

是AC

的中点．∴BM＝2AC.又∵AC＝AD，∴MN＝BM(2)∵∠BAD＝60°且AC

平分∠BAD.∴∠BAC＝∠DAC＝30°.由(1)知，1AC＝AM＝MC.∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.∵MNBM＝2∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°.∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°.∴BN2＝BM2＋MN2.而由(1)知，MN＝BM＝211AC＝

×2＝1，BN＝

2211．(2018·预测)如图，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于

A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，求△CDE周长的最小值．【解析】作点C关于y轴的对称点C1(－1，0)，点C关于AB的对称点C2，连结

C1C2

交OA于点E，交AB于点D，则此时△CDE的周长最小，且最小值等于

C1C2的长．解：∵OA＝OB＝7，∴CB＝6，∠ABC＝45°.∵AB

垂直平分CC2，∴∠CBC2＝90°，C2

的坐标为(7，6)．在Rt△C1BC2

中，C1C2＝

C1B2＋C2B2＝82＋62＝10，即△CDE

周长的最小值是10)，DA＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是(A．24平方米B．36平方米

C．48平方米

D．72平方米【解析】连结AC，∴AC＝5，而DC＝12，AD＝13.AC＝5

恰好满足勾股定理AC2＋CD2＝AD2.∴AC⊥CD，∴S＝112×3×4＋2×5×12＝6＋30＝36.12．一住宅小区有一块草坪如图所示，已知AB＝3米B，BC＝4米，CD＝12米13．如图，长方体的底面边长分别为1

cm和3

cm，高为6

cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短的长度需要多少厘米？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最