圆外切四边形的性质和应用

/圆外切四边形的性质及应用双心四边形.外心为O.外接圆半径为R.内心为P.内切圆半径为r.OI=h．证明EQ\F<1,R+h2>+EQ\F<1,R－h2>=EQ\F<1,r2>．证：如图.分别过K、L、M、N作PK、PL、PM、PN垂线交于A、B、C、D．∵∠LCM=180－∠LPM=∠PLM+∠PML=EQ\F<1,2><∠MLK+∠LMN>,∠KAN=EQ\F<1,2><∠LKN+∠KNM>．∴A、B、C、D四点共圆．我们设其半径为.易证B、P、D；A、P、C分别三点共线．∴r=PLsin=PBsinsin=PB·EQ\F<PC,BC>EQ\F<AP,AB>,PC·AP=2－d2<d为ABCD的外心记为与P的距离>．又易证AC⊥BD.∴EQ\F<PB,BC·AB>=EQ\F<1,2>r=EQ\F<2－d2,2>…①延长NP交BC于T.易证T为BC中点<卜拉美古塔定理>．∴T∥PS,S∥PT．□TPS中.4OT2=PS2+OS2－d2=22－d2．又ON=EQ\F<1,2>EQ\R<22－d2>O为KLMN的外心即为O且R=EQ\F<1,2>EQ\R<22－d2>…②.h=EQ\F<1,2>d…③由①②③得EQ\F<1,r2>=EQ\F<42,2－d22>=EQ\F<2R2+h2,R2－h22>=EQ\F<1,R+h2>+EQ\F<1,R－h2>．证明圆外切四边形ABCD的对角线AC、BD的中点E、F与圆心O共线．证：沿用上题的记号.对点X、Y、Z.用dX,YZ表示X到YZ的距离．设⊙O半径为r.∠BAD=2,∠ABC=2,∠BCD=2,∠CDA=2.则,,,均为锐角且+++=．∴sin,sin,sin,sin>0．连结EF若E与F重合.则结论显然成立.以下设E与F不重合．在线段EF上取点O使EQ\F<EO,OF>=EQ\F<sinsin,sinsin>．连OA、OD、OGF为⊙O与AD相切处.则OG⊥AD,AG=OGcot=rcot,GD=OGcot=rcot．故AD=rcot+cot．∴dA,CD=rcot+cotsin2．∴dE,CD=EQ\F<1,2>sin2cot+cotr=sincoscot+cotr=sincoscot+cos2r=sincoscot－sin2r+r=sin·EQ\F<coscos－sinsin,sin>r+r=EQ\F<sincos+,sin>+1r．同理dF,CD=EQ\F<sincos+,sin>+1r．由EQ\F<EO,OF>=EQ\F<sinsin,sinsin>知dO,CD=EQ\F<sinsinEQ\F<sincos+,sin>+1r+sinsinEQ\F<sincos+,sin>+1r,sinsin+sinsin>=EQ\F<sinsincos++cos+,sinsin+sinsin>r+r=r因为+++=.所以cos++cos+=0．同理dO,AB=dO,BC=dO,DA=r．∴O与O重合.故知结论成立.证毕．已知△ABC.在BC、CA、AB上分别取点D、E、F使四边形AEDF、BDEF、CDEF均为圆外切四边形．求证AD、BE、CF三线共点．证：作△DEF内切圆⊙.切EF、FD、DE于P、Q、R．又设△ABC内切圆为⊙I.△AEF内切圆为⊙1．记⊙1、⊙、⊙I半径分别为R1,R,r．由AEDF为圆外切四边形知AF+DE=AE+DF．∴FP－PE=FD－DE=FA－AE．∴⊙1切EF于P.∴⊙1与⊙外切.∴1、P、三点共线．另一方面.易知A、1、I三点共线．延长AP交I于T.则对△I1与截线AP用梅氏定理知EQ\F<0T,TI>EQ\F<IA,A1>EQ\F<1P,P>=1．注意到EQ\F<A1,AI>=EQ\F<R1,r>.上式EQ\F<0T,TI>EQ\F<r,R1>EQ\F<R1,R>=1.即EQ\F<0T,TI>=EQ\F<R,r>．∴T为线段I上一个定点.∴AP、BQ、CR三线共点于T．由塞瓦定理知EQ\F<sin∠FAP,sin∠EAP>EQ\F<sin∠ECR,sin∠DCR>EQ\F<sin∠DBQ,sin∠FBQ>=1．再用角平分线定理知上式EQ\F<EQ\F<FP,FA>,EQ\F<EP,EA>>EQ\F<EQ\F<ER,EC>,EQ\F<DR,DC>>EQ\F<EQ\F<DQ,DB>,EQ\F<FQ,FB>>=1．将FP=FQ,EP=ER,DQ=DR代入得EQ\F<FA,EA>EQ\F<EC,DC>EQ\F<DB,FB>=1．由塞瓦定理即知AD、BE、CF三线共点.得证．四边形ABCD既可外切于圆.又可内接于圆.并且ABCD的内切圆分别与它的边AB、BC、CD、AD相切于点K、L、M、N.四边形的∠A和∠B的外角平分线相交于点K.∠B和∠C的外角平分线相交于点L.∠C和∠D的外角平分线相交于点M.∠D和∠A的外角平分线相交于点N．证明.直线KK、LL、MM、NN经过同一个点．证：如图.设∠BCD的内切圆圆心为I.∠BAI=∠IAD=,∠ABI=∠CBI=,∠BCI=∠DCI=,∠CDI=∠ADI=θ．⊙I半径为r．由ABCD还有外接圆可得+=+θ=EQ\F<,2>．∴∠KAB==∠NAI由于KN为A外角平分线.且A、K、B、I四点共圆.AB=rcot+cotB．∴EQ\F<AK,sin∠KBA>=EQ\F<AB,sin∠AIB>即EQ\F<AK,sinθ>=EQ\F<rcot+cot,sin+>．∴AK=EQ\F<rsinθ,sinsin>．同理AN=EQ\F<rsin,sinsinθ>．∴KN=EQ\F<rsin2θ+sin2,sinsinsinθ>=EQ\F<r,sinsinsinθ>.KN⊥AI．而KN∥KN且EQ\F<KN,KN>=2rsin且KN⊥AI．∴KN∥KN且EQ\F<KN,KN>=2sinsinsinθsin．同理可得MN∥MN,EQ\F<MN,MN>=2sinsinsinθsin,ML∥ML,EQ\F<ML,ML>=2sinsinsinθsin,LK∥LK,EQ\F<LK,LK>=2sinsinsinθsin．于是四边形KLMN与四边形KLMN位似.对应顶点连线KK、LL、MM、NN共点于位似中心.得证．设凸四边形ABCD外切于⊙O.圆心O在对角线BD上的射影为M．求证BD平分∠AMC．证：设⊙O在ABCD四边切点为A1、B1、C1、D1．不妨设⊙O半径为1.以O为原点建立复平面.则⊙O为单位圆．令A1、B1、C1、D1所代表的复数为a,b,c,d.则由熟知结论可知D=EQ\F<2ab,a+b>,A=EQ\F<2bc,b+c>,B=EQ\F<2cd,c+d>,C=EQ\F<2da,d+a>．注意到过BD直线方程为B－Dx+BD=B－Dx+BD．将B、D代入化简得c+d－a－bx－[abc+d－cda+b]x=2cd－ab…①又过O且垂直于BD直线方程为EQ\F<x,B－D>+EQ\F<x,B－D>=0．将B、D代入化简得c+d－a－bx+[abc+d－cda+b]x=0…②EQ\F<①+②,2c+d－a－b>得x=EQ\F<cd－ab,c+d－a－b>.此即为M的复数表示.M=EQ\F<cd－ab,c+d－a－b>．又∵∠AMC被BD平分EQ\O<,∠>AMD=EQ\O<,∠>DMCEQ\F<EQ\F<A－M,B－D>,EQ\F<B－D,C－M>>REQ\F<A－MC－M,B－D2>=EQ\X\TO<EQ\F<A－MC－M,B－D2>>．将A、B、C、D、M代入得EQ\F<A－MC－M,B－D2>=EQ\F<EQ\F<2bc,b+c>－EQ\F<cd－ab,c+d－a－b>EQ\F<2ad,a+d>－EQ\F<cd－ab,c+d－a－b>,EQ\F<2ab,a+b>－EQ\F<2cd,c+a>2>=EQ\F<1,4>EQ\F<a+bc+d[2bcc+d－a－b－cd－abb+c][2adc+d－a－b－cd－cbc+d],c+d－a－b2[abc+d－cda+d]2>=EQ\F<1,4>EQ\F<a+bc+d[4abcdc+d－a－b2+cd－ab2a+db+c－2c+d－a－bcd－ab[bca+d+adb+c],c+d－a－b2[abc+dcda+b]2>…③注意到EQ\F<1,4>EQ\F<a+bc+d[4abcdc+d－a－b2+cd－ab2a+bb+c－2c+d－a－bcd－abcd－ab[bca+d+adb+c],c+d－a－b2[abc+d－cda+b]2>=EQ\F<1,4>EQ\F<EQ\F<a+b,ab>EQ\F<c+d,cd>[EQ\F<4,abcd>EQ\F<[abc+d－cda+b]2,a2b2c2d2>+EQ\F<cd－ab2a+db+c,a3b3c3d3>－EQ\F<2[abc+d－cda+b]2ab－cda+b+c+d,a3b3c3d3>],EQ\F<[abc+d－cda+b]2c+d－a－b2,a4b4c4d4>>=EQ\F<a+bc+d{4[abc+d－cda+b]2+cd－ab2a+db+c－2[abc+d－cda+b]ab－cda+b+c+d},c+d－a－b2[abc+d－cda+b]2>…④比较③④知仅需证4abcdc+d－a－b2－2c+d－a－bcd－ab[bca+d+adb+c=4[abc+d－cda+b]2－2[abc+d－cda+b]ab－cda+b+c+d2abcdc+d2+2abcda+b2－4abcda+bc+d+[abc+d－cda+b]ab－cda+b+c+d=2a2b2c+d2+2c2d2a+b2－4abcda+bc+d+c+d－a－bcd－ababc+abd+bcd+2ab－cd[abc+d2－cda+b2]=ab－cd{[abc+d－cda+b]a+b+c+d+c+d－a－b[abc+d+cda+b]}2abc+d2－2cda+b2=abc+da+b+abc+d2－cda+b2－cdc+b+abc+d2－a+babc+d+cda+bc+d－cda+b22abc+d2－2cda+b2=2abc+d2－2cda+b2.得证．双心四边形ABCD.AC∩BD=E.内、外心为I、O．求证I、O、E三点共线．证：引理：圆外切四边形ABCD.切点为M、N、K、L.则AC、BD、MK、NL四线共点．引理的证明：设AC∩KM=G.LN∩KM=G.由正弦定理得EQ\F<GC,AG>=EQ\F<CMEQ\F<sin∠GMC,sin∠CGH>,AKEQ\F<sin∠AKG,sin∠AGK>>=EQ\F<CM,AK>EQ\F<sin∠GMC,sin∠AKG>EQ\F<sin∠AGK,sin∠CGM>=EQ\F<CM,AK>．同理EQ\F<GC,AG>=EQ\F<CL,AN>．∴EQ\F<GC,AG>=EQ\F<CL,AN>=EQ\F<CM,AK>=EQ\F<CG,AG>即G=G．故AC、NL、KM三线共点．同理BD、KM、LN三线共点.引理得证．回到原题：切点仍记为K、L、M、N.由引理KM∩LN=E．以I为中心.⊙KNM为反演圆作反演.A、B、C、D分别为KLMN四边中点．由BC∥KM∥AD,AB∥NL∥DC知ABCD为平行四边形．而A、B、C、D共圆知A、B、C、D共圆.ABCD必为矩形.其中心设为Q.且有KM⊥LN．由反演性质知Q、I、O三点共线．设LN、KM中点为P、R.则EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IQ=EQ\F<1,4>EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IA+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IB+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IC+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>ID=EQ\F<1,4>EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IK+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IL+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IM+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IN=EQ\F<1,2>EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IR+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IP．由垂径定理知PIRE为矩形．从而EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IR+EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IP=EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IE．∴EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IQ=EQ\F<1,2>EQ\s\up8<→>\d\ba24<>IE.即I、Q、E三点共线.从而O、I、E三点共线．平面几何中两个重要定理引理1:凸四边形ABCD有内切圆当且仅当,当且仅