常数项级数的审敛法

关于常数项级数的审敛法第1页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三一、正项级数及其审敛法

正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.

正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数.

这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的,而单调有界数列是有极限.

下页定理1(正项级数收敛的充要条件)

第2页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三定理2(比较审敛法)

>>>

推论

下页第3页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

解

下页定理2(比较审敛法)

设∑un和∑vn都是正项级数,且unkvn(k>0,nN).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散.第4页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知

p

级数收敛.时,2)若第5页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

设∑un和∑vn都是正项级数,且unkvn(k>0,nN).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散.p级数的收敛性

证

下页定理2(比较审敛法)

第6页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切第7页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三定理3(比较审敛法的极限形式)下页

解

第8页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三>>>

下页

解

定理3(比较审敛法的极限形式)第9页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三下页收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散

定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)

解

所以根据比值审敛法可知所给级数收敛

例5

证明级数是收敛的

第10页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三所以根据比值审敛法可知所给级数发散

下页

解

收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散

定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)第11页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三提示:所以根据比值审敛法可知所给级数收敛

下页

解

收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散

定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)第12页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三讨论级数的敛散性.解:

根据定理4可知:级数收敛;级数发散;第13页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三下页定理5(根值审敛法柯西判别法)收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散

所以根据根值审敛法可知所给级数收敛

因为

解

第14页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三定理5(根值审敛法柯西判别法)收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散

所以根据根值审敛法可知所给级数收敛

因为

解

下页第15页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三时,级数可能收敛也可能发散.例如

,p–级数说明:但级数收敛;级数发散.第16页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三证明级数收敛于S,似代替和S

时所产生的误差.解:

由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn

近第17页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三定理6(极限审敛法)因为

解

根据极限审敛法知所给级数收敛

下页第18页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三定理6(极限审敛法)因为

解

根据极限审敛法知所给级数收敛

首页第19页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.第20页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三1.

判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散.(2)发散,故原级数发散.第21页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三二、交错级数及其审敛法交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.下页

例如

第22页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三二、交错级数及其审敛法交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.定理7(莱布尼茨定理)(1)unun1(n123

)

则级数收敛且其和su1

其余项rn的绝对值|rn|un1

>>>

下页第23页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三这是一个交错级数.

解

由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和s<u11,首页则级数收敛,且其和su1,其余项rn的绝对值|rn|un1.定理7(莱布尼茨定理)因为此级数满足

例12第24页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛第25页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

三、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛下页

例如

第26页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

三、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定理8(绝对收敛与收敛的关系)应注意的问题

下页第27页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

解

下页定理8(绝对收敛与收敛的关系)

例13第28页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三例14.