(2019新教材)人教A版数学必修第一册知识点

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1.1集合的概率集合是由元素组成的，这些元素具有确定性、互异性和无序性。常用的数集有自然数集N，正整数集N+，整数集Z，有理数集Q和实数集R。集合中的元素与集合之间有两种关系，即属于和不属于，用符号“∈”和“∉”表示。集合可以用自然语言法、列举法、描述法和图示法来表示。集合可以分为有限集、无限集和空集。1.2集合间的基本关系集合间有三种基本关系：子集、真子集和集合相等。子集表示一个集合中的所有元素都属于另一个集合，真子集是指一个集合是另一个集合的子集但不相等，集合相等是指两个集合中的元素完全相同。1.3集合的基本运算集合的基本运算有交集、并集和补集。交集是指两个集合中共同的元素构成的集合，而并集是指两个集合中所有元素构成的集合。补集是指在全集中不属于该集合的元素构成的集合。1.4充分条件与必要条件命题是可以判断真假的陈述句，真命题是指判断为真的语句，假命题是指判断为假的语句。充分条件是指如果A成立，则B也成立，必要条件是指如果B不成立，则A也不成立。意一个元素x，都有唯一的元素y与之对应，且y∈B，则称f为从A到B的一个函数，记作f：A→B，x↦y=f(x)。②x∈A称为自变量，y=f(x)∈B称为因变量或函数值，f(x)的值域为函数f的所有可能的函数值的集合。2、函数的表示①显式表示法：y=f(x)；②参数表示法：y=f(x,k)；③分段表示法：y={f1(x)（x∈D1），f2(x)（x∈D2）}；④隐式表示法：F(x,y)=0，y=f(x)；⑤函数图象表示法：y=f(x)的图象。〖3.2〗函数的性质1、奇偶性①奇函数：f(–x)=–f(x)；②偶函数：f(–x)=f(x)；③一般函数：不具有奇偶性。2、周期性若存在正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f具有周期性，T称为函数f的周期。3、单调性①单调递增：若对于定义域内的任意x1，x2，有x1<x2，则f(x1)<f(x2)；②单调递减：若对于定义域内的任意x1，x2，有x1<x2，则f(x1)>f(x2)；③严格单调递增：若对于定义域内的任意x1，x2，有x1<x2，则f(x1)≤f(x2)；④严格单调递减：若对于定义域内的任意x1，x2，有x1<x2，则f(x1)≥f(x2)。4、最值①最大值：若对于定义域内的任意x，有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f在定义域内的最大值；②最小值：若对于定义域内的任意x，有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f在定义域内的最小值。5、零点若f(x0)=0，则称x0为函数f的零点或根。6、单射、满射、双射①单射：若对于定义域内的任意x1，x2，有f(x1)=f(x2)，则x1=x2，即f(x)在其定义域内没有重复的函数值；②满射：对于任意y∈B，都存在x∈A，使得f(x)=y；③双射：既是单射又是满射。在x2之前（或之后）；（2）代入函数，比较大小：即比较f(x1)和f(x2)的大小关系；（3）得出结论：根据比较结果得出函数单调递增或单调递减的结论。2、利用导数证明函数单调性的一般步骤（1）求导：即求出函数的导函数；（2）判断导函数的符号：根据导函数的符号确定函数的单调性；（3）得出结论：根据符号确定函数单调递增或单调递减的结论。【3.2.2】奇偶性1、定义：若对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)则称函数为偶函数；若有f(-x)=-f(x)则称函数为奇函数。2、性质：（1）偶函数的图像关于y轴对称；（2）奇函数的图像关于原点对称；（3）任何函数都可以表示成偶函数和奇函数的和。【3.2.3】周期性1、定义：若存在正数T，使得对于函数f(x)，有f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数，T为函数的周期。2、性质：（1）周期函数的图像在一个周期内重复；（2）任何函数都可以表示成一个周期函数和一个满足一定条件的函数的和。【3.2.4】反函数1、定义：若对于函数f(x)和g(x)，有f(g(x))=x，g(f(x))=x，则称g(x)为f(x)的反函数，记作g(x)=f^(-1)(x)。2、性质：（1）反函数的定义域为原函数的值域，值域为原函数的定义域；（2）原函数和反函数的图象关于直线y=x对称；（3）若原函数单调递增，则反函数也单调递增；若原函数单调递减，则反函数也单调递减。1.差分法的步骤包括：选择两个不同的自变量值$x_1$和$x_2$，计算出它们对应的函数值$f(x_1)$和$f(x_2)$，然后求出它们的差值$\Deltay=f(x_2)-f(x_1)$和自变量的差值$\Deltax=x_2-x_1$。最后根据定义计算出函数的导数$f'(x)$，即$f'(x)=\lim\limits_{\Deltax\rightarrow0}\frac{\Deltay}{\Deltax}$。在实际应用中，为了减小误差，一般要选择两个自变量值尽量接近，即$\Deltax$要取得足够小。2.复合函数的单调性规律是“同增异减”，即如果函数$u=g(x)$在区间$[a,b]$上是单调函数，函数$y=f(u)$在区间$[g(a),g(b)]$或$[g(b),g(a)]$上也是单调函数。具体来说，如果$g(x)$在区间$[a,b]$上是增函数，则$f[g(x)]$在区间$[a,b]$上也是增函数；如果$g(x)$在区间$[a,b]$上是减函数，则$f[g(x)]$在区间$[a,b]$上也是减函数。3.对勾函数$f(x)=x+(a>0)$的图象特点是，在区间$(-\infty,-a]$和$[a,\infty)$上是增函数，在区间$[-a,0)$和$(0,a]$上是减函数。其中，$a>0$。4.函数的奇偶性定义了函数在定义域内的对称性质。如果函数$y=f(x)$满足对于定义域内的任意一个$x$，都有$-x\inD$，且$f(-x)=-f(x)$，则这个函数是奇函数；如果$f(-x)=f(x)$，则这个函数是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于$y$轴对称。判断函数的奇偶性可以通过定义法、定义的等价形式、图象法和性质法来进行。奇偶函数的性质包括：函数具有奇偶性，则其定义域关于原点对称；奇偶函数的和、差、积仍然是奇偶函数，偶函数的复合函数仍然是偶函数，奇函数的复合函数仍然是奇函数。3.奇函数和偶函数的单调性在对称区间上是相同或相反的，分别对应奇函数和偶函数。4.如果奇函数y=f(x)的定义域包含x=0，则f(0)=0。5.常见函数的奇偶性：1.正比例函数y=kx(k≠0)是奇函数；2.反比例函数y=k/x(k≠0)是奇函数；3.函数y=kx+b(k≠0)既不是奇函数也不是偶函数；4.函数y=ax^2+c(a≠0)是偶函数；5.常函数y=c是偶函数；6.对勾函数y=x^3+k(k≠0)是奇函数；7.幂函数y=x^n(n为整数)的奇偶性：①当n为偶数时，y=x^n是偶函数；②当n为奇数且m为奇数时，y=x^m是奇函数；③当n为奇数且m为偶数时，y=x^m既不是奇函数也不是偶函数。补充知识：函数的图象变换1.平移变换：向左平移h个单位：y=f(x)→y=f(x+h)；向右平移|h|个单位：y=f(x)→y=f(x-|h|)；向上平移k个单位：y=f(x)→y=f(x)+k；向下平移|k|个单位：y=f(x)→y=f(x)-|k|。2.对称变换：关于y轴对称：y=f(x)→y=f(-x)；关于x轴对称：y=f(x)→y=-f(x)；关于原点对称：y=f(x)→y=f(-x)；关于直线y=x对称：y=f(x)→y=f^-1(x)；去掉y轴左边的图象：y=f(x)→y=f(|x|)；保留y轴右边的图象，并作其关于y轴对称的图象：y=f(x)→y=|f(x)|。第四章指数函数与幂函数4.1指数与指数幂的运算1、根式的概念根式的定义：若一个数的n次方等于a（n>1，且n∈N*），则这个数称a的n次方根。即若xn=a，则x称为a的n次方根（n>1且n∈N*）。1）当n为奇数时，a的n次方根记作na；2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作±na（a>0）。根式的性质：1）(na)n=a；2）当n为奇数时，nan=a；3）当n为偶数时，a=|a|。2、分数指数幂的概念1）正数的正分数指数幂的意义是：a^m/n（a>0，m，n∈N+，且n>1）。的正分数指数幂等于a^(m/n)。2）正数的负分数指数幂的意义是：a^(-m/n)=1/(a^(m/n))（a>0，m，n∈N+，且n>1）。4.2指数函数指数函数的定义：函数y=ax（a>0且a≠1）叫做指数函数。图象：当a>1时，图象在x轴上方，y轴是渐近线。当0<a<1时，图象在x轴上方，y轴是渐近线。定义域：R。值域：(0，+∞)。过定点：(0，1)。奇偶性：非奇非偶。单调性：在R上是增函数，ax>1（x>0）；在R上是减函数，ax<1（x<0）。函数值的变化情况：在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低。4.3对数1、对数的定义若ax=N（a>0且a≠1），则x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做底数，N叫做真数。负数和零没有对数。对数式与指数式的互化：x=logaN⇔ax=N（a>0，a≠1，N>0）。2、几个重要的对数恒等式loga1=0，logaa=1，loga(ab)=logaa+logab。3、常用对数与自然对数常用对数：即log10N；自然对数：即lnN（其中e=2.71828…）。对数的运算性质如下：①对于a0,a1,M0,N0，有logaMlogaNloga(MN)。②对于a0,a1,M0,N0，有logaMlogaNloga(M/N)。③对于a0,a1,M0，nR，有nlogaMloga(M^n)。④对于a0,a1,N0，有alogaNN。⑤对于a0,a1,b0,b1,N0，有logaNlogbN/logba。⑥对于a0,a1,b0,b1,M0，nR，有logabM^nnlogaM/logab。⑦对于a0,a1,b0,b1，有logab1/logba。对数函数ylogax(a0,a1)的定义域为(0,)，值域为R。当a1时，图象在第一象限内，a越大，图象越靠低；在第四象限内，a越大，图象越靠高。当0a1时，图象在第一象限内，a越大，图象越靠高；在第四象限内，a越大，图象越靠低。对数函数在(0,)上是增函数，在(0,)上是减函数。其图象过定点(1,0)。函数的零点是指函数yf(x)(xD)使f(x)0的实数x。当函数yf(x)的图象与x轴有交点时，函数yf(x)有零点。根据零点存在性判定定理，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)＜0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c就是方程f(x)=0的根。要求函数的零点，可以通过代数法求解方程f(x)=0的实数根，或者通过几何法将方程与函数的图象联系起来，利用函数的性质找出零点。二分法是一种用于求连续不断的函数y=f(x)的零点近似值的方法。对于区间[a,b]上的函数，如果满足f(a)·f(b)<0，则可以通过将区间一分为二的方式，逐步逼近零点，得到近似值。三角函数中，正角是按逆时针方向旋转形成的角，负角则相反，零角是不作旋转形成的角。对于任意角，如果其顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称其为第几象限角。与某个角的终边相同的角的集合，可以表示为k·360+α，其中k为整数。已知某个角α是第几象限角，可以通过将各象限均分n份，从x轴正半轴的上方开始，依次标出各区域的编号，来确定α所在象限的方法。弧度制是一种用于表示圆心角的单位，长度等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度。对于半径为r的圆，其圆心角α所对的弧长为l，则α的弧度数的绝对值为α=l/r。弧度制和角度制之间可以通过公式2π=360°和1°=π/180进行转换。对于圆心角为α的扇形，其半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，有l=rα，C=2r+l，S=r^2α。对于任意大小的角α，其终边上任意一点的坐标为(x,y)，可以用三角函数来表示，其中sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x（x不为0）。在各象限中，三角函数的符号有所不同，第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正。同角三角函数有一些基本关系，如sin^2α+cos^2α=1，sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos^2α-sin^2α，以及sinα/tanα=cosα。此外，还有一些诱导公式，如sin(2kπ+α)=sinα，cos(2kπ+α)=cosα，tan(2kπ+α)=tanα（其中k为整数），以及sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα，sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα。4.正确格式：(4)sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα。(5)sin(-α)=cosα，cos(-α)=sinα。(6)sin(π+α)=cosα，cos(π+α)=-sinα。改写：(4)根据三角函数的定义，可得sin(π-α)=sinπcosα-cosπsinα=-sinα，cos(π-α)=cosπcosα+sinπsinα=-cosα，tan(π-α)=sin(π-α)/cos(π-α)=-sinα/cosα=-tanα。(5)根据三角函数的定义，可得sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα。(6)根据三角函数的定义，可得sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα。15.删除明显有问题的段落。改写：本段介绍了三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值、对称轴和对称点等性质。其中，sinx的定义域为全体实数，值域为[-1,1]，为奇函数，周期为2π，单调性为在[2kπ-π,2kπ+π]上单调递增，在[2kπ+π,2kπ+3π]上单调递减，最大值为1，最小值为-1，对称轴为x=kπ，对称点为(kπ,0)；cosx的定义域为全体实数，值域为[-1,1]，为偶函数，周期为2π，单调性为在[2kπ,2kπ+π]上单调递减，在[2kπ+π,2kπ+2π]上单调递增，最大值为1，最小值为-1，对称轴为x=kπ+π/2，对称点为(kπ+π/2,0)；tanx的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+π/2，k∈Z}，值域为全体实数，为奇函数，周期为π，单调性为在(kπ-π/2,kπ+π/2)上单调递增或递减，最大值和最小值不存在，对称轴为x=kπ，无对称点。16.二倍角公式的正弦、余弦和正切公式中，公式⑴和⑵有误，应为：⑴sin2α=2sinαcosα。⑵cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α。改写：本段介绍了二倍角公式的正弦、余弦和正切公式。其中，sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)。17、辅助角公式：$a\s