多元随机变量及其分布

关于多元随机变量及其分布1第1页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三2

到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.

在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.

飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）来确定的等等.第2页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三3

一般地，我们称n个随机变量的整体X=(X1,X2,…，Xn)为n维随机变量或随机向量.

由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，为简单起见，我们重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.第3页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三4§1

二维离散型随机变量则称二维表

为(X,Y)的联合分布律。

一、二维离散型随机变量及其联合分布律第4页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三5第5页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三6例1袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。

解第6页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三7解例1袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。

第7页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三8例2解由于所以第8页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三9故(X,Y)的联合概率分布为第9页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三10解例3第10页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三11二、二维随机变量的联合分布函数二维随机变量（X,Y）X和Y的联合分布函数X的分布函数一维随机变量Xxx第11页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三12第12页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三13二维随机变量分布函数的基本性质第13页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三14练习：P57习题3-11.补充题设A，B为两个随机事件，且第14页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三15解补充题设A，B为两个随机事件，且第15页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三16即(X,Y)的概率分布为：

第16页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三17§2

二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量的联合密度函数第17页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三18面上的一个区域.

第18页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三19设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为例1解(1)由规范性第19页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三20第20页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三21第21页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三22解例2第22页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三23所以第23页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三24二、常用的二维连续型随机变量

设G是平面上的有界区域,其面积为A.若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布.

若(X,Y)服从区域G上的均匀分布,则对于G中任一子区域D,有1、二维均匀分布第24页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三25

于是(X,Y)落在G中任一子区域D的概率与D的面积成正比,而与D的形状和位置无关.在这个意义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该区域内是“等可能”的。第25页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三26如果(X,Y)的概率密度2、二维指数分布第26页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三27若二维随机变量(X,Y)具有概率密度记作则称(X,Y)服从参数为

的二维正态分布.其中均为常数,且3、二维正态分布第27页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三28练习：P59习题3-21.第28页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三29§3

边缘分布即同理,一、边缘分布函数与联合分布函数的关系

二维随机变量(X,Y)作为一个整体,用联合分布来刻画.而X和Y都是一维随机变量,各有自己的分布,称为边缘分布.第29页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三30设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为例1则边缘分布函数为其中参数第30页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三31说明：联合分布可以唯一确定边缘分布，但是边缘分布一般不能唯一确定联合分布。也即，二维随机向量的性质一般不能由它的分量的个别性质来确定，还要考虑分量之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的作用。

边缘分布与参数λ无关.第31页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三32例2设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为解(1)

第32页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三33解(2)

(X,Y)的联合密度函数为(3)

边缘分布函数分别为

求导得边缘密度函数分别为

第33页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三34解(4)

第34页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三35二、边缘分布律设(X,Y)是离散型二维随机变量，联合分布律为则边缘分布为记作第35页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三36

袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则(X,Y)的联合分布律为例3Y的边缘分布X的边缘分布所以

X,Y的边缘分布律分别为第36页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三37若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为边缘分布为第37页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三38边缘分布为与有放回的情况比较，但边缘分布却完全相同。两者的联合分布完全不同，若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为第38页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三39例4设相互独立的随机变量(X,Y)的联合分布为解求：(1)

c；(1)120010.1c0.10.10.20.2第39页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三40例4设相互独立的随机变量(X,Y)的联合分布为解求：(1)

c；(1)0.3120010.10.10.10.20.2(2)边缘分布0.30.40.30.50.5100.50.51200.30.40.3第40页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三41例4设相互独立的随机变量(X,Y)的联合分布为解求：(1)

c；(1)0.3120010.10.10.10.20.20.30.40.30.50.5第41页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三42三、边缘密度函数设(X,Y)是连续型二维随机变量，联合密度函数为由于所以(X,Y)关于X的边缘密度函数为同理,关于Y的边缘密度函数为第42页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三43求(1)c的值；(2)两个边缘密度；解(1)设(X,Y)的概率密度是例5xy01第43页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三44xy01(2)所以第44页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三45xy01(2)所以第45页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三46xy01第46页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三47例6解随机向量(X,Y)的密度概率为xyO21D其他第47页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三48例6解随机向量(X,Y)的密度概率为其他xyO21D第48页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三49上的均匀分布，试求X和Y的边缘分布.

设二维随机变量(X,Y)服从单位圆解关于X的边缘密度为

例7(X,Y)的联合密度函数为第49页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三50上的均匀分布，试求X和Y的边缘分布.

设二维随机变量(X,Y)服从单位圆解关于Y的边缘密度为例7(X,Y)的联合密度函数为注意：X和Y的边缘分布不是均匀分布.

第50页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三51可以证明,若则

这就是说,二维正态分布的两个边缘分布仍然为正态分布,而且其边缘分布不依赖于参数

.因此可以断定参数

描述了X与Y之间的某种关系!由联合分布可以确定边缘分布；但由边缘分布一般不能确定联合分布.再次说明联合分布和边缘分布的关系:第51页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三52练习：P64习题3-31.第52页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三53§4条件分布在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量

设有两个随机变量X,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布.第53页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三54一、离散型随机变量的条件分布律

设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P(Y=yj)>0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.类似地，对于固定的i，若P(X=xi)>0，则称为在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.第54页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三55

条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.例如：第55页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三56设(X,Y)的联合分布律为例1解求在给定Y=2下随机变量X的条件分布律和在给定X=1下随机变量Y的条件分布律。因为所以在给定Y=2下随机变量X的条件分布律为第56页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三57或写为第57页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三58所以在给定X=1下随机变量Y的条件分布律为或写为第58页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三59二、连续型随机变量的条件密度函数边缘概率密度为,若对固定的x,

为在X=x的条件下，Y的条件概率密度;类似地，对一切使的y,定义为在

Y=y的条件下，X的条件概率密度.定义设X和Y的联合概率密度为则称第59页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三60

设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为X的边缘密度为例2解xy0第60页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三61所以,当|x|

<1时,有所以x作为已知变量第61页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三62练习：P68习题3-41.第62页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三63第五节

随机变量的独立性第63页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三64随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念。两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B独立.设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,则称X,Y相互独立.第64页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三65上式用分布函数表示,即情形1

(X,Y)是离散型随机变量，则X,Y相互独立的定义等价于第65页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三66袋中有2只白球3只黑球，摸球两次，定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则有放回和不放回时(X,Y)的联合分布和边缘分布分别为例1经验证，放回时，X与Y相互独立；不放回时，不独立。

第66页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三67设(X,Y)的联合分布律为例2且X与Y相互独立，试求和。又由分布律的性质,有解由X与Y相互独立，知第67页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三68解例3假设随机变量X和Y相互独立，都服从参数为p(0<p<1)的0-1分布，随机变量问p取何值时，X和Z相互独立？首先求出Z的概率分布：因为X和Y相互独立第68页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三69令所以p取0.5时，X和Z相互独立。第69页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三70情形2

(X,Y)是连续型随机变量，则X,Y相互独立的定义等价于在平面上几乎处处成立。例4解设(X,Y)的联合密度函数为问X与Y是否相互独立？X,Y的边缘密度分别为成立，所以X,Y相互独立。第70页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三71例5解设(X,Y)的联合密度函数为问X与Y是否相互独立？X,Y的边缘密度分别为所以X,Y不相互独立。xy011第71页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三72练习：P70习题3-51.第72页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三73第六节

两个随机变量函数的分布第73页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三74在这节讨论如何利用随机向量(X,Y)的分布求它的函数的分布，分离散型和连续型两种情形讨论。

一、二维离散型随机变量函数的分布

设随机向量(X,Y)的联合分布律为

第74页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三75设随机变量(X,Y)的联合分布律为例1解分别求X+Y、X2+Y2、min(X,Y)的分布律。

第75页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三76第76页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三77证所以例2此性质称为泊松分布的可加性第77页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三78二、二维连续型随机变量函数的分布主要讨论和的情况.设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度.

Z=X+Y的分布函数是:xy0zz两边关于z求导，则得Z的密度函数为

第78页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三79由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成

特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:

这两个公式称为卷积公式,记为.第79页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三80

设X,Y相互独立且均服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度.由卷积公式,有例3解第80页，讲稿共97页，2023年5月2日，星期三81用类似的方法可以证明:

若X和Y独立,

若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).即有限个独立正态变量的线性组