数学讲稿与作业中科大数学系

1§7.3微积分的根本定理定理7.6假设函数在有限闭区间上可积,那么定义在上的函数(通常称为的变上限的积分)必满足Lipschitz条件,因而是连续函数.证:记.,有,故.□定理7.7假设函数在有限闭区间上可积,在处连续,那么定义在上的函数在处可导,并且.证明:,使得当时成立,故当时成立,容即究盆.候□泰定理酬7.鞭8(屈微积葛分的礼根本软定理体)竟假设函喷数段在区猛间巡上连乡续查,吐固定遵,使那么定皮义在言上的毁函数锤是肠的原垫函数抖.些证:冬侍由定骨理7日.7填.躺□届定理蜻7.抹9浅(微故积分景根本稠定理灯的休另一呢形式逼)另假设设是区索间沉上的秤可导突函数继,并削且传的变爷上限朱的积戴分存皇在垃,朴固定至,那么歪都成绵立.辱证:渐由私定理它7.从1的致推广签.旦□紧注记简堵通常业也将叔Ne隔wt牵on扰-L乌ei眉bn菊iz邮公式全称为球微积截分的纯根本及定理峡.微否积分乓的基困本定岭理表田明:至一屡、位区间男上的稼连续生函数费一定透有原然函数嚼,并语且原果函数珍之一留就是暗变上肠限的仙积分猎；双二、关区间酸上的娱可导卖函数恐可以挨通过访其商导函桃数的闹变上窝限彻的娱积分醉来表拥示纽(假醋定导倍函数漆的变异上限卵的豆积分削存在知).玉命题百假设惧是迫区间通上美的抱连续楼函数惠,肆是捉区间策上惩的可溉导函活数,顺满足玩,那么假设定义杜在烟上的少函数惠是可弓导函妥数,过并且.境证:闸竿固定暗,记侮,那么,微故丝堪阵要.超□国例批设函艳数颤在酱上连盲续可杠导移(意伏思是悼)填,轮,并捧且悄.求篮证:爽志.寇证:蜻令呢,那么衔.再锤令度,那么谦.注袜意到舅,便四知脆.再推注意梅到斗,效便知石,猜因而郑在膀上递章增斯.派□裤练习湾题7汉.3姨(斩)法1(哨2,趴3)谷,3斩,4蹄,5于,6差,7招.视问题凳7.矮3(赵)镜1,事3,佳4,图7.幸§贵7.图4运分部匙积分冰法灭与换叼元丰积分茶法沟命题纺1(其分部技积分铸法)潮名假设六函数养都在存有限灵闭区余间侦上可嫌导,亮并且苍都在毙上可亭积,黄那么.苍证:龄长由N饰ew裁to仪n-条Le愈ib辨ni左z公叠式,滔对棋两边挑积分尼便得.□驼例1搏求死邮,拣,怜.肚解:台强记盲,新显然鹅桃.色当蚊时有.制故帅慈侦膛.掘从而笋缝锤；.□剑定理欧7.律10稼(带复积分盲余项扬的T才ay搂lo而r定陵理亡)们假设阵函数含在胞区间塌上柱阶可许导德,贴并且姨的变趟上限妄的积峡分存断在,送固定色,饥那么女,成浓立等伟式.表称燃为积绑分余虚项.证:.□更注记枯7.唤带夫积分成余项邻的T巾ay型lo尘r定扶理也浅可看棵作是月一种鸭变形绢的带阁Ca吨uc亚hy风余项犯的T呆ay炊lo哈r定娱理.叛(对崭满足积介值勤定理块的封函数闭和亏不变棵符号络的函漠数折应用泻第一去积分孔中值露定理泉,定).薄定理毙7.三11怨(能灵推广恼到多毁元函番数的敲换元蕉积分炕法)朵境假设函促数辞在区冲间暑上连麻续,粉函数商在认上严攻格递扩增,均并且技,那么.撇证:稳由蜂的分切割杀,厅,可自动俊地捐确定厕了瑞的分惠割社,榜,其敏中妇.显驰然当押时必恩有役.由劳La崇gr亲an钻ge针中值碰定理屯,可惠取宅使得,.周由量严格樱递增绩可知里,总.孝于是票,在歉等式邪的两混边同是时等令陶便得坑到,包即逢王专.姜□峡定理来7.略1瘦(互仅对界1豆元函滑数驾有效袍的换郊元积害分法茅)杜假设记是尚区间际上垂的连云续函男数疫,正是伯上平的备函数但,并组且胜,那么.持证:很任泡取值在匪上的米原函社数旧,那么芒有.□塌命题贩2说假设函组数械在避上连荣续,馋那么感(1铸)怨；(岩2)柱季.花证:霉(1狂)彻作变买换具,那么航有.众(2饱)恶作变井换钓,那么柳有.章故庸问.象□员命题耕3刘假设奴是以掘正数炕为周庸期的堆连续骡函数渣,那么意,成脖立等雪式.谈证:坏作顶变换薪,那么路有.□准命题欣4毛奶(1箭)生假设牧是坏上的陡连续达奇函些数,凯那么粪；背(2展)捷假设切是碧上的惠连续宾偶函衔数,浆那么展.新证:月作变窜换株,那么献有氧(1当)矛.踪(2术).□貌例盆2(畏一个纲错误贩的证射明)售设塘是开耐区间堆上的色连续耗函数念,委,求虎证:巴.穗证:交(1治)汗(错坝误的迷).皂(2坦)(挨正确该的)糊任侵取焦在劈上的显原函伙数患,作险变换看,数那么优有,故.劫