湖南省怀化市林城镇中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

湖南省怀化市林城镇中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数z满足（其中i是虚数单位），则为（A） （B）

（C）

（D）参考答案：B2.设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围是 A． B． C． D．参考答案：C3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为（）A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.设集合，，则（

）A．{(－1,1),(1,1)} B． C．[0,2] D．参考答案：B∵集合∴集合∵集合∴集合∴故选B.

5.按照如图的程序运行，则输出的K值为（） A．2 B． 3 C． 4 D． 5参考答案：B6.设不等式组

表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是A.

B.

C.

D.参考答案：D不等式对应的区域为三角形DEF,当点D在线段BC上时，点D到直线的距离等于2，所以要使点D到直线的距离大于2，则点D应在三角形BCF中。各点的坐标为,所以,根据几何概型可知所求概率为,选D.

7.若A，B，C三点不共线，||=2，||=3||，则?的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先设，再求出=3x，由题意画出图形，再由三角形三边的性质求出x的范围，把边长代入余弦定理的推论求出cosC的表达式，代入化简，由二次函数的性质求出它的范围．【解答】解：设，则=3x，由于A，B，C三点不共线，能构成三角形，如下图：由三角形三边的性质得，，解得，由余弦定理的推论得，cosC===，∴=cosC=3x2×=5x2﹣2，由得，5x2﹣2＜3，故选D．8.某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m3的住户的户数为()A.10 B.50 C.60 D.140参考答案：C从频率分布直方图可知，用水量超过15m3的住户的频率为，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为，故选C9.（2011宁夏）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的函数是（）A．

B．

C．

D．参考答案：B是奇函数且在（0，+）单调递增，排除A；是偶函数，在（0，+）单调递减，排除C；是偶函数，当（0，+）时，，所以在（0，+）单调递减，排除D；是偶函数，在（0，+）上，，单调递增。综上选择B。10.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则

()A.－3 B.－1 C.1 D.3参考答案：C试题分析：，分别是定义在上偶函数和奇函数，所以，故.考点：函数的奇偶性.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数若，则实数

．参考答案：12.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为_________.参考答案：13.双曲线的两条渐近线的方程为

▲

参考答案：14.在边长为2的正三角形ABC中，以A为圆心，为半径画一弧，分别交AB，AC于D，E．若在△ABC这一平面区域内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE内的概率是

△

．参考答案：答案：15.已知向量，的夹角为，且||=，||=2．在△ABC中，=2+2，=2﹣6，D为BC边的中点，则||=．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】根据题意，由向量的加法，分析可得=（+）=（2+2+2﹣6）=2﹣2，则有||2=（2﹣2）2=42﹣8?+42，由数量积计算可得||2，进而可得答案．【解答】解：根据题意，在△ABC中，D为BC边的中点，则=（+）=（2+2+2﹣6）=2﹣2，有||2=（2﹣2）2=42﹣8?+42=4，即||=2；故答案为2．【点评】本题考查向量的数量积的运用，关键是用与表示．16.已知函数,则是最小正周期为的奇函数

最小正周期为的偶函数最小正周期为的奇函数

最小正周期为的偶函数参考答案：17.若平面向量，满足，平行于轴，，则=

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的左右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：当点在椭圆上运动时，恒为定值.参考答案：解：（1）由题意可知，，

……………1分而，

……………2分且.

……………3分解得，

……………4分所以，椭圆的方程为.

……………5分（2）.设，，

……………6分直线的方程为，令，则，即；

……………8分19.（10分）如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE于点E，延长ED与圆O交于点C．（1）证明：DA平分∠BDE；（2）若AB=4，AE=2，求CD的长．参考答案：考点： 相似三角形的判定．专题： 几何证明．分析： （1）由于AE是⊙O的切线，可得∠DAE=∠ABD．由于BD是⊙O的直径，可得∠BAD=90°，因此∠ABD+∠ADB=90°，∠ADE+∠DAE=90°，即可得出∠ADB=∠ADE．．（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，可得，BD=2AD．因此∠ABD=30°．利用DE=AEtan30°．切割线定理可得：AE2=DE?CE，即可解出．解答： （1）证明：∵AE是⊙O的切线，∴∠DAE=∠ABD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，又∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADB=∠ADE．∴DA平分∠BDE．（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，∴，∴，化为BD=2AD．∴∠ABD=30°．∴∠DAE=30°．∴DE=AEtan30°=．由切割线定理可得：AE2=DE?CE，∴，解得CD=．点评： 本题考查了弦切角定理、圆的性质、相似三角形的性质、直角三角形的边角公式、切割线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.两会结束后，房价问题仍是国民关注的热点问题，某高校金融学一班的学生对某城市居民对房价的承受能力（如能买每平方米6千元的房子即承受能力为6千元）的调查作为社会实践，进行调查统计，将承受能力数据按区间[2.5，3.5），[3.5，4.5），[4.5，5.5），[5.5，6.5），[6.5，7.5]（千元）进行分组，得到如下统计图：（1）求a的值，并估计该城市居民的平均承受能力是多少元；（2）若用分层抽样的方法，从承受能力在[3.5，4.5）与[5.5，6.5）的居民中抽取5人，在抽取的5人中随机取2人，求2人的承受能力不同的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据各组的累积频率为1，构造关于a的方程，解方程可得a的值，累加每组组中值与频率的积，可估算出该城市居民的平均承受能力是多少元；（2）先计算出在抽取的5人中随机取2人的情况种数，再计算出2人的承受能力不同的情况种数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（1）由各组的累积频率为1，可得：0.1+0.1+0.14+0.45+a=1，所以a=0.21，平均承受能力，即城市居民的平均承受能力大约为5070元；

（2）用分层抽样的方法在这两组中抽5人，即[3.5，4.5）组中抽2人与[5.5，6.5）抽3人，设[3.5，4.5）组中两人为A1，A2，[5.5，6.5）组中三人为B1，B2，B2，从这5人中随机取2人，有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10中，符合两人承受能力不同的有A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3共6中，所以所求概率为．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，频率分布直方图，是统计和概率的综合应用，难度不大，属于基础题．21.如图，在三棱柱中，侧面，与相交于点,是上的点，且平面，，，.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若异面直线和所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值.

参考答案：（Ⅰ）证明：（法一）作中点,连结.因为是中点,所以, 又平面,且平面平面.所以，所以四边形是平行四边形.所以,所以是中点.……3分因为在中，，，，所以.由平面几何知识易得,.所以,又侧面且平面.所以且，所以平面……6分证明：（法二）作中点,连结.因为是中点,所以，且平面,平面.所以平面,又平面,且.所以平面平面,又平面.所以平面,又平面且平面平面.所以,所以是中点.……3分因为在中，，，，所以.由平面几何知识易得,.所以,又侧面且平面.所以且，所以平面.……6分（Ⅱ）解：因为，所以异面直线和所成角为直线和所成角，即在中，，所以.……8分由（Ⅰ）问知，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则,,所以，，设平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取则，取

所以，即二面角的平面角的余弦值为.………12分22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，PA=2，E为PB的中点，点F在棱PC上，且PF=λPC．（1）求直线CE与直线PD所成角的余弦值；（2）当直线BF与平面CDE所成的角最大时，求此时λ的值．参考答案：【分析】（1）以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出CE与PD所成角的余弦值．（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出λ的值．【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（1，1，0）、P（0，0，2）、D（1，0，0）、E（0，，1），…=（﹣1，﹣，1），=（1，0，﹣2），∴cos＜，＞=