勾股定理与几何最值问题

关于勾股定理与几何最值问题第1页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三

你对刚才动画是怎样理解的？看了之后你想到了什么？

我思考,我进步没有思考，就没有进步第2页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三小村民中

李艳玲第3页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三数学的灵魂是什么？

——数学思想第4页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三数学家的智慧：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”第5页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三这就是匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个生动有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法解题的。追问：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”物理学家的答案：“点燃煤气，再把水壶放上去。”数学家的答案：“只须把水壶中的水倒掉，问题就转化为前面所说的问题了”。数学家的智慧：第6页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三

所谓化归思想，就是将一个较为复杂的问题Ａ通过转化变形，使其归结为另一个较为简单的问题Ｂ，从而使问题Ａ得到解决．

常用的化归方法有：立体问题转化为平面问题；折线问题转化为直线问题；多元问题转化为一元问题，高次问题转化为低次问题…化归第7页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三立体图形中的最短距离问题第8页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三蚂蚁怎样走最近

立体图形中的最值问题1第9页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三AB101010BCA10

立体图形中的最值小结：把正方体表面展开，就把立体图形中的问题转化为平面问题解决。问题1第10页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三拓展1：正方体长方体把问题1中的正方体变为长方体，长方体的长为4cm,宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁从A到B沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？AB第11页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三提示：蚂蚁由A爬到B过程中最短的路径有多少种？(1)经过前面和上底面;(2)经过前面和右侧面;(3)经过左侧面和上底面.AB24AB1C421BCA421BCA第12页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三

怎样才能在最短的时间内，找到长方体表面上两点之间的最短路线？

没有归纳总结,就没有提高问题拓展：

设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a＞b＞c，则小蚂蚁从A爬到B的最短路径是提示：；比较的大小即比较ab、bc、ac的大小。第13页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三拓展2长方体圆柱体如图所示，有一个高为12cm，底面半径为3cm的圆柱，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到圆柱上底面上与A点相对的B点处的食物，问这只蚂蚁沿着侧面需要爬行的最短路程为多少厘米？(的值取3)AB

立体图形中的最值AB第14页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三

没有归纳总结,就没有提高

立体图形上两点间的最短问题一般都是通过把立体图形的表面展开成平面图形，再利用“两点间距离最短”的方法解决。方法指导：第15页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三聪明的葛藤

葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上。如图(1)所示。葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着最短路径——螺旋线前进的。若将树干的侧面展开成一个平面，如图（2），可清楚的看出葛藤在这个平面上是沿直线上升的。（1）（2）数学奇闻第16页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三有一棵树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）ABC20尺3×7=21（尺）聪明的葛藤第17页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三

生活中常会遇到最短距离问题，建设中常常会遇到最佳位置的选择问题。例如:将军饮马（古代)问题，

抽水站的最佳位置，

建桥问题…这些问题都可以化归为：平面中线段和的最值问题。第18页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三

问题.如图，在河边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站，为节约材料，要使它到两个村庄的距离最短，请你确定水泵站的位置？AB河边●●

平面图形中的线段最值2第19页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三进一步思考（将军饮马）如图，在河边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站，为节约材料，要使它到两个村庄的距离最短，请你确定水泵站的位置？C河边A1●●AB利用对称：将两条线段的和转化到一条直线上，运用两点之间线段最短求最小值

平面图形中的最值同侧两点向异侧转化第20页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三

活动二如图，河流与公路所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角内．现在要在河边建一个码头C，在公路边D修建一个仓库，工人们从公司出发，先到河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短．河流公路●A公司●B●C

平面图形中的最值第21页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三河流公路●A公司●A1●A2c●●D活动二

抽象成数学模型：点A在∠MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使AC+AB+BC（即⊿ABC的周长）的距离最短。利用对称：将三角形三边和，转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值第22页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三例：如图正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的点，BE=3，点P是对角线BD上一动点，（1）则EP+PC的最小值为

。ABECDPP第23页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三例1：如图正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的点，BE=3，点P是对角线BD上一动点，F是CD上的点，（2）若CF=6，则EP+PF的最小值为

。ABECDPF第24页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三例1：如图正方形ABCD中，AB=8，E是BC的上的点，BE=3，，F是CD上的点，(3)则∆AFF的最小值为

。ABECDF第25页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三(4)如图，如图正方形ABCD中，AB=8，∠DAC的平分线交DC于点F，若点M、N分别是AD和AF上的动点，则NM+ND的最小值是

。MNF第26页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三AOBPMNA1B1第27页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三2、如图，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边中线,M是AD上一动点,E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM最小值是

。

方法总结：求两条线段和最小时，做其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一个定点，与这条直线的交点即为所求做的动点，利用轴对称的性质转化为把两条线段之和转化为一条线段。第28页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三2、如图，在锐角△ABC中，AB=4

∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和上的动点，则BM+MN的最小值是

。总结：求一条线段的最小值通常作垂线，利用垂线段最短。在“练一练”第二题综合运用轴对称的性质和垂线段最短。第29页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三活动一：甲、乙两村之间隔一条河，如图所示．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？

平面图形中的最值第30页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三活动一：甲、乙两村之间隔一条河，如图所示．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？

平面图形中的最值●●BA第31页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三B●AB1●c●●D●活动一：甲、乙两村之间隔一条河，如图所示．现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？利用平移：将折线和的最小值，转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值第32页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三

活动二

抽象成数学模型：点A在∠MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使AC+AB+BC（即⊿ABC的周长）的距离最短。NM●A公司●B●CO提示一：求三角形周长的最小值可转化为一条直线上第33页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三活动三：根据上述原理回答：在两条互相垂直的公路a、b旁有两个居民小区A、B，现要在这两条公路旁建立两奶站向两居民区供奶，应建在何处，使得两居民小区A、B与这两个奶站所围成的四边形的周长最小？

我思考,我进步变式思考活跃思维＊＊BA公路a公路bC●D●第34页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三活动三

抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。

我思考,我进步变式思考活跃思维＊＊BA公路a公路bC●D●提示一：AB为定值，只需求折线AD、CD、BC和的最小值。第35页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三

我思考,我进步变式思考活跃思维＊＊BA公路a公路bB1A1CD利用对称：三边和转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值活动四

抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。第36页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三化归方法小结亲爱的同学们，你们会运用这个数学思想了吗？客观问题抽象数学化数学问题找准目标模型把问题化归成模型数学模型得解运用模型求解第37页，讲稿共41页，2023年5月2日，星期三

归纳总结反思本节课我们学会了什么，我们会在中考中运用它吗？寄语：思想指导方法，方法解决问题；学会思考，学会创造。方法归纳