高数极限典型60题详解(一)

高数极限典型60题详解(一)

高数极限典型60题详解（一）1.求数列极限$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+1-\sinn}{n+1}$解题关键是使用三角函数和差化积公式，将式子转化后求解。具体过程如下：由于$\sin(n+1)-\sinn=2\cos\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\sin\dfrac{1}{2}$，所以$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+1-\sinn}{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2\cos\left(n+\dfrac{1}{2}\right)\sin\dfrac{1}{2}}{(n+1)\sin\dfrac{1}{2}}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2\cos\left(n+\dfrac{1}{2}\right)}{n+1}=0$$由于$\cos\left(n+\dfrac{1}{2}\right)$是有界函数，且有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小，所以可得原式极限为$0$。2.令$S_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k}{(k+1)!}$，求数列极限$\lim\limits_{n\to\infty}S_n$解：$$\begin{aligned}\dfrac{k}{(k+1)!}&=\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}\\\thereforeS_n&=\sum\limits_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}\right)=1-\dfrac{1}{(n+1)!}\end{aligned}$$所以$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{(n+1)!}\right)=1$。3.求数列极限$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+2q+3q^2+\cdots+nq^{n-1}}{1-q}$，其中$q<1$。解：令$S_n=1+2q+3q^2+\cdots+nq^{n-1}$，将等式两边同时乘以$q$，得到$$qS_n=1q+2q^2+3q^3+\cdots+(n-1)q^{n-1}+nq^n$$将以上两式相减，可得$$(1-q)S_n=(1+q+q^2+\cdots+q^{n-1})-nq^n$$上面的算式两边同时除以$1-q$，得到$$S_n=\dfrac{1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}}{1-q}-\dfrac{nq^n}{1-q}$$由于当$q<1$且$n\to\infty$时，$nq^n\to0$，$1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}\to\dfrac{1}{1-q}$，所以$$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\dfrac{1}{1-q}-0=\dfrac{1}{(1-q)^2}$$证明附注：关于$\lim\limits_{n\to\infty}nq^n$的证明，有以下问题：1.为什么$\lim\limits_{n\to\infty}nq^n=0$？2.若$q<1$且$q\neq0$，当$n\to\infty$时，$\sum\limits_{k=0}^nq^k\to\dfrac{1}{1-q}$。首先，对算式进行变形，得到$$nq^n=\dfrac{n}{\dfrac{1}{q^n}}$$由于$q<1$，所以$\dfrac{1}{q^n}\to0$，又因为$n$是正整数，所以$\dfrac{n}{\dfrac{1}{q^n}}\to0$，即$\lim\limits_{n\to\infty}nq^n=0$。对于第二个问题，由于$q<1$，所以$\sum\limits_{k=0}^nq^k$是一个收敛的几何级数，其和为$$\sum_{k=0}^nq^k=\dfrac{1-q