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文档简介

关于惯性定理及定性分类第1页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三一、用坐标变换法化简二次型利用可逆变换化二次型为标准型，就是要寻找可逆阵P，使得对(A,E)行变换对A相应列变换第2页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三例：用一个坐标变换把下列二次型化为标准型：第3页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三

定理（惯性定理）一个二次型的任意两个标准形中的正系数的个数与负系数的个数分别相等.

定义

在二次型f(x)=xTAx的标准形中，正、负系数的个数p、q称为二次型的正、负惯性指数，也称为实对称矩阵A的正、负惯性指数.p+q=r二、惯性定理及规范形第4页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三第5页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三第6页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三n元实二次型(或n阶实对称矩阵)的规范形与其正、负惯性指数互相唯一确定.第7页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三秩和正惯性指数分别相等。两个n阶实对称矩阵合同合同，其中+1和-1的个数共有r(A)个。任一实对称矩阵A与对角阵注意：讨论例题3.18第8页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三第9页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三第10页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三定义三、实二次型及实对称矩阵的定性分类第11页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三任意第12页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三第13页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三正定正定不定结论：标准形更易判定第14页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三定理:满秩线性变换不改变二次型的正定性。第15页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三第16页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三第17页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三例6第18页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三例7：设A是正定矩阵，则其主对角线元素全为正。注意：逆命题不成立。第19页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三关于和形式的矩阵分别为m阶和n阶半正定矩阵。和，则矩阵，且3.若A为为n阶半正定矩阵。正定矩阵，为m阶，则矩阵，且2.若A为为正定矩阵。若A为n阶可逆矩阵，则例8：第20页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三为A的k阶顺序主子式.已知第21页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三第22页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三例9第23页，讲稿共25页，2023年5月2日，星期三例10

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