圆锥曲线存在性问题

1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点,线,图形并用代数形式进行表示.再结合题目条件进行分析,若能求出相应的要素,则假设成立；否则2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替(2)直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量)（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧:（1）特殊值(点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件,然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。（2）核心变量的选取:因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素,所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量,必要的时候消去。（3）核心变量的求法:②间接法:若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量)的离心率为-2于A,B两点,当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为.2(2)C上是否存在点P,使得当l绕F旋转到某一位置时,有OP=OA+OB成立?若存在,=22(c,0)22:d-:椭圆方程为:x2椭圆方程为:2:ly02222-622(6k24k)22:P|22:2.2+32:72k422)2)2)2:24k22(2,0)不在椭圆上3:3x2例2:过椭圆Γ:+a2y2焦点，已知AFB的周长为8，椭圆的离心率为1332（1）求椭圆Γ的方程（2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P,Q，且c1:ax24椭圆Γ:x24椭圆Γ:（2）假设满足条件的圆为x2+y2=r2，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内:0<r<1:O-l:O-lk2+12)x22-4lx222-4:x+x=-,xx=124k2+1124k2+12:224k24=4k2将m2：r2=：r2=-5)4552524=5F(c,0)和F(c,0)（1）求椭圆C的方程（2）设椭圆C与x轴负半轴交点为A,过点M(一4,0)作斜率为k(k产0)的直线l，交椭圆C于B,D两点（B在M,D之间)，N为BD中点，并设直线ON的斜率为k11②是否存在实数k，使得FN1c-a」AD？如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明1=2=2:x2──+y2(2,:椭圆方程为:x2)，联立方程:221-42x-32k24k2xx=124k2+3:x02=12=-004k2+3:k=0=-0:②假设存在实数k,使得FN」AD，则k1AD:22222=2ADx4k2x24k2x22-2常x因为D在椭圆上,所以xe[-2,2]，矛盾2所以不存在符合条件的直线l02222（2)过点F的直线l与椭圆相交于A,B两点,过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程;若不存在,说明理由解:（1）l与圆相切0::O-l5(3)x2y2x2y2:(2)由椭圆方程可得:F(1,0)2联立直线l与椭圆方程：:Δ14k22)(2:2x-x联立直线PQ与椭圆方程:2.ΔΔ12222(2-)Δ:)23-4（1）求椭圆C的离心率e的取值范围1(2)设双曲线C以椭圆C的焦点为顶点,顶点为焦点，B是双曲线C在第一象限上任意一点，当e取得最小值时,试问是否存在常数λ(λ>0)，使得经BAF=λ经BFA恒成立?若存在，求出λ的值;若不存在，请说明理由解1)设P(x,y),F(-c,0),F(c,0)x2y2由-+=1可得:y2=b2-x2代入可得:a2(b2)2-c22-c2=x22-c2xe[-a,a]22222常222-12x2双曲线方程为 y2-42所以2,下面证明2对任意B点均使得BAFBFA成立考虑tanBAF1 yyx0cx2y22y202022结论得证例6：如图，椭圆E:x2y21ab-圆相交于A,B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22(1)求椭圆E的方程2y-00常0(2）在平面直角坐标系xOy2y-00常0恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由ca222x2y2:2b2由直线l被椭圆E截得的线段长为22及椭圆的对称性可得:2x244:a2=4y22(2)当l与x::Q在AB的中垂线上，即Q位于y轴上，设Q(0,y)0当l与x轴垂直时，则A(0,2B(0,-2)::0::000:y=20:Q(0,2)下面判断Q(0,2)能否对任意直线均成立22y-2y-2①QAQBxxxx22222直径的圆经过椭圆C的右焦点F（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点,它们到直线l的距离之积等于1?若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在,请说明理由AP为直径的圆经过F::—.+.222x2:椭圆方程为22所以依题意:M1lk2M1l22=12k2MlMMlMl①:22lx2222)2::2例8:已知椭圆C:x2+4y2=1的左右焦点分别为F,F，点P是C上任意一点，O是坐(1）求点Q的轨迹C的方程2,其中M,N是C上的点，且直线OM,ON2的斜率之积等于__-4坐标；若不存在，请说明理由(3)(3)|,_y0,_y0::2:x242=+=+2 :1,离心率为,离心率为=21=一2)2)+4xx+16yyM,N是C上的点22221222x2y2x2+y2所以存在定点A,B25,抛物线G:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线l过G的5焦点与E交于A,B,与G交于C,D（1)求椭圆E及抛物线G的方程(2)是否存在常数λ,使得1+λ为常数？若存在求出λ的值；若不存在，请说明Flx252:y2=8x20k2-52220k220k2-52:)2:x+x1:+14k24k2CD:CD:k2λ22λ22λ:λ=-1655x2y2—3直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A,B两点，当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的3（1）求椭圆C的方程(2)是否存在点E,使得+为定值?若存在，EA2EB2请求出点E的坐标,并求出该定值；若不存在，请说明理由c-a663当l与x轴垂直且E为右焦点时,AB为通径00:AB=2a3x2:+y2y2(2)思路：本题若直接用用字母表示A,E,B坐标并表示EA,EB，则所求式子较为复杂,不易于计算定值与E的坐标。因为E要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出E点及定值，再取判定(或证明）该点在其它直线中能否使得──+为定值.解:(2)假设存在点E,设E(x,0)直线AB与x轴重合，则A-6,0,直线AB与x轴重合，则A-6,0,B6,0::若直线AB与x轴垂直，则A,B关于x轴对称y2xy2 0+63x2:3x2:+=EA2EB22x2x2366-x200:)()06-x2:22222-：+：+2y2EA2EB22() )2() )1+=1EB122)1+2212为定值,定值为212为定值2+若E(12为定值2+2为定值2,使得为定值2,使得+I22三、历年好题精选(3)1l:x=4上一点M引椭圆E的两条切线,切点分别是（1）求椭圆E的方程2(3）是否存在实数λ,使得AC+BC=λAC.BC恒成立?(点C为直线AB恒过的定点)，若存在,求出λ的值;若不存在，请说明理由(1）求椭圆C的方程(2）设A,B分别是椭圆C的左右顶点，P,Q是椭圆C上异于A,B的两个动点，直线1λ(λeR)，使得S=λS恒成立？若存在，求出λ的值,若不存在，请说明理由F(c,0)和F(c,0)(1）求椭圆C的方程(2)设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M(一4,0)作斜率为k(k子0)的直线l,交椭圆C于B,D两点（B在M,D之间）,N为BD中点,并设直线ON的斜率为k11②是否存在实数k，使得FN」AD？如果存在,求直线l的方程；如果不存在,请说明理由1=36，定点N(5,0)，点P为圆M上的动点，点Q在（1)求点G的轨迹C的方程）？l的方程;若不存在,试说明理由y22:y+y2:y+y（1）求双曲线E的离心率(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l,l于A,B两点（A,B分别在第一、四象限），且OAB的面积恒为8，试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在请说明理由习题答案:(3)2x2y2:（2）设切点坐标为A(x,y),B(x,y)，直线上一点M(4,t)，依题意可得:(xxyy(yt:3因为两点唯一确定一条直线:3联立方程:联立方程:++(y-y)323++(y-y)3232(6t)22+22+21(21(t2：+12x-yx-y222（y1y2（y1y2)2--27232、解析：(1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0)：c=1222-b2x2y2─+x2y2─+(2)由(1)可得:A(-2,0),B(2,0)，若直线PQ斜率存在2B到直线PQ的距离d22S：1=S21112d=1=d2联立方程:〈22-2-12=4k2--APAQx2-12k2y0012222,代入到（*)可得:y001222224k2)，交点与A重合，不符题意SS21=1=_____2 2c-a32,x2(2)①证明：设B(x,y),D(x,y),线段BD的中点N(x,y)