离散数学图论课件

图的术语度数完全图子图补图图的同构7-1图的基本概念1离散数学定义一个图是一个三元组<V(G),E(G),φG>,简记为G＝<V,E>，其中：V＝{v1,v2,v3,…,vn}是一个非空集合,vi(i＝1,2,3,…,n)称为结点,简称点,V为结点集；E＝{e1,e2,e3,…,em}是一个有限集，ei(i＝1,2,3,…,m)称为边,E为边集，E中的每个元素都有V中的结点对（有序偶或无序偶）与之对应。一、图的术语2离散数学图的术语若边e与结点无序偶(u，v)相对应，则称边e为无向边,记为e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；若边e与结点有序偶<u，v>相对应，则称边e为有向边(或弧)，记为e＝<u，v>，这时称u是边e的始点(或弧尾)，v是边e的终点(或弧头)，统称为e的端点；在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还是无向的，均称边e与结点vi和vj相关联，而vi和vj称为邻接点，否则称为不邻接的；关联于同一个结点的两条边称为邻接边；图中关联同一个结点的边称为自回路(或环)；图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点；仅由孤立结点组成的图称为零图；仅含一个结点的零图称为平凡图；3离散数学续：含有n个结点、m条边的图称为(n，m)图；每条边都是无向边的图称为无向图；每条边都是有向边的图称为有向图；有些边是无向边，而另一些是有向边的图称为混合图。在有向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有同始点和同终点的几条边，则这几条边称为平行边，在无向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有几条边，则这几条边称为平行边，两结点vi，vj间相互平行的边的条数称为边(vi，vj)或<vi，vj>的重数；含有平行边的图称为多重图。非多重图称为线图；无自回路的线图称为简单图。赋权图G是一个三元组<V,E,g>或四元组<V,E,f,g>，其中，V是结点集合，E是边的集合，g是从E到非负实数集合的函数。4离散数学(a)例：(b)(c)(d)例：5离散数学(e)(f)(g)(h)例：例：6离散数学(i)(j)(k)(l)例：例：7离散数学(m)(n)(o)(p)例：例：8离散数学定义在无向图G＝<V，E>中，与结点v(vV)关联的边的条数，称为该结点的度数，记为deg(v)；定义在有向图G＝<V，E>中，以结点v(vV)为始点引出的边的条数，称为该结点的引出度数,简称出度,记为deg+(v)；以结点v(vV)为终点引入的边的条数，称为该结点的引入度数，简称入度,记为deg-(v)；而结点的出度和入度之和称为该结点的度数，记为deg(v)，即deg(v)＝deg+(v)+deg-(v)；δ(G)最小度，Δ(G)最大度定义在图G＝<V，E>中，对任意结点vV，若度数deg(v)为奇数，则称此结点为奇度数结点，若度数deg(v)为偶数，则称此结点为偶度数结点。二、度数9离散数学例：de姓g(比v1)＝3，de搅g+(v1)＝2，de劳g-(v1)＝1；de贪g(五v2)＝3，de脚g+(v2)＝2，de恶g-(v2)＝1；de棍g(物v3)＝5，de抛g+(v3)＝2，de白g-(v3)＝3；de滴g(喊v4)＝de配g+(v4)＝de筹g-(v4)＝0；de此g(均v5)＝1，de糟g+(v5)＝0，de皇g-(v5)＝1；例：10离散植数学定理1.在无劈燕向图G＝<V，E>中，沿所有嫩结点旅的度杆数的倒总和搜等于翼边数防的两拔倍，这即：在有雷向图G＝<V，E>中，避所有狐结点挪的出拾度之销和等吗于所丽有结样点的这入度振之和钓，所导有结地点的谅度数此的总仇和等州于边阅数的松两倍覆，即岔：11离散道数学定理定理在图G＝<V，E>中，航其V＝{v1,v2,v3,…酱,vn}，E＝{e1，e2，……，em}，度数桥为奇龄数的丙结点执个数穷为偶踢数。证明设V1＝{v电|vV且de克g(桐v)＝奇数}，V2＝{v屠|vV且de蔬g(轰v)＝偶数}。显唤然，V1∩V2＝Φ，且V1∪V2＝V，于是完有：由于驴上式稀中的2m和偶育度数叙结点愿度数偿之和绩均为侍偶数隙，因盲而奇泄数的驱结点妙个数送也为酱偶数速。于极是|V1|为偶眨数(因为V1中的驴结点v之de匙g(挣v)都为连奇数)，即出奇度演数的助结点犹个数弯为偶迟数。12离散拾数学三、逗完全枯图定义在图G＝<V，E>中，辣若所志有结燃点的坊度数载均有耕相完同度壁数d，则称学此图愁为d次正郊则图屑。定义一个(n，m)璃(n2)的简予单无输向图贸，若筐它唯为n-尤1次正殃则图妄，则毕称该(n，m)图为无向线简单枝完丈全图，简称完全阴图,记为Kn。有向棒完全渗图定理设无卧向完丙全图G有n个顶厅点，司则G有n(续n-层1)虚/2条边陵。13离散耻数学例：例：如图(a桨)、(b橡)、(c比)、(d匹)所示给，它穗们分坑别是霞无向座的简痒单完豪全图K3，K4，K5和有鉴向的婶简单础完全亩图K3。14离散不数学定义设有燃图G＝<V，E>和图G1＝<V1，E1>，若G和G1满足绕：若V1V，E1E，则称G1是G的子图，记为G1G；若G1G，且G1G(即V1V或E1E)，则称G1是G的真子挣图，记为G1G；定义若V1＝V，E1E，则称G1是G的生成芦子图；定义若V2V，V2Φ，以V2为结盒点集熊，以慨两个吉端点那均在V2中的蓄边的全体为边袜集的G的子够图称萝为V2导出馒的子纲图，简液称G的导暗出子弓图。四、得子图15离散扔数学例：例：在下纯图中肠，给榆出了万图G以及房诚它的鹿真子瘦图G’和生杨成子宝图G’椒’。G’是结剖点集{v1，v2，v4，v5，v6}的导舱出子沟图。16离散津数学定义设G＝<V，E>为具汇有n个结沸点的顾简单锈图,从完宫全图Kn中删幅去G中的渡所有筹的边骂而得扔到的政图称拳为G的补图(或G的补)，记为握。定义Ｇ＝<Ｖ，垄Ｅ>是图神，Ｇ友’＝<Ｖ’冈，Ε’肃>是Ｇ胶的子河图，雷Ｅ”羞＝Ｅ斩－Ｅ逼’，丑Ｖ”选是因Ｅ”南中边叔所关润联的桐所有磨顶点探集合饼，则由Ｇ”姜＝<Ｖ”吵，Ｅ领”>称为蜻Ｇ’馒关于舌Ｇ的相对词补图。关于到完全浆图的棉子图化的补光图称萌为此亏子图班的绝对涨补图。五、谱补图17离散与数学例：例：在下升图(a昆)、(b禾)、(c烦)、(d析)中，(a停)与(b哑)是互粪为补腐图；(c霉)和(d爱)是互有为补任图。18离散蛾数学六、雀图的症同构例:如下辛图所鸦示，图(a铸)、图(b乐)、图(c旬)和图(d恐)所表凶示的号图形棚实际岁上都周是一啦样的躬。19离散匠数学定义定义设有溉图G＝<V左,E哄>和图G1＝<V1,E1>,如果筝存在善双射懂函数g:夕V→布V1,使得攀对于云任意绵的边e＝(vi,vj)E(或<vi,vj>E)当且症仅当e1＝(g沉(vi),认g(思vj))E1(或<g(筑vi),延g(道vj)>E1)则称G和G1同构，记为G≌厕G1。同构鸟的充臂要条情件：两个踢图的忽结点夫和边灾分别怎存在咳一一同对应膝，且茄保持棍关联波关系块。20离散样数学例：例：如图(a裁)、(b洽)所示山的两紫个图G＝<V愉,E晚>和G1＝<V1,E1>，证明G≌室G1。解：定船义函辣数g:朵V→扑V1，满足g(础vi)＝vi’(i＝1，2，3，4，5)，可以负验证g是一笋个满宾足定酸义