2015届高考数学文科一轮总复习资源2篇函数与基本初等

第7讲 函数的图象及其应用知识梳理1．函数的图象及作法2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)关于x轴对称――――――――→②y＝f(x)

――――――――→关于y轴对称③y＝f(x)

关于原点对称――――――――→关于y=x对称④y＝ax(a＞0且a≠1)

――――――――→

y＝．y＝

－f(x)

；y＝

f(－x)

；y＝

－f(－x)

；logax(a＞0且a≠1)(3)翻折变换①y＝f(x)―――――――――――――――――→保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去

.―――――――――――――――――→

②y＝f(x)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝

|f(x)|y＝

f(|x|)

．(4)伸缩变换―――――――――――――――――――――――→的a倍，横坐标不变①y＝f(x)纵坐标伸长(a＞1)或缩短(0＜a＜1)为原来y＝af(x)(a＞0)――――――――1―――――――――――――――→的a倍，纵坐标不变②y＝f(x)横坐标伸长(0＜a＜1)或缩短(a＞1)为原来y＝f(ax)(a＞0)辨析感悟1．图象变换问题(1)为了得到函数y＝lg

x＋3

的图象，只需把函数y＝lg

x的图象10上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．

(√)若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．

(×)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)函数y＝2|x－1|的图象关于直线x＝1对称．(√)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．

(×)2．图象应用问题(6)(2013·汉中模拟改编)方程|x|＝cos仅有两个根．x在(－∞，＋∞)内有且(√)

(7)(2013·洛阳调研改编)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象

c如图所示，则点Pa，b所在的象限为第二象限．(√)[感悟·提升]三个防范

一是函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”，但要注意加、减指的是自变量．如(5)；二是注意含绝对值符号的函数的对称性，如y＝f(|x|)与y＝|f(x)|的图象是不同的，如(3)；三是混淆条件“f(x＋1)＝f(x－1)”与“f(x＋1)＝f(1－x)”的区别，前者告诉周期为2，后者告诉图象关于直线x＝1对称，如(2).考点一 作函数的图象【例1】分别画出下列函数的图象．x＋1(1)y＝|x2－4x＋3|；(2)y＝2x＋1；(3)y＝10|lg

x|.解

(1)先画函数y＝x2－4x＋3的图象，再将其x轴下方的图象翻折到x轴上方，如图(1)．2x＋1(2)y＝1x＋1

＝

x＋1

x＋12(x＋1)－1＝2－

，x1可由函数y＝－向左平移1个单位，再向上平移2个单位，如图(2)．x，x≥1，(3)y＝10|lg

x|＝1x，0＜x＜1，如图(3)．规律方法

(1)熟知一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象，再掌握图象变换的规律作图．(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．【训练1】定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得的图象对应的函数与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：①f(x)＝(x－1)2，T：将函数f(x)的图象关于y轴对称；②f(x)＝2x－1－1，T：将函数f(x)的图象关于x轴对称；③f(x)＝xx＋1，T：将函数f(x)的图象关于点(－1,1)对称．其中T是f(x)的同值变换的有

(写出所有符合题意的序号)．解析

对于①：f(x)值域为[0，＋∞)，经变换T后f(x)＝(x＋1)2，值域也是[0，＋∞)．对于②：f(x)的值域为(－1，＋∞)，经变换T后f(x)＝1－2x－1，值域为(－∞，1)．x＋1对于③：f(x)＝1－

1

，其图象关于点(－1,1)对称，因此经变换T后值域不变．答案

①③考点二

函数图象的变换则y＝f(1－x)的图象【例2】

函数f(x)＝是

．解析画出y＝f(x)的图象，再作其关于y轴对称的图象，得到

y＝f(－x)的图象，再将所得图象向右平移1个单位，得到y＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的图象．答案③规律方法

作图象平移时，要注意不要弄错平移的方向，必要时，取特殊点进行验证；平移变换只改变图象的位置，不改变图象的形状．【训练2】(2013·江南十校联考)函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是

．解析当x＞0时，y＝log2(x＋1)，先画出y＝log2x的图象，再将图象向左平移1个单位，最后作出关于y轴对称的图象，得与之相符的图象为②.答案

②考点三

函数图象的应用【例3】(1)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg

x|的图象的交点共有

个．(2)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是

．审题路线

(1)画出

x∈[－1,1]时，f(x)＝x2

的图象⇒根据周期为

2

画出

x∈(1，＋∞)时的函数图象⇒画出函数

y＝|lg

x|的图象注意x＝10时的情形――――――――――→观察图象，得出交点个数．解析

(1)画出两个函数图象可看出交点有10个．(2)y＝2x2－x＋a，x≥0，x

＋x＋a，x＜0，作出图象，如图所示．此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a1－4

，要使y＝1与其有四个1交点，只需a－4＜1＜a，∴1＜a＜54.答案

(1)10 (2)1，

54规律方法

(1)曲线交点、函数零点、方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数．利用此法也可由解的个数求参数值或范围．(2)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性等都是函数图象的基本应用.【训练3】已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．解

f(x)＝(x－2)2－1，x∈(－∞，1]∪[3，＋∞)，－(x－2)2＋1，x∈(1，3)，作出函数图象如图．函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为

(－∞，1]，[2,3]．在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0＜m＜1，∴M＝{m|0＜m＜1}．掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．识图的要点：重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x、y轴的交点，最高、最低点等)．识图的方法定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；定量计算法：通过定量的计算来分析解决；排除法：利用本身的性能或特殊点进行排除验证．研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想；方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决．思想方法2——利用数形结合思想求参数的范围2

1【典例】已知不等式x

－loga

x＜0，当x∈0，2时恒成立，求实数a的取值范围．解

由x2－loga

x＜0，得x2＜logax.设f(x)＝x2，g(x)＝logax.

1由题意知，当x∈0，2时，函数f(x)的图象在函数g(x)如图，可知的图象的下方，0＜a＜1，1

12

2f

≤g

，0＜a＜1，即12

2≤loga12，

1

解得16≤a＜1.

1

∴实数a

的取值范围是16，1.[反思感悟](1)“以形助数”是已知两图象交点问题求参数范围常用到的方法，解决此类问题的关键在于准确作出不含参数的函数的图象，并标清一些关键点，对于含参数的函数图象要注意结合条件去作出符合题意