圆锥曲线中的取值范围最值问题

./圆锥曲线中的最值取值范围问题90.已知分别是双曲线=l〔a>0,b>0的左、右焦点,P为双曲线上的一点,若,且的三边长成等差数列．又一椭圆的中心在原点,短轴的一个端点到其右焦点的距离为,双曲线与该椭圆离心率之积为。〔I求椭圆的方程；〔Ⅱ设直线与椭圆交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值．90.解：设,不妨P在第一象限,则由已知得解得〔舍去。设椭圆离心率为可设椭圆的方程为〔Ⅱ①当AB②当AB与轴不垂直时,设直线AB的方程为,由已知得代入椭圆方程,整理得当且仅当时等号成立,此时③当综上所述：,此时面积取最大值85.已知曲线C的方程为,F为焦点。〔1过曲线上C一点〔的切线与y轴交于A,试探究|AF|与|PF|之间的关系；〔2若在〔1的条件下P点的横坐标,点N在y轴上,且|PN|等于点P到直线的距离,圆M能覆盖三角形APN,当圆M的面积最小时,求圆M的方程。85.74.已知椭圆的长轴长为,离心率为,分别为其左右焦点．一动圆过点,且与直线相切．<Ⅰ><ⅰ>求椭圆的方程；<ⅱ>求动圆圆心轨迹的方程；<Ⅱ>在曲线上有四个不同的点,满足与共线,与共线,且,求四边形面积的最小值．74.解：<Ⅰ><ⅰ>由已知可得,则所求椭圆方程.<ⅱ>由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线的焦点为,准线方程为,则动圆圆心轨迹方程为.<Ⅱ>由题设知直线的斜率均存在且不为零设直线的斜率为,,则直线的方程为：联立消去可得由抛物线定义可知:同理可得又<当且仅当时取到等号>所以四边形面积的最小值为.69.如图,已知直线l：与抛物线C：交于A,B两点,为坐标原点,。〔Ⅰ求直线l和抛物线C的方程；〔Ⅱ抛物线上一动点P从A到B运动时,求△ABP面积最大值．69.解：〔Ⅰ由得,设则因为=所以解得所以直线的方程为抛物线C的方程为〔Ⅱ方法1：设依题意,抛物线过P的切线与平行时,△APB面积最大,,所以所以此时到直线的距离由得,∴△ABP的面积最大值为〔Ⅱ方法2：由得,……9分设,因为为定值,当到直线的距离最大时,△ABP的面积最大,因为,所以当时,max=,此时∴△ABP的面积最大值为66.椭圆与椭圆交于A、B两点,C为椭圆的右项点,〔I求椭圆的方程；〔II若椭圆上两点E、F使面积的最大值66.解：〔I根据题意,设A 解得〔Ⅱ设①②①② 由①-②得直线EF的方程为即 并整理得, 又当63.已知椭圆C,过点M<0,1>的直线l与椭圆C相交于两点A、B.〔Ⅰ若l与x轴相交于点P,且P为AM的中点,求直线l的方程；〔Ⅱ设点,求的最大值.63.〔Ⅰ解：设A<x1,y1>,因为P为AM的中点,且P的纵坐标为0,M的纵坐标为1,所以,解得,又因为点A<x1,y1>在椭圆C上,所以,即,解得,则点A的坐标为或,所以直线l的方程为,或.〔Ⅱ设A<x1,y1>,B<x2,y2>,则所以,则当直线AB的斜率不存在时,其方程为,,此时；当直线AB的斜率存在时,设其方程为,由题设可得A、B的坐标是方程组的解,消去y得所以,则,所以,当时,等号成立,即此时取得最大值1.综上,当直线AB的方程为或时,有最大值1.2009032750.已知点A是抛物线y2＝2px〔p>0上一点,F为抛物线的焦点,准线l与x轴交于点K,已知｜AK｜＝｜AF｜,三角形AFK的面积等于8．20090327〔1求p的值；〔2过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1,l2,与抛物线相交得两条弦,两条弦的中点分别为G,H.求｜GH｜的最小值．2009032750.解：〔Ⅰ设,20090327因为抛物线的焦点,则,,而点A在抛物线上,.又故所求抛物线的方程为.6分〔2由,得,显然直线,的斜率都存在且都不为0.设的方程为,则的方程为.48.椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率,过的直线与椭圆交于、两点,且,求面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程．48.解：设椭圆的方程为直线的方程为,,则椭圆方程可化为即,联立得〔*有而由已知有,代入得所以,当且仅当时取等号由得,将代入〔*式得所以面积的最大值为,取得最大值时椭圆的方程为46.已知椭圆的右焦点为F,上顶点为A,P为C上任一点,MN是圆的一条直径,若与AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切。〔1已知椭圆的离心率；〔2若的最大值为49,求椭圆C的方程.46.解：〔1由题意可知直线l的方程为,因为直线与圆相切,所以=1,既从而〔2设则当此时椭圆方程为当解得但故舍去。综上所述,椭圆的方程为25.已知椭圆的离心率为,直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.〔I求椭圆的方程；〔II设椭圆的左焦点为,右焦点,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程；〔III设与轴交于点,不同的两点在上,且满足求的取值范围.25.解：〔Ⅰ∵∵直线相切,∴∴∵椭圆C1的方程是〔Ⅱ∵MP=MF2,∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1〔1,0的距离,∴动点M的轨迹是C为l1准线,F2为焦点的抛物线∴点M的轨迹C2的方程为〔ⅢQ〔0,0,设∴∵∴∵,化简得∴∴当且仅当时等号成立∵∴当的取值范围是8.8.已知点P〔4,4,圆C：与椭圆E：有一个公共点A〔3,1,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF1与圆C相切．〔Ⅰ求m的值与椭圆E的方程；〔Ⅱ设Q为椭圆E上的一个动点,求的取值范围．[解]〔Ⅰ点A代入圆C方程,得．∵m＜3,∴m＝1．圆C：．设直线PF1的斜率为k,则PF1：,即．∵直线PF1与圆C相切,∴．解得．当k＝时,直线PF1与x轴的交点横坐标为,不合题意,舍去．当k＝时,直线PF1与x轴的交点横坐标为－4,∴c＝4．F1〔－4,0,F2〔4,0．2a＝AF1＋AF2＝,,a2＝18,b2＝2．椭圆E的方程为：．〔Ⅱ,设Q〔x,y,,．∵,即,而,∴－18≤6xy≤18．则的取值范围是[0,36]．的取值范围是[－6,6]．∴的取值范围是[－12,0]．12.12.已知直线与曲线交于不同的两点,为坐标原点．〔Ⅰ若,求证：曲线是一个圆；〔Ⅱ若,当且时,求曲线的离心率的取值范围．[解]〔Ⅰ证明：设直线与曲线的交点为∴即：∴在上∴,∴两式相减得：∴即：∴曲线是一个圆〔Ⅱ设直线与曲线的交点为,∴曲线是焦点在轴上的椭圆∴即：将代入整理得：∴,在上∴又∴∴2∴∴∴∴∴∴∴15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上,且满足|AB|=2,点P在线段AB上,且设点P的轨迹方程为c。〔1求点P的轨迹方程C；〔2若t=2,点M、N是C上关于原点对称的两个动点〔M、N不在坐标轴上,点Q坐标为求△QMN的面积S的最大值。15.[解]〔1设〔2t=2时,25.已知椭圆的离心率为,直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.〔I求椭圆的方程；〔II设椭圆的左焦点为,右焦点,直线过点且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点,线段垂直平分线交于点,求点的轨迹的方程；〔III设与轴交于点,不同的两点在上,且满足求的取值范围.25.解：〔Ⅰ∵∵直线相切,∴∴∵椭圆C1的方程是〔Ⅱ∵MP=MF2,∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1〔1,0的距离,∴动点M的轨迹是C为l1准线,F2为焦点的抛物线∴点M的轨迹C2的方程为〔ⅢQ〔0,0,设∴