第次课随机变量的函数的分布

电子课件史册主讲概率论与数理统计

随机变量随机变量的分布函数

离散型随机变量连续型随机变量及其概率密度

随机变量的函数的分布第二章一维随机变量及其分布

教学基本要求掌握：二项分布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、指数分布、正态分布及其应用。熟悉：计算与随机变量相联系的事件的概率，求随机变量函数的分布。理解：随机变量的概念，分布函数的概念及性质，离散型随机变量及其概率分布的概念，连续型随机变量及其概率密度的概念。了解：

0－1分布，几何分布，超几何分布，泊松定理的结论和应用条件，用泊松分布近似表示二项分布。重点：二项分布、正态分布及其应用，离散型随机变量及其概率分布，连续型随机变量及其概率密度。难点：随机变量函数的分布例：若随机变量且则例：设随机变量，且二次方程无实根的概率为0.5，则例：在电源电压不超过200伏，在200-240伏，和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.0001,0.2。假设电源电压服从正态分布，试求（1）该电子元件损坏的概率（2）该电子元件损坏时电源电压在200-240伏的概率例已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解一解二图解法0.2由图0.3练习：设试计算解：对于标准正态随机变量,的定义.分布函数三、南本节芝小结2.常见帅连续陕型随初机变爬量的意分布均匀分布正态分布(或高斯分布)指数分布正态伞分布似有极挺其广议泛的新实际蒙背景,是自获然界薄和社握会现尤象中扮最为穗常见季的一巷种分短布,一个智变量盐如果射受到泰大量誉微小倘的、桥独立削的随茅机因碎素的羞影响,那么怒这个父变量效一般步是一恨个正际态随边机变盆量.3.正态相分布池是概杏率论紫中最列重要猪的分挎布二项愁分布侦、泊惑松分害布等概的极若限分食布是煌正态字分布迎．所盒以，诉无论说在实画践中谜，还密是在快理论支上，纲正态响分布悔是概吹率论冲中最他重要运的一喷种分啊布.C.镰F.枪G河au投ss是嘱德国绕著名数学块家、物忆理学箭家、慌天文吵学家蔽、大地棚测量滤学家。称他有数学昆王子的美侍誉（1+桨2+液…+卫10什0,尺规饿作图副：正秆三角宋形，游正17边形涂，墓辨碑为尝正17边形漂），酬被誉容为历羊史上搁伟大胳的数勾学家件之一拒，和嫌阿基丢米德托、牛纸顿、欧拉同享泰盛名揭。高斯蜻在数芬学上抗的理嚷论若也全部挣贡献溉，数烛学将崖前进橡半个奔世纪挣。阿转基米挡德、卸牛顿升、高粉斯是迅世界起上三碗大数桐学贡采献者叫。高斯宫资料一、爬离散纽奉型随兼机变鞭量的胁函数夹的分判布二、钉连续昆型随信机变梯量的俱函数搭的分遥布三、患小结第五店节座随机鼠变量挠的函请数的胖分布一、旱问题虽的提雁出在实博际中员，人属们常蜜常对占随机跑变量饮的函悄数更感咽兴趣.求截面面积A=

的分布.例如拿，已行知圆买轴截猾面直椒径D的分追布，设随酬机变熄量X的分午布已拉知，Y=阻g织(X商)(设g是连已续函株数）呆，如旗何由X的分怜布求强出Y的分层布？下面叮进行朵讨论.这个则问题垦无论准在实扣践中寻还是罩在理花论上陶都是随重要乎的.一、谎离散垃型随交机变惑量的斜函数王的分隙布由此陶归纳朝出离罪散型盛随机射变量端函数头的分艳布的叼求法.离散抗型随巨机变须量的口函数裕的分拖布Y的分努布律邀为例

设解求:党(1)Y=3X+2的分影布律(2万)Y=X2的分搭布律练习饲设离泼散型伏随机洁变量X的分历布律吵为X1012P0.20.30.10.4二、疲连续脏型随息机变桐量的雪函数悔的分约布（1）如毙果在X的取犁值区据间上笋，函涉数Y=瞎g(饶X)的可滴能取悬值为有信限或脉者可装列个屑，则Y是离雹散型睬随机毙变量婆，其静分布堂律为连续型随机变量的函数Y=g(X)未必是连续型随机变量，需要根据函数的具体情况分析。以下记X的密度函数为设随摆机变胞量所，萍定义X的函场数求Y的分虫布律（2）如许果在X的取扫值区辩间上铁，函宴数Y=粮g(梯X)的可震能取剧值充食满整咸个区滑间，横则Y是连沃续型肢随机崖变量第一墙步先求Y=2X+8的分反布函衡数解例第二峰步由分之布函奖数求谷概率映密度.本例粒用到变限赤的定滑积分的的求疫导公奸式:本例饱用到变限毒的定及积分叶的求馋导公鲜式:由分沾布函庆数的今定义朴,先求求Y=g(X)的分旅布函雕数:FY(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y)求Y=g(X)的概畅率密名度的洁一般漠方法(分布帐函数跳求导蹈法):然后静求上颠式对y的导需数,得Y的概崖率密汗度:fY(y)=FY(y)在求P(Y≤y)的过弦程中捷，关汁键的腹一步巧是设问法从{g(X)敲≤y}中解阴出X,从而遍得到情与{g(X)泽≤y}等价粘的X的不挖等式.试证X的线豆性函否数Y=aX+b(a≠0)也服佛从正久态分内布.证X的概率漆密度除为例设随逗机变萄量X～(,2),显然y=g(x)=ax+b可导狗且g=a保号Y=aX+b的概距率密皂度为由定族理知∴Y=aX+b～(a+b,(|a|)2)即注取,①验证望函数须可导薯且单瓣调②求反蚂函数疫及其再导数④代入师定理遮公式舅即得涝函数企的密借度注意辆取绝治对值有～③确定y的取识值范键围先转崇化为县分布逐函数咐,墨再求帝导已知X的概北率密欣度为求Y明=si赛nX的概家率密谁度.练习利用分布秆函数求概僚率密拥度：∵函数y=猫g(x)=si脸nx在[0,]上为非单晓调函岩数，解故不航能用桃定理抱求.x[0,]时,y0时,0<y<1时,=P((0<X<ar而cs葛iny)∪绑(-ar篇cs红iny<X<))y1时,=P(0<X<ar腊cs统iny)+P(-ar未cs贝inyX)=1.分布殃函数骄法不必侧计算驼积分练习疫设常随机环变量X在(0铃,1载)上服还从均脖匀分冠布，俯求Y=-膏2l川nX的概蒜率密米度.解：在区钻间(0径,1肉)上,函数lnx<0,故y=-添2l决nx>0国,于是y在区强间(0馆,1忆)上单腐调下自降，所有反轿函数由前圣述定疾理得已知X在(0,1)上服从均匀分布，代入

的表达式中得即Y服从敢参数浅为1/幕2的指蠢数分腥布.思考已知金随机搭变量X的分暴布函唯数F(射x)是严驰格单杂增的员连续迈函数,证明Y=F(X)服从[0凶,1均]上的挥均匀先分布.又由碌于X的分仿布函违数F是严屠格递促增的吊连续配函数,其反侧函数F-1存在浙且严板格递猪增.证明:设Y的分码布函稍数是G(灯y)鬼,于是对y>1业,G(y)=栽1;对y<0定,G(y)=较0;由于对0≤y≤1掘,G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)=P(X≤(y))=F((y))=y即Y的分笑布函虎数是求导乡丰得Y的密距度函榜数可见