《球地内接与外接》

——球及球与多面体的接、切§9.10球⑶刘晓平球的相关概念1、球的定义以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体(简称球)。半圆的圆心叫球心，半圆的半径叫球半径。2、球的截面用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面，如果这个平面过球心，称截面圆为球的大圆（它的半径等于球半径），其他的截面圆叫做小圆。O3、球的半径R与截面圆半径r的关系OO1PrRdOO1PrRd4球的体积5球的表面积例1：圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的体积等于圆柱体积的（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.练习1：一个球的体积为1000π.求它的表面积(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的

倍.体积变成原来的

倍；(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的

倍.体积变成原来的

倍；(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是

.半径之比为

．(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是

.半径之比为

．练习2

影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径.练习3距离为1的两个平行截一个球，所得两个截面圆的半径分别为2和3，求这个球的半径、表面积和体积。OO1O2P1P2OO1O2P1P2OO1O2P1P223R1ABCDD1C1B1A1O与正方体有关的三个球外接球内切球棱切球O外接球内切球棱切球

球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，

则称这个多面体是这个球的内接多面体，

这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，

则称这个多面体是这个球的外切多面体，

这个球是这个多面体的内切球。定义3：若一个多面体的各棱都与一个球的球面相切，

则称这个多面体是这个球的棱切多面体，

这个球是这个多面体的棱切球。问题1：已知正方体的棱长为a，分别求它的外接球、内切球、棱切球的体积和面积。O外接球内切球棱切球问题2.1）一个正四面体外切于一个球,过球心和一条棱作一个截面,则截面的可能图形是().O.O.O.O.OB问题2.2)一个正四面体内接于一个球,过球心和一条棱作一个截面,则截面的可能图形是().O.O.O.O.O.OC解：设正四面体P-ABCD的棱长为PA=a，外接球和内切球的半径分别为R和r，如右图，连AO，则AO=R，OD=r，又：问题3：分别求正四面体的外接球和内切球的半径比、面积比和体积比。.O.OABCPDAPEDE

故两球的半径比为：3：1

面积比为：9：1

体积比为：27：11.已知长方体的长、宽、高分别是、、1，求长方体的外接球的体积。练习1：2.已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。沿对角面截得：ACBPO练2

半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为，求半球的体积。沿对角面截得：1问题4：正三棱锥的高为1，底边长为。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。过侧棱AB与球心O作截面(如图)在正三棱锥中，BE是正△BCD的高，O1

是正△BCD的中心，且AE为斜高解法1：O1ABEOCD作OF⊥AE于FF设内切球半径为r，则OA=1－r∵Rt△AFO∽Rt△AO1E

O1ABEO1θ在Rt△AO1E中在Rt△OO1E中解法二：问题4：正三棱锥的高为1，底边长为。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。OABCD设球的半径为r，则VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD解法三：问题4：正三棱锥的高为1，底边长为。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。注意：①割补法，②练3

三棱锥A–BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的半径。OABCD655655E则α截球得大圆，截正四棱锥得△PAC，且△PAC内接于圆O，如图所示练习4、求棱长为a

的正四棱锥的外接球的体积。PACO过正四棱锥的相对侧棱作截面α∵PA=PC=a∴△PAC是等腰Rt△即AC为球的直径PACBDO小结：1.长方体的对角线是其外接球的直径；要善于应用该结论。3.求多面体的内切球的半径，可用割补法，半径为小锥的高。2.正棱锥的外接球问题，常作过一条侧棱及球心的截面。课后思考

1、自球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA，PB，PC，球的半径为R，则PA2+PB2