多元函数极值及其求法

编高等数学电子教案Absolute

maximum

and

minmum

valuesof

functions

of

several

variables一、问题的提出二、多元函数的极值和最值

三、条件极值拉格朗日乘数法四、小结思考题高等数学福娃欢欢家明丁亥年三月写于安财大课前练习一、问题的提出二、二元函数的极值和最值、二元函数极值的定义、二元函数取极值条件、二元函数的最值三、条件极值及拉格朗日乘数法3.1、无条件极值与

条件极值3.2、拉格朗日乘数法四、小结五、思考题若f

(x0

,y)及f

(x,y0

)在(x0

,y0

)点均取得极值，则0

0f

(

x,

y)在点(

x

,

y

)是否也取得极值？六、作业Page612；4；6；8；10。.,梯度为零的点是1.u

=x

2

+2

y2

+3z

2

+3

x

-2

y在点(1,1,2)处的梯度是¶u解：

=

2

x

+

3,¶x=

4

y

-

2,¶y¶u=

5,\

¶u¶y

(1,1,2)¶u¶x

(1,1,2)

¶z

(1,1,2)=

2,

¶u=

12.

¶u

¶u

¶u

\

gradu(1,1,2)

=

(

i

+

j

+

k

)

=

5i

+

2

j

+

12k

.¶x

¶y

¶z

(1,1,2)

5i

+

2

j

+

12k

当gradu

=(2

x

+3)i

+(4

y

-2)j

+6zk

=0时,2

21,

,0).2

2x

=-3

,y

=1

,z

=0,即梯度为零的点是(-3,

,0)¶u

2

2

=

6z,¶z(-

3

1实例某商店卖两种牌子的果汁，本地每瓶进价1元，外地每瓶进价1.2元，店主估计，若本地的每瓶卖x元，外地的每瓶卖y元，则每天可卖出70-5x+4y瓶本地的果汁，80+6x-7y瓶外地的果汁。问:店主每天以什么价格卖两种的果汁可取得最大收益？进价:1元,

售价:x元,

收益:x

-1元/瓶,每天可卖出70-5x+4y瓶;进价:1.2元,

售价:y元,

收益:y-1.2元/瓶,每天可卖出80+6x-7y瓶.f

(x,

y)

=

(x-1)(70-5x+4y)+(y-1.2)(80+6x-7y)结论：求最大收益即为求二元函数的最大值。本地牌子外地牌子每天收益2.1、二元函数极值的定义⑴实例:

观察二元函数xy2

y2

的图形ex

+z

=

-⑵概念

若z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,

若对于该空心邻域内的任何点(x,y)都有f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0))，则称z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极大(小)值,(x0,y0)称为极xyzO(x0,

y0)0

0大(小)值点.

(x,

y)

„(x

,

y

)使(1)f

(x,y)<f

(x0,y0

)fi

极大值(x0,y0

)极大值点(2)f

(x,y)>f

(x0,y0

)fi

极小值(x0,y0

)极小值点(极值)(极值点)注：极值有两个特征①局部性；②内部性：极值点在定义域内部。yzO例1

求z

=f

(x,y)=3

x2

+4

y2的极值．解z¢=6x

=0z¢y

=8y

=0由

x而(x,y)≠(0,0)时,

f(0,0)=0<3x2+4y2=f(x,y)，

x所以f(0,0)=0是该函数的极小值。可得驻点(0,0)例2

求z

=-x

2

+y2的极值．xyzO解:由zx2

+

y2xx=

-yyx2

+

y2,z

=-知,不存在驻点,但在点(0,0)处偏导不存在。2

=

f

(x,

y)当(x,y)≠(0,0)时,有：f

(0,0)=0>-所以f(0,0)=

0是该函数的极大值。偏导数不存x2

+y

在的点可能是极值点。例3

函数z

=xy在(0,0)处无极值．解:由Oxyzz

=

xyz

=

x

=0zx=y=0

可得唯一驻点(0,0)y而该点的任一邻域内y=x与y=-x上,总有:f(x,-x)=-

x2<0=f(0,0)f(x,x)=

x2>0=f(0,0)所以驻点(0,0)不是该函数的极值点。⑶n元函数极值的定义设u=f(P)定义域为D，P0˛D，$U(P0)D，"P˛

U(P0)且P≠P0,都有f(P)<f(P0)，则称f(P)在点P0有极大值；若都有f(P)>f(P0)，则称f(P)在点P0有极小值。2.2、可微函数极值存在的必要条件0y

=

y

z

=

f

(

x,

y)若f

(x0

,y0

)极大值,xzO0

0(x

,

y

)

交线f

(x,y0

)中f

(x0

,y0

)仍极大值,z

=

f

(

x,

y0

)在x0处导数为0

f

x

(

x0

,

y0

)

=

0y

z

=

f

(

x,

y)0

x

=

x

交线f

(x0

,y)中f

(x0

,y0

)仍极大值,z

=

f

(

x,

y0

)在y0处导数为0

f

y

(

x0

,

y0

)

=

0定理:设z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)

处有极值,则有f'x(x0,y0)=0,

f'y(x0,y0)=0.

费马引理的推广注1

若fx(x0,y0)=0,

fy(x0,y0)=0,称(x0,y0)为函数的驻点.注2

函数的极值点可能为驻点及偏导数不存在的点推广：若u=f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)具有偏导数，且在点(x0,y0,z0)处有极值的必要条件为：fx(x0,y0,z0)=0，fy(x0,y0,z0)=0，fz(x0,y0,z0)=0

.驻点：仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.定理1结论：具有偏导数的函数之极值点必是驻点，但驻点未必是极值点，如(0,0)是z=xy的驻点，但函数在该点并无极值。极值点究竟在哪里？答：与一元函数类似，二元函数的极值点可能在驻点取,也可能在偏导数不存在的点取得.故求极值可以到驻点及偏导数不存在的点中去寻找.判定一个驻点是否为极值点用如下方法：2.3、极值存在的充分条件定理

设z=f(x,y)在驻点(x0,y0)的某邻域内具有二阶连续偏导数,

记

A

=

f

x¢¢x

(

x0

,

y0

),

B

=

f

x¢¢y

(

x0

,

y0

),

C

=

f

y¢¢y

(

x0

,

y0

),⑴若B2

-AC<0,f(x0,y0)为极值,且当A<0或C<0时f(x0,y0)是极大值,当A>0或C>0时f(x0,y0)是极小值；⑵若B2

-AC>0,

f(x0,y0)不为极值;⑶若B2

-AC=0,

f(x0,y0)是否极值不确定(用多元泰勒证).B2-AC-+0A或C+-f(x0,y0)极小值极大值非极值待定求函数z=f(x,y)极值的一般步骤：第一步解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0求出实数解,得驻点;第二步

对每个驻点(x0,y0),

求出各二阶偏导数的值A、B、C;第三步定出B2

-AC的符号，再判定是否是极值.例4

求f

(

x,

y)

=

(6

x

-

x2

)(4

y

-

y2

)的极值.解：¢

¢22f

=

(6

x

-

x

)(4-

y

)

=

0-

2

y)

=

0f

=

(6

-

2

x)(4

yyx令

x

=3或y

=0,y

=4

x

=0或x

=6,y

=2得驻点(3,2),(0,0),(6,0),(6,4),(0,4).xy

yy又由f

¢

=-2(4

y

-y2

),f

¢

=(6

-2

x)(4

-2

y),f

¢

=-2(6

x

-x2

)xx(1)在点(3,2)处,A

=

-8,

B

=

0,C

=

-18,\

B2

-

AC

=

-144

<

0,故f

(3,2)=36为函数的极大值;>

0驻点(3,2),(0,0),(6,0),(6,4),(0,4).xx

xy

yyf

¢

=

-2(4

y

-

y2

),

f

¢

=

(6

-

2

x)(4

-

2

y),

f

¢

=

-2(6

x

-

x2

)(2)在点(0,0)处,A

=0,B

=24,C

=0,\B2

-AC

=242故f

(0,0)不为极值或(0,0)不为极值点;在点(6,0)处,A

=0,B

=-24,C

=0,\B2

-AC

=242故(6,0)不为极值点;在点(6,4)处,

A

=

0,

B

=

24,

C

=

0,

\

B2

-

AC

=

242故(6,4)不为极值点;在点(0,4)处,A

=0,B

=-24,C

=0,\B2

-AC

=242故(0,4)不为极值点.>

0>

0>

021=

-

4

<

0当z

=

6时，

A例5求由方程x2

+y2

+z2

-2

x

+2

y

-4z

-10

=0确定的函数z

=f

(x,y)的极值x

x2

y

+

2z

z¢y

+

2

-

4z¢y

=

02

x

+

2z z¢-

2

-

4z¢=

0解方程两边分别对x,y求偏导令z'x=0,

z'y=0代入方程组,得驻点：P(1,-1)将上方程组再分别对x,y求偏导数，得,2

-

z1,

B

=

z¢xy

|P

=

0,C

=

z¢yy

|P

=2

-

z1xx

PA

=

z¢

|

=(z

„

2)<

01(2

-

z)2故B2

-AC

=-函数在P

有极值.将P(1,-1)代入原方程,

有z1

=

-2,z2

=

6,11=

4

>

0当z

=

-2时，

A,故z

=f

(1,-1)=-2为极小值；,故z

=f

(1,-1)=6为极大值.2.4、最值的概念

"(x,y)˛

Df

(x,y)‡f

(x0

,y0

)fi

最小值,(x0,y0

)fi

最小值点;f

(x,y)£

f

(x0

,y0

)fi

最大值,(x0

,y0

)fi

最大值点.(最值)(最值点)注：与极值区别：①极值:

> <,

局部性,内部性；②最值:≤≥,除区域内部以外最值可能在边界取得。2.5、闭区域上连续函数最值的求法步骤:①求区域内部的驻点及不可导点;②求区域边界上的驻点及不可导点;③计算上述各点函数值,区域顶点(边界交点)函数值;④比较这些值中最大最小，即为函数在D上的最值。解:(1)令

f

x¢=2

x

+y

+1

=0

驻点(-1,1)

f

¢=

x

+

2

y

-

1

=

0y例6

求z

=f

(x,y)=x2

+xy

+y2

+x

-y

+1在D上的最值,其中D由y

=x

+3,x

=0及y

=0围成.xoyy

=

x

+

3(2)求边界上驻点,共有三条边界①在x

=0上,z

=f

(0,y)=y2

-y

+121(0,

);2令z

=

2y

-1

=

0,

得y

=

1

,

即驻点②在y

=0上,z

=f

(x,0)=x2

+x

+12

2令z

=

2

x

+

1

=

0,

得x

=

-

1

,于是得驻点(-

1

,0);③2

2在y

=

x

+3上,

z

=

x

+

x(x

+3)+(x

+3)

+

x

-(x

+3)+1=

3

x

2

+

9

x

+

7令z

=

6

x

+

9

=

032得x

=-2

23

3,驻点(-

,

);32此时y

=xoyy

=

x

+

3(3)

f

(-1,1)

=

0f

(0,

1

)

=

32

4f

(0,0)

=

1f

(-

1

,0)

=

32

4f

(0,3)

=

7f

(-

3

,

3

)

=

12

2

4f

(-3,0)

=

7\

fmax

=

f

(0,3)

=

f

(-3,0)

=

7fmin

=

f

(-1,1)

=

0★注：一元:唯一极值必为最值；二元:唯一极值未必为最值(带弹性的低用手指顶个尖)但实际问题中，若存在最大最小值时，则唯一的极大值就是最大值，唯一的极小值就是最小值。最值

例7某厂生产A,B两种产品,出售单价分别为10元和9应用

元,生产x单位A产品和y单位B产品时的总成本为C(x,y)=400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2

) (元)则在畅销情况下,两产品各生产多少可获最大利润？解：利润为L(x,y)=10

x

+9

y

-C(x,y)=8x+6y-

400-0.01(3x2+xy+3y2)

(x≥0,y≥0)L¢x

=

8

-

0.06x

-

0.01y

=

0y令L¢=6

-0.01x

-0.06

y

=0得唯一驻点(120,80)又Lxx

=-0.06,Lxy

=-0.01,Lyy

=-0.06知B2

-

AC

=

(0.01)2

-(0.06)2

<

0\(120,80)是极大值点,也是实际问题的最大值点.即生产120件A产品,80件B产品可获最大利润.例8拟建造一个容积为18m3的长方体无盖水池且侧面单位面积造价为底面单位面积造价的3/4，则如何设计水池的尺寸，才能使总造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x、y、z米，侧、底面单位面积造价为3a、4a(元),则水池的总造价S为：S

=

3a(2xz

+

2

yz)

+4axy由V

=xyz=18,27

27x

y+

+

xy)得z

=18/xy,代入上式得S

=4a((x

>

0,

y

>

0)¢

¢22S

=

4a(x

-

27/

y

)

=

0S

=

4a(

y

-

27/

x

)

=

0y

x令可得唯一驻点(3,3)。xx

xy又S¢

=8a

·27/x3

,S¢

=4a,S¢

=8a

·27/y3则A

=8a,B

=4a,C

=8a,yyB2

-

AC

<

0点(3,3)为S的极小值点也即实际问题的最小值点。

当长、宽、高分别为3米、3米、2米时,总造价最低。例9

(期末试题)生产两种产品,当产量分别为x1

,

x2

,

总成本C(x

,x

)=x2

+x

x

+x2

,而两种产品的需求函数为1

2

1

1

2

2x1

=40

-2

p1

+p2

,x2

=15

+p1

-p2是两种产品的价格,试问工厂如何定价可使利润最大.1

2

1

1

2

2解:

利润L(

x

,

x

)

=

p

x

+

p

x

-

C(

x1

,

x2

)

p1

=

55

-

x1

-

x222

1

p

=

70

-

x

-

2

x1

2

2

1

21=

-2

x2

-

3

x

x

-

3

x2

+

55

x

+

70

x¢2

2x

1令L¢

=

-3x

-6x

+

70

=

01

2=

-4x

-

3x

+

55

=

0Lx1可得唯一驻点(8,23/3)。=-6

故B2

-AC

=-15

<01

1

1

2

2

2=

-3,

Lx

x又Lx

x

=

-4,

Lx

x点(8,23/3)为L的极大值点也即实际问题的最大值点。3

3

31

2=

23

时,

p

=

39

1

,

p

=

46

2

,

此时利润最大.1

2当x

=

8,

x解:1

1

2

2

1

2L

=

R

-

C

=

p

Q

+

p

Q

-

C(Q

,

Q

)例10某厂生产的产品在两个市场上销售,价格分别为p1

,p2,销售分别为Q1

,Q2且Q1

=

24

-

0.2

p1

,

Q2

=

10

-

0.05

p2总成本函数C(Q1

,Q2

)=40(Q1

+Q2

)+35则如何确定两市场销售,可使总利润最大?=

p1

(24

-0.2

p1

)

+

p2

(10

-0.05

p2

)-40(24

-0.2

p1

+10

-0.05

p2

)

-

35222

2=

32

p1

-0.2

p1

+12

p

-0.05

p

-1395(

p1

>

0,

p2

>

0)=

32

-

0.4

p1

=

01¶p¶L-1395(

p1

>

0,

p2

>

0)2+12

p2

-0.05

p22L

=

32

p1

-0.2

p122¶p令¶L

=

12

-

0.1

p

=

0得唯一驻点:

(

80

,120

)

1

p2

=

120

p

=

80=

-0.12¶2

L1

21

2=

-0.4

<

0,

=

0,22又¶

L¶p¶p

p¶2

L¶pB2

-

AC

=

0-(-0.4)·(-0.1)

=

-0.04<

0\(80,120)是极大值点,也是实际问题的最大值点.即p1

=

80,

p2

=

120时,利润最大.P

2

(x)dx最小.12求多项式-1P(x)=x

+ax

+b,使积分值1-12P

(

x)dx

=

s(a,

b)设s

=as12

2¢(

x

+

ax

+

b)

dx]a=[¢-1积分不影响对a求导,可以交换求导和积分的次序.-11s¢=

2(

x2

+

ax

+

b)

xdxa=1-13

2(2

x

+

2ax

+

2bx)dx对称区间上的奇函数=1-122ax

dx=

4a102x

dxa4

令

3=0

\

a

=

0b12

2¢(

x

+

ax

+

b)

dx]bs

=[¢-1=1-122(

x

+

ax

+

b)

1dx2(2

x

+

2ax

+

2b)dx对称区间上的奇函数=1-11-1210x3

+

bx)31=

2

(

x

+

b)dx

=

4(3=

4(

1

+

b)

令

0同理1\

b

=

-33\

P(

x)

=

x

2

-

13.1、无条件极值与条件极值⑴无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件。实例:小王有200元钱,他决定用来购买计算机磁盘和录音磁带,设他购买x张磁盘,y盒录音磁带达到最佳效果,效果函数U(x,y)=lnx+lny,每张磁盘8元,每盒磁带10元,问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质:求目标函数u(x,y)=lnx+lny在约束条件8x+10y=200下的极值．⑵条件极值：对自变量有附加条件的极值。x张磁盘单价:8元y盒录音磁带单价:10元⑴问题

设目标函数:

f

(

x,

y),

约束条件:

j

(

x,

y)

=

0,3.2、条件极值的解法求f

(x,y)在j

(x,y)=0条件下的极值.①代入法(降元法):(做为首选方法)由j

(x,y)=0解出y代入目标函数.自变量少的；极值好判断的。缺陷:自变量较多时,或解不出某个自变量时,不适用.②拉格朗日乘数法:适用范围很广⑵二元函数拉格朗日乘数法步骤：①以数l(拉格朗日乘数)乘j

(x,y)后与f(x,y)相加,得拉格朗日函数:

F(x,y,l)=

f(x,y)+

lj

(x,y);②解方程组F

¢=

j

(

x,

y)

=

0

l消去l,解出(x0,y0)即为可能的极值点。③根据实际意义判断(x0,y0)是否为最值点。Fx¢=

f

x¢+

lj

¢x

=

0y

y

yF

¢=

f

¢+

lj

¢=

0根据问题的实际意义,最大利润是存在的,故点(3.8,2.2)即A种产品生产3.8千件,B种产品生产2.2千件时利润最大，且最大利润变L(3.8,2.2)=22.2(万元)。例1

生产A产品x千件,与B产品y千件,获得利润为L(x,y)=6

x

-x2

+16

y

-4

y2

-2(万元)若生产每千件A,B产品均需材料2000公斤,求在原料共有12000公斤时两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大利润为多少?(注:一般表示原料全用完)解:目标函数L(x,y)，约束条件为2(x+y)=12，设拉格朗日函数为F

(x,y,l)=6x

-x2

+16

y

-4

y2

-2

+l(x

+y

-6)Fx¢=

6

-

2

x

+

l

=

0F

¢=

x

+

y

-

6

=

0

ly令F

¢=16

-8

y

+l

=0

,解得:x=3.8,y=2.2(唯一驻点)注:所求极值点不为最大值点即为最小值点，故与边界点求出函数值进行比较，即得最大值还是最小值。法二(代入法)由x+y

=6得y

=6-x,则L

=

6

x

-

x2

+

16(6

-

x)

-

4(6

-

x)2

-

2=

-5

x

2

+

38

x

-

50令L¢=-10

x

+38

=0又L

=

-10

<

0(0

£

x

£

6)得唯一驻点x

=3.8,故x

=3.8为极大值点,也是实际问题的最大值点,此时y

=2.2.例2

销售某种生产需要两种形式的广告,当两种广告费各为x1

,x2

(万元)时,增加收入为y

=1

2150

x

25

x210

+

x+

(万元),5

+

x若以25万元作为广告费,则如何分配使增加收入最大?解:设拉格朗日函数为1

2211

25

+

x

10

+

x50

x

25

xF

(

x

,

x

,

l)=

1

+

2

+

l(

x +

x

-

25)-

25

=

0¢+

l

=

02502501

2F

=

x

+

xF

¢

=

l令

x11(10

+

x

)21(5

+

x

)2x2+

l

=

0,

F

¢

=解得唯一组解:x1=15,

x2=10,由问题的实际意义知最大值存在,故两种产品的广告费分别为15万元、10万元时可使增加的收入达到最大。例3

某企业生产两种不同型号的机器，当产量分别为x,y台时，总成本函数为

：C(x,y)=x2-xy+2y2（万元）如果两种机器共生产8台，则各生产多少可使总成本最少?最少成本是多少？解:要求函数总成本C(x,y)在约束条件x+y=8下的极值作拉格朗日函数

F(x,y,l)=x2-xy+2y2+l(x+y-8)

F

F解方程组

x=2

x

-y

+l

=0

得:x=5,y=3(唯一驻点)=

-

x

+

4

y

+

l

=

0x

+

y

-

8

=

0y∴当两种型号的机器各生产5台和3台时,其总成本最少.

此时总成本为:C(5,3)=52-5×3+2×32=28(万)⑶二元以上,约束条件为多个的拉格朗日乘数法F

¢

=y

(

x,

y,

z)

=

0l21Fz¢=

fz¢(

x,

y,

z)

+

l1j

z¢(

x,

y,

z)

+

l2y

z¢(

x,

y,

z)

=

0,F(

x,

y,

z,

l1

,l2

)

=

f

(

x,

y,

z)

+

l1j(

x,

y,

z)

+

l2y

(

x,

y,

z)Fx

=

f

x

(

x,

y,

z)

+

l1j

x

(

x,

y,

z)

+

l2y

x

(

x,

y,

z)

=

0,Fy¢=

f

y¢(

x,

y,

z)

+

l1j

¢y

(

x,

y,

z)

+

l2y

¢y

(

x,

y,

z)

=

0,Fl¢

=

j

(

x,

y,

z)

=

0.约束条件:

j

(

x,

y,

z)

=

0y

(

x,

y,

z)

=

0目标函数:u

=f

(x,y,z)则构建拉格朗日函数令消去l1,l2解出(x0,y0,z0)，则(x0,y0,z0)就是可能的极值点.⑷拉格朗日乘数法的推广f

(

x1

,

x2

,,

xn

)目标函数:约束条件:j1

(x1

,x2

,,xn

)=0j2

(

x1

,

x2

,,

xn

)

=

0jm

(

x1

,

x2

,,

xn

)

=

0则构建拉格朗日函数F

(

x1

,

x2

,,

xn

,

l1

,

l2

,,

lm

)

=

f

+

l1j1

+

l2j2

++

lmjmjm

=

0Fx¢

=

0nj1

=

0Fx

=

012j

=

02Fx¢

=

0令消去l1,l2,……,lm,解出(x1,x1,x2,……,xn)，则(x1,

x1,x2,……,xn)就是可能的极值点.拉格朗日乘数法对于自变量很多的情况,均可解之.解：设所分三个正数分别为x,y,zFx¢=

yz

+

l

=

0zx

+

y

+

z

=

aF

¢=

xy

+

l

=

0yF

¢=

xz

+

l

=

0则则问题化为求S=xyz,在约束条件x+y+z=a下的条件极值设拉格朗日函数F(x,y,z,l)=xyz+l(x

+y

+z

-a)3a可得x

=y

=z

=即唯一驻点(,

,

)3

3

3a

a

a正数a三等分时，可使其乘积为最大。例4

将正数a分成三个正数之和使其乘积为最大.例5

标准椭圆a2

+

b2=1

找出面积最大,底边平行x2

y2yBA

(x,

y)xC

(0,-b)于x轴的内接等腰三角形.解:设三角形底边的A点坐标为(x,y)则三角形底边的B点坐标为(-x,y)因为是等腰三角形,C点坐标为SD

=

x(

y

+

b)(0,-b)则问题化为求S=x(y+b),在约束条件

+

2

=

1a

2

bx

2

y2下的条件极值x2

y2设拉格朗日函数

F(x,

y,l)

=

xy+bx+l(

+

-1)a2

b2a2

b2x2

y2设拉格朗日函数

F(x,

y,l)

=

xy+bx+l(

+

-1)

a2¢b2

x2

y2F

=a2x

+

y

=

0yx2lb2+ =

1F

¢=

y

+

b

+

2l

x

=

0则b2a,

y

=

32x

=可得即驻点

(

3

a,

b

)2

22

2a,b

)时,三角形面积最大.3由实际意义:A点为(=

3 3

ab4Smax例6

求z

=x2

+

y2

+1x

+

y的最大值和最小值.解

由zx

==

0,(

x2

+

y2

+

1)2(

x2

+

y2

+

1)

-

2

x(

x

+

y)=

0,(

x2

+

y2

+

1)2(

x2

+

y2

+

1)

-

2

y(

x

+

y)zy

=得驻点(1

11

1,

)和(-

,-

),2

2

2

22

22

2

2z(

1

,

1

)

=

1

,

z(-

1

,-

1

)

=

-

1

,2x

+

y因为limxfi

¥

x2

+

y2

+

1=0

即边界上的值为零.yfi

¥所以所求函数的最大值为2，最小值为1

-

12

.⑴拉格朗日乘数法要找函数z

=f

(x,y)在条件j

(x,y)=0下的可能极值点，先构造函数F

(x,y)=f

(x,y)+lj(x,y)，其中l

为某一常数，可由

fx

(

x,

y)

+

lj

x

(

x,

y)

=

0,yyj

(

x,

y)

=

0.

f

(

x,

y)

+

lj

(

x,

y)

=

0,解出x,y,l

，其中x,y就是可能的极值点的坐标.3.2、拉格朗日乘数法约束方程解令F

(x,y,z)=x3

y2

z

+l(x

+y

+z

-12),x

+

y

+

z

=

12+

l

=

03=

2

x

yzF

¢zF

¢=

x3

y2

+

l

=

0yxF

=

3

x2

y2

z

+

l

=

0则例7

将正数12分成三个正数x,y,z

之和,使得

u

=x3

y2

z为最大.解得唯一驻点(6,4,2)，42=

63