优化方案高考数学理总复习北师大第章§

§5.5数列的综合应用

§5.5数列的综合应用考点探究•挑战高考考向瞭望•把脉高考双基研习•面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果____________的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的___是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．增加(或减少)比思考感悟银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型．课前热身1．(2009年高考四川卷)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是(

)A．90

B．100C．145 D．190答案：B2．已知等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1，且公差d>0，公比q>1，则集合{n|an＝bn}(n∈N＋)的元素的个数最多为(

)A．1 B．2C．3 D．4答案：B3．(教材改编题)电子计算机中使用的二进制与十进制的换算关系如下表所示：十进制12345678…二进制110111001011101111000…观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制数，当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是(

)A．31 B．63C．111111 D．999999答案：B4．已斑知三宿个数a、b、c成等使比数扮列，症则函焰数f(x)＝ax2＋bx＋c的图龟像与x轴公何共点完的个娱数为__爱__讲__开__．答案禾：05．近软年来庙，太劣阳能从技术名运用篮的步拣伐日趋益加戴快，20巡寿08年全烦球太码阳电嗽池的活年生率产量白达到67巷0兆瓦译，年斧生产跳量的旗增长敲率为34六%，以呆后四巧年年别生产熊量的代增长乳率逐芬年递旗增2%竟(2颈00品9年的虚增长头率为36仅%)，则慌预算20逃12年全王球太耕阳电忙池的蛛年生采产量页为__材__素__南__．答案透：24贸99铜.8兆瓦考点探究•挑战高考考点突破考点一等差、等比数列的综合问题等差触数列乡丰与等铁比数凑列结躬合的奔综合轨问题质是高氧考考巷查的接重点趋，特国别是仔等差均、等卖比数刺列的巴通项写公式这，前n项和攀公式融以及杰等差兽中项汤、等紧比中筐项问稼题是乡丰历年爹命题仗的热洽点．例1(2贿01舌0年高婶考陕厚西卷)已知{an}是公费差不怒为零适的等讲差数连列，a1＝1，且a1，a3，a9成等哨比数派列．(1忽)求数翠列{an}的通按项；(2绒)求数潮列{2an}的前n项和Sn.【思路活点拨】由已穗知条天件列俊方程姥可求晃得等耐差数按列的奖公差d，由卧等比才数列疮的前n项和道公式蛾可求Sn.【名师姓点评】解决伸等差助数列茶与等驼比数己列的秤综合会问题骡的关双键在望于综削合运干用等驼差数遍列和桃等比乡丰数列梦知识低解题尽，也仆就是遵涉及熟哪个法数列什问题麦就灵醉活地励运用岂相关淋知识欢解决坑．等差刊数列暑与等峰比数摧列之便间是悄可以笛相互槽转化来的．务即{an}为等哥差数傍列⇒{胡}浪(a>0且a≠1乖)为等苗比数北列；{an}为正馅项等爸比数闻列⇒{店lo能gaan}(a>0且a≠1龟)为等增差数翅列．变式牙训练1(2缓01刚0年高贷考重男庆卷)已知{an}是首瞒项为19，公先差为岔－2的等傅差数领列，Sn为{an}的前n项和水．(1乒)求通督项an及Sn；(2征)设{bn－an}是首塔项为1，公把比为3的等辨比数疗列，臣求数彩列{bn}的通止项公嫁式及裁前n项和Tn.考点二等差、等比数列的实际应用与数母列有猫关的睛应用详题大艰致有吹三类满：一恭是有临关等茂差数删列的百应用略题；守二是桨有关学等比尝数列访的应览用题啄；三饺是有厘关递狡推数亦列中糟可化秧成等胃差、难等比厚数列海的问拴题．冲当然失，还躲包括帆几类路问题渔的综刃合应年用．缓其中袄第一蛛类问土题在仗内容愧上比亏较简趣单，矛建立石等差晶数列垫模型后，喊问题典常常赵转化刚成整怪式或倒整式草不等贼式处石理，鞠很容争易计幼算．祖对第包二类倾问题概，建眼立等宪比数慨列的友模型岛后，抖弄清顿项数日是关恼键，灶运算快中往恢往要孝运用芦指数袖或对傅数不芦等式迟，常蓝需要萍查表因或依江据题宰设中晨所给豆参考晋数据再进行弹近似辜计算及，对洒其结抓果要独按照朽要求错保留滩一定抄的精拼确度愿．注挨意答骑案要沿符合乘题设压中实苦际需摧要．周对于裤第三抽类问昂题，傻要掌吨握将旱线性蜘递推做数列姿化成遣等比列数列赏求解萄的方他法．例2(2决01象0年高笋考湖怨北卷)已知飞某地亭今年乓年初狗拥有仓居民申住房缓的总钉面积振为a(单位扩：m2)，其断中有荣部分铲旧住虎房需奇要拆芬除．围当地抖有关贿部门起决定洗每年链以当尿年年茧初住显房面电积的10遮%建设骨新住均房，颤同时眠也拆瓦除面刊积为b(单位柴：m2)的旧哥住房组．(1梨)分别恒写出疫第一均年末轧和第剑二年扑末的未实际雨住房丽面积老的表子达式狭；(2储)如果犯第五钱年末冶该地委的住计房面钱积正臂好比饺今年垫年初众的住痕房面桑积增冒加了30偿%，则目每年转拆除店的旧论住房锐面积b是多覆少？(计算秀时取1.涉15＝1.锡6)【思路泛点拨】可逐她年写朗出第没一年关末至蚂第五正年末腹的住菌房面勇积，春然后负列方右程解返出b.【规律碍小结】用数谦列知狐识解念相关扯的实园际问搭题，灶关键姓是合复理建址立数码学模田型——数列裳模型贸，弄点清所涨构造注的数烛列的质首项钓是什上么，海项数跨是多迟少，袭然后快转化货为解飘数列蒙问题迈．求百解时举，要西明确侮目标仔，即孩搞清浆是求男和，喉还是笛求通限项，漆还是堵解递霞推关躁系问炒题，抱所求巷结论稼对应执的是沈解方筋程问认题，寺还是矿解不粉等式暴问题库，还译是最陪值问设题，欠然后械进行店合理报推算袄，得党出实承际问隶题的蔑结果元．变式悉训练2职工抓小张逢年初文向银盒行贷贯款2万元颠用于祸购房朋，银巡寿行贷裂款的灶年利伴率为10税%，按伸复利挣计算(即本递年的瞎利息爸计入版次年酿的本爪金)．若庭这笔辫贷款手要分10年等胖额还剪清，膜每年顿年初孝还一起次，制并且拔从借碌款后愿次年腔年初系开始酸还款没，那姑么每商年应共还多曾少元持？(精确捐到1元)解：堤设每笔年还陶款x元，稻需10年还未清，脾那么目每年励所还冬款及技利息汪的情腿况如哄下：第10年还罩款x元，非此次众欠款茧全部最还清岗；第9年还迁款x元，仪过1年欠毙款全机部还被清时到，所译还款些连同剧利息滥之和尊为x(1＋10伪%)元；第8年还冬款x元，竹过2年欠穴款全敬部还弯清时何，所愚还款近连同贸利息唇之和共为x(1＋10睛%)2元；……考点三数列与解析几何、不等式、函数的交汇问题数列科与其竹它知碧识的侨综合狠问题航主要互指的谦是用小几何愧方法子或函恒数的滑解析朋式构欣造数厘列，盯用函雷数或堡方程杆的方系法研茧究数鬼列问酒题．喷函数役与数彻列的宜综合铅问题夹主要困有以狱下两蜘类：一是贷已知兴函数伟的条哨件，震利用香函数嗽的性浩质图嘴像研掀究数铁列问泪题，率如恒灭成立秧，最字值问禁题等旱；二身是已裤知数腔列条突件，店利用密数列袄的范杆围、孩公式造、求芳和方启法等牙知识序对式适子化底简变从形，携从而修解决涨函数徒问题密．例3【思路筐点拨】(1娱)充分袄利用赖切线销、半虫径、寻原点摧与圆漂心的梢连线毙所构钱成的第直角梦三角辛形可披证{rn}为等吧比数培列．(2诞)利用坛错位讯相减临法求杀和．【名师流点评】数列直、解光析几均何、先不等挤式是甩高考粥的重绑点内巨容，四将三站者密并切综赠合在阵一起饰，强味强联容合命样制大谜型综症合题动是历冰年高荣考的乡丰热点还和重痛点．趋数列芳是特杀殊的边函数挠，以徐数列牙为背捕景的悄不等辞式证炒明问姿题及撤以函穴数作纠为背虑景的与数列载的综锁合问淘题，龙体现战了在央知识密交汇葬点上泼命题尽的特这点，题该类乓综合著题的奸知识聚综合借性强坡，能倡很好备地考蔑查逻拳辑推刃理能丢力和油运算津求解胜能力橡，因当而一症直是酒高考施命题音者的危首选键．考点四数列中的探索性问题探索滔性问屡题往绞往需前要由煮给定浸的条辟件去和探究罩相应帖的结袭论或泳由问称题的亮结论嗽去寻洁找相易应的滑条件托，在万解题代时应挽透过海问题壳的表悬象去抓寻求哑、发妖现规盈律性哭的东厨西．例4【名师鞋点评】本题屯主要宏考查齿数列责、不湖等式尖等基誓础知狱识，从化归软思想供、分王类整留合思眼想等蚂数学靠思想烦方法长，以重及推美理论游证、景分析的与解罚决问倦题的数能力晓．方法役感悟方法怜技巧1．深梢刻理后解等碎差(比)数列叔的性连质，碌熟悉画它们收的推穿导过用程是遥解题多的关斑键．坊两类还数列斤性质芝既有撤相似著之处宁，又绵有区艰别，苹要在应应用象中加结强记饥忆．漂同时套，用豪好性掉质也恳会降姨低解按题的句运算蚊量，你从而熄减少肝差错为．(如例4)2．在造等差补数列彻与等径比数槐列中魂，经策常要耍根据组条件混列方跪程(组)求解任，在恼解方斗程组巷时，孔仔细寄体会品两种嫂情形舟中解壶方程淘组的慎方法祝的不亲同之察处．(如例1)3．数培列的度渗透挥力很魔强，茫它和斥函数歪、方干程、逆三角辱形、臣不等恋式等遍知识旅相互缓联系及，优谨化组叮合，庄无形至中加联大了亿综合嘴的力炸度．井解决螺此类拘题目及，必从须对妹蕴藏嫩在数趣列概雹念和处方法庙中的必数学赤思想明有所唐了解沫，深济刻领芹悟它湾在解展题中货的重阳大作键用，疫常用孤的数絮学思探想方殿法有黄：“函数概与方隐程”、“数形赶结合”、“分类朝讨论”、“等价张转换”等．(如例3)4．在资现实柔生活瓦中，权人口陶的增比长、矩产量洋的增多加、俩成本丽的降钞低、厅存贷更款利仍息的盟计算标、分钥期付已款问舰题等苗，都例可以敢利用攀数列称来解造决，呀因此撇要会卷在实光际问作题中候抽象茂出数各学模殊型，辆并用蒸它解咬决实辅际问烘题．(如例2)失误羊防范1．等仙比数枝列的监前n项和脸公式脏要分艺两种叉情况傅：公跌比等承于1和公捏比不描等于1.最容握易忽完视公静比等扶于1的情饥况，比要注挪意这成方面壶的练孙习．2．数乡丰列的谷应用汉还包芒括实估际问左题，柳要学沃会建串模，睬对应薯哪一病类数铜列，犁进而董求解许．3．在烛有些话情况证下，晶证明系数列贫的不贯等式换要用匀到放孤缩法毁．考情分析考向瞭望•把脉高考数列慢的综贫合应酿用是豆每年司高考典必考御的内支容，该特别截是等捎差数顽列与惕等比状数列狮交汇椒，数究列与字解析广几何废、不该等式和、函维数交房诚汇是娃高考遣的热桑点，某题型港以解驰答题俭为主糖，难驰度偏阵高，撒主要撑考查彼学生迈分析奏问题巷和解屡决问弊题的浙能力圈．预测20久12年高驴考，搏等差起数列千与等涌比数此列交码汇、替数列也与不煎等式宴交汇寻是高罢考的爷主要题考点医，重洁点考梢查运眉算能辉力和旦逻辑越推理冶能力寇．例规范傅解答(本题钢满分12分)已知{an}是公耻差为d的等度差数爬列，{bn}是公吵比为q的等惯比数爬列．(1跃)若an＝3n＋1，是恰否存捐在m、k∈N＋，有am＋am＋1＝ak？请挑说明向理由渗；(2办)若bn＝aqn(a、q为常圈数，巧且aq≠0静)，对蒜任意m存在k，有bm·bm＋1＝bk，试构求a、q满足够的充遮要条路件；(3肺)若an＝2n＋1，bn＝3n，试企确定搜所有范的p，使择数列{bn}中存惩在某广个连碧续p项的赶和是捉数列{an}中的共一项面，请啊证明副．【思路央点拨】处理加第(1遇)问时昌，将弦等差咬数列{an}的通幼项公吴式代卸入等鸦式am＋am＋1＝ak，然眠后从泛整除岔的角功度判篮断等妄式是语否有俯整数键解；路处理摩第(2阅)问时序，将灰等比比数列{bn}的通安项公进式代蹄入bm·bm＋1＝bk，研敞究等疾式成绞立的状充要头条件柄；处栽理第(3脊)问时释，注树意到an＝2n＋1是奇身数，bn＝3n也是棋奇数泻，当p是偶越数时泡，偶只数个背奇数士的和极不可拘能是淹奇数粗，等叶式不菠能成荣立，既所以烫只需都对p为奇莲数进长行讨课论．【名师填点评】(1返)本题复易错烤点有住：一系是解厚题过袜程中林忽视颜了正屋整数决的限格制，悄导致害推理宗不严贼密或依是解捆题错卫误；辆二是旬不会锹进行棚正整拒数的疯奇偶暮性分郊析，利对处振理不勇定方家程缺片少必艺要的死方法亿，导再致解怪答错听误