刚体转动及角动量

关于刚体转动及角动量第1页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三内容提要本章内容Contentschapter4刚体的定轴转动rotationofrigid-bodywithafixedaxis刚体作定轴转动时的功能关系relationofworkwithenergyinrotationofrigid-body角动量与角动量守恒angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum刚体的角动量守恒lawofconservationofangularmomentumofrigid-body第2页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三第一节角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律4-1angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum一、角动量angularmomentumrOmv速度位矢质量角夹rv大量天文观测表明rmvsin常量大小：Lrmvsin方向：rmv()rvL定义：rpLrmv运动质点mO对

点的角动量为角动量与角动量守恒定律角动量与角动量守恒定律Angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum第3页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三问题的提出二、质点的角动量定理及其守恒定律theoremofparticalangularmomentumanditsconservation地球上的单摆大小会变变太阳系中的行星sin大小未必会变。靠什么判断？变变变sin大小角动量质点对点的问题的提出第4页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三质点角动量定理导致角动量随时间变化的根本原因是什么？思路：分析与什么有关？由则两平行矢量的叉乘积为零得角动量的时间变化率质点对参考点的位置矢量所受的合外力等于叉乘质点的角动量定理第5页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三微分形式是力矩的矢量表达：而即力矩大小sin方向垂直于所决定的平面，由右螺旋法则定指向。得质点对给定参考点的角动量的时间变化率所受的合外力矩称为质点的角动量定理

的微分形式

如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正向，用代数法求合力矩。第6页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三积分形式质点的角动量定理也可用积分形式表达由称为冲量矩角动量的增量这就是质点的角动量定理

的积分形式例如，单摆的角动量大小为L=

mvr,v为变量。

在t=0时从水平位置静止释放，初角动量大小为L0=mv0r=0；时刻t

下摆至铅垂位置，

角动量大小为L⊥

=

mv⊥r。则此过程单摆所受的冲量矩大小等于L-L0=mv⊥r=

mr2gr。第7页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三归纳归纳质点的角动量定理角动量的时间变化率所受的合外力矩冲量矩角动量的增量微分形式积分形式特例：当0时，有0即物理意义：当质点不受外力矩或合外力矩为零（如有心力作用）时，质点的角动量前后不改变。（后面再以定律的形式表述这一重要结论）第8页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三质点角动量守恒质点的角动量守恒定律根据质点的角动量定理

若则即常矢量当质点所受的合外力对某参考点的力矩为零时，质点对该点的角动量的时间变化率为零，即质点对该点的角动量守恒。质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律称为若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。第9页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三开普勒第二定律应用质点的角动量守恒定律可以证明开普勒第二定律行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积第10页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三定律证明证：时刻m对O的角动量大小为sin即因行星受的合外力总指向是太阳，角动量守恒。瞬间位矢扫过的微面积则常量（称为掠面速率）故，位矢在相同时间内扫过的面积相等第11页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三质点系角动量三、质点系的角动量定理theoremofangularmomentumofparticalsystem质点系的角动量质点系的角动量各质点对给定参考点的角动量的矢量和惯性系中某给定参考点第12页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三质点系角动量定理质点系的角动量定理将对时间求导内力矩在求矢量和时成对相消内内外外某给定参考点内外外内外得外质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式第13页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三微、积分形式质点系的角动量定理将对时间求导内力矩在求矢量和时成对相消内内外外某给定参考点内外外内外得外质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理称为微分形式外质点系的角动量的时间变化率质点受外力矩的矢量和质点系的角动量定理的微分形式质点系所受的质点系的冲量矩角动量增量质点系的角动量定理的积分形式

若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。第14页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三质点系角动量守恒质点系的角动量守恒定律外由若则或恒矢量当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。第15页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三随堂小议结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。（请点击你要选择的项目）两人质量相等一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略第16页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三小议链接1（请点击你要选择的项目）两人质量相等一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。第17页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三小议链接2（请点击你要选择的项目）两人质量相等一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。第18页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三小议链接3（请点击你要选择的项目）两人质量相等一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。第19页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三小议链接4（请点击你要选择的项目）两人质量相等一人握绳不动一人用力上爬随堂小议可能出现的情况是终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略结束选择（1）（2）（3）（4）两人同时到达；用力上爬者先到；握绳不动者先到；以上结果都不对。第20页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三小议分析同高从静态开始往上爬忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系若系统受合外力矩为零，角动量守恒。系统的初态角动量系统的末态角动量得不论体力强弱，两人等速上升。若系统受合外力矩不为零，角动量不守恒。可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。第21页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三第二节刚体运动的分类rotationofrigid-bodywithafixedaxis刚体的定轴转动刚体的定轴转动4-2

刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）平动刚体任意两点的连线保持方向不变。各点的相同，可当作质点处理。定轴转动刚体每点绕同一轴线作圆周运动，且转轴空间位置及方向不变。平面运动

刚体质心限制在一平面内，转轴可平动，但始终垂直于该平面且通过质心定点运动

刚体上各质点都以某一定点为球心的各个球面上运动。一般运动

复杂的运动与平动的混合。rotationofrigidbodywithafixedaxis刚体的定轴转动刚体的定轴转动第22页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三定轴转动参量刚体转轴1.角位置转动平面（包含p并与转轴垂直）(t)(t+△t)参考方向刚体中任一点刚体定轴转动的运动方程2.角位移3.角速度常量静止匀角速变角速4.角加速度变角加速常量匀角加速匀角速用矢量表示或时，它们与刚体的转动方向采用右螺旋定则描述刚体定轴转动的物理量描述刚体定轴转动的物理量第23页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三转动方程求导例题单位：rad-1rads-2rads已知rad

50p

51p

52p

53p1radstsrad100p150pst

50pp2radstsp解法提要-1rads-2rads匀变角速定轴转动第24页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三积分求转动方程已知任意时刻的恒量且

t

=0时得解法提要得或匀变角速定轴转动的角位移方程匀变角速定轴转动的运动方程第25页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三线量与角量的关系定轴转动刚体在某时刻t

的瞬时角速度为，瞬时角加速度为，已知刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P

的大小瞬时线速度瞬时切向加速度瞬时法向加速度这是定轴转动中线量与角量的基本关系解法提要第26页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三公式对比质点直线运动或刚体平动刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度位移角位移匀速直线运动匀角速定轴转动匀变速直线运动匀变角速定轴转动第27页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三刚体转动定律引言刚体的转动定律刚体的转动定律质点的运动定律或刚体平动F

=

m

a惯性质量合外力合加速度若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？主要概念使刚体产生转动效果的合外力矩刚体的转动定律刚体的转动惯量第28页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三合外力矩外力在转动平面上对转轴的力矩使刚体发生转动M

=

r

×

F111力矩切向1FtFrM叉乘右螺旋1M2MM

=

r

×

F222M

=

r

F

sinj222大小2r2=2Ftd2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM

=

r

F

sinj111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2切向一、外力矩与合外力矩方向第29页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三转动定律某质元fi受内力受外力FiFi+f=aii其法向n分量均通过转轴，不产生转动力矩。t其切向投影式为ijFisin+ifsinqit=ai=ribtnFiOrifiijqi瞬时角速度角加速度瞬时等式两边乘以ri并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbri∑得Mbri∑=二、刚体的转动定律第30页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三转动惯量某质元fi受内力受外力FiFi+f=aii其法向n分量均通过转轴，不产生转动力矩。t其切向投影式为ijFisin+ifsinqit=ai=ribtnFiOrifiijqi瞬时角速度角加速度瞬时等式两边乘以ri并对所有质元及其所受力矩求和=内力矩成对抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbri∑得Mbri∑=二、刚体的转动定律Mbri∑=与刚体性质及质量分布有关的物理量，用表示称为转动惯量I刚体的转动定律即刚体所获得的角加速度

的大小与刚体受到的

合外力矩的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比。第31页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三转动惯量的计算二、转动惯量及其计算Mb=I将刚体转动定律与质点运动定律F=am对比转动惯量是刚体转动惯性的量度II∑

与刚体的质量、形状、大小及质量对转轴的分布情况有关质量连续分布的刚体用积分求I为体积元

处的密度II的单位为第32页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三分立质点的算例转动惯量的计算举例可视为分立质点结构的刚体转轴

若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则∑转轴∑sinsin0.75第33页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三直棒算例质量连续分布的刚体匀直细杆对中垂轴的匀直细杆对端垂轴的质心新轴质心轴平行移轴定理对新轴的转动惯量对质心轴的转动惯量新轴对心轴的平移量例如：时代入可得端第34页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三圆盘算例匀质薄圆盘对心垂轴的取半径为微宽为的窄环带的质量为质元第35页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三球体算例匀质实心球对心轴的可看成是许多半径不同的共轴薄圆盘的转动惯量的迭加距为、半径为、微厚为的薄圆盘的转动惯量为其中第36页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三常用结果LRmm匀质薄圆盘匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面22I=m

R123I=m

L1转轴通过端点与棒垂直第37页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三其它典型匀质矩形薄板转轴通过中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12匀质细圆环转轴通过中心垂直环面I

=

m

R

2匀质细圆环转轴沿着环的直径2I

=2m

R匀质厚圆筒转轴沿几何轴I

=(R1

+

R2

)22m2匀质圆柱体转轴通过中心垂直于几何轴mI

=

R

+

22m124L匀质薄球壳转轴通过球心2I

=2m

R3第38页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三转动定律例题一三、转动定律应用选例合外力矩应由各分力矩进行合成。合外力矩与合角加速度方向一致。在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力矩与此向相同则为正，反之为复。与时刻对应，何时何时则何时，则何时恒定恒定。

匀直细杆一端为轴水平静止释放coscos第39页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三转动定律例题二已知T1T2a（以后各例同）Rm1m2m轮轴无摩擦轻绳不伸长轮绳不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Iba=RbI=mR22转动平动线-角联立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考虑有转动摩擦力矩

Mr,则转动式为(

T2

–

T1)

R

–

Mr=Ib再联立求解。第40页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三转动定律例题三Rm1m细绳缠绕轮缘Rm（A）（B）恒力F滑轮角加速度b细绳线加速度a解法提要（A）（B）第41页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三转动定律例题四Rm1m2m已知m=5kgm2=1kgm1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2baa解法提要对m1m2m分别应用和质点运动和刚体转动定律m1

g–T1=

m1aT2–

m2

g=

m2a(

T1

–

T2)

R=Ib及a=RbI=mR221得b

=(m1-m2)gR(m1+m2+m2)常量(m1-m2)gR(m1+m2+m2)故由(m1-m2)gR(m1+m2+m2)2

(rad)gt物体从静止开始运动时，滑轮的转动方程第42页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三转动定律例题五已知qq从等倾角处静止释放两匀直细杆地面两者瞬时角加速度之比解法提要213sinq1sinq1321根据短杆的角加速度大且与匀质直杆的质量无关第43页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三第三节刚体定轴转动的功能关系刚体定轴转动的功能关系4-3relationofworkwithenergyinrotationofrigid-body∑刚体中任一质元的速率该质元的动能对所有质元的动能求和∑转动惯量

II得刚体转动动能公式一、转动动能刚体定轴转动的功能关系刚体定轴转动的功能关系Relationofworkwithenergyinrotationofrigid-body第44页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三力矩的功二、力矩的功和功率力

的元功cossinsin力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算若在某变力矩的作用下，刚体由转到，作的总功为力矩的瞬时功率第45页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三力矩的功算例拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小解法提要总摩擦力矩是各微环带摩擦元力矩的积分环带面积环带质量环带受摩擦力环带受摩擦力矩圆盘受总摩擦力矩转一周摩擦力矩的总功得已知粗糙水平面转轴平放一圆盘第46页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三刚体的动能定理三、刚体转动的动能定理回忆质点的动能定理刚体转动的动能定理由

力矩的元功转动定律则合外力矩的功转动动能的增量刚体转动的动能定理称为第47页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三动能定理例题一匀质圆盘盘缘另固连一质点水平静止释放通过盘心垂直盘面的水平轴圆盘下摆时质点的角速度、切向、法向加速度的大小解法提要对系统外力矩的功系统转动动能增量其中sin得由转动定律得cos则第48页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三动能定理例题二解法提要外力矩作的总功cos从水平摆至垂直由得代入得本题利用的关系还可算出此时杆上各点的线速度已知水平位置静止释放摆至垂直位置时杆的匀直细杆一端为轴第49页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三动能定理例题三解法提要段，外力矩作正功cos段，外力矩作负功cos∑合外力矩的功从水平摆至垂直由得转轴对质心轴的位移

代入得已知摆至垂直位置时杆的水平位置静止释放第50页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三含平动的转动问题四、含的功能原理质点平动刚体定轴转动机械外力非保守内力矩力力矩动势动势平动转动平动转动系统（轮、绳、重物、地球）左例忽略摩擦外力力矩非保守内力矩力平动转动势平动转动势可求或此外势第51页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三第四节刚体的角动量守恒定律4-4lawofconservationofangularmomentumofrigid-body刚体的角动量刚体的角动量定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加

所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动任一质元（视为质点）的质量其角动量大小全部质元的总角动量∑∑对质量连续分布的刚体∑定轴转动刚体的角动量大小方向与同绕向或与沿轴同指向角动量第52页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三刚体的角动量定理1.刚体的角动量定理合外力矩角动量的时间变化率（微分形式）（积分形式）冲量矩角动量的增量刚体的角动量定理刚体的角动量定理回忆质点的角动量定理（微分形式）（积分形式）第53页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三刚体系统的角动量定理2.刚体系统的角动量定理若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体系统的总合外力矩∑∑系统的总角动量的变化率系统的总冲量矩系统的总角动量增量∑系统：轻绳（忽略质量）总合外力矩对O的角动量对O的角动量∑∑∑由得同向而解得例如静止释放求角加速度第54页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三主要公式归纳刚体（微分形式）（积分形式）刚体系统角动量定理∑∑∑刚体的归纳：角动量关键式：是矢量式与质点平动对比第55页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律刚体的角动量定理由刚体所受合外力矩若则即常矢量

当刚体所受的合外力矩等于零时，

刚体的角动量保持不变。刚体的角动量守恒定律第56页，讲稿共65页，2023年5月2日，星期三回转仪定向原理万向支架受合外力矩为零回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。角动量守恒恒矢量回转仪定向原理其中转动惯量为常量若将回转体转轴指向任一方向使其以角速度高速旋转则转轴将保持该方向不变而不会