曲线曲面表示

第九章曲线曲面表示曲线曲面的表示是计算机图形学的重要内容。它是描述物体外形、建立物体数学模型的有力工具。在计算机图形学中，曲线曲面都是采用分段或分片参数多项式的形式。采用分段参数方式有很多好处：曲线曲面形状不依赖坐标系的选取；有直观简便的人机交互手段；容易离散生成；造型灵活、易于拼接。本章介绍一些常用曲线曲面的算法和性质。显式、隐式和参数表示曲线（面）的显式表示：y=f(x)曲线（面）的隐式表示：f(x，y)=0曲线（面）的参数表示：x=x(t),y=y(t)显式表示特点：每一个x值只能对应一个y值；不能表示封闭或多值曲线，例如圆。隐式表示特点：可以表示封闭或多值曲线。非参数表示（显、隐）特点：与坐标轴相关；会出现斜率无穷大情况；非平面曲线（面）难以常系数函数表示；不便于计算和编程。参数表示点的每一个坐标都表示成参数变量的函数参数整个变化范围对应整条曲线，但往往只对某一部分感兴趣，通过规格化使参数的变化范围限制在[0，1]中。参数方程的优越性有更大的自由度来控制曲线（面）的形状。如一条二维三次曲线显性表示：y=ax3+bx2+cx+d，只有四个系数可用来控制曲线（面）形状，非参数方程表示的曲线（面）变换时必须对每个型值点进行变换；参数方程表示的曲线（面）变换时可直接对参数方程进行几何变换，节省计算量便于处理斜率为无穷大的问题，不会因此中断计算规格化参数变量变化范围为[0，1]，不必为参数定义边界易于用矢量和矩阵表达，简化了计算参数曲线定义一条三维曲线的参数形式：x=x(t),y=y(t),z=z(t),0≤t≤1曲线上任意一点可用矢量p(t)=[x(t),y(t),z(t)]表示。起始点在t=0处，即p(0)，终点p(1)在t=1处曲线上任意一点切矢量表示了曲线上该点的切线方向，可以表示曲线在该点处的走向。切矢量表示为：p’(t)=[x’(t),y’(t),z’(t)]。起始点t=0处切矢量，为p’(0)，p’(1)表示在终点t=1处切矢量。Bezier曲线在空间给定n+1个点P0,P1,…,Pn，称下列参数曲线为n次Bezier曲线：其中，Ji,n(t)是Bernstein基函数：称折线为P0P1…Pn为P(t)的控制多边形；称点P0,P1,…,Pn为P(t)的控制顶点。控制多边形P0P1…Pn为P(t)的大致形状的勾画，P(t)是对P0P1…Pn的逼近。（9-1）（9-2）Bezier曲线的性质(1)端点的位置 P0和Pn是曲线P(t)的两个端点。 由式(9-1),(9-2)可得：p(0)=P0,p(1)=Pn端点的切线 P(t)在起点处与P0P1相切，在终点处与Pn-1Pn相切P0PnP1Pn-1由式(9-1),(9-2)可得：P’(0)=n(P1-P0),p’(1)=n(Pn-Pn-1)Bezier曲线的性质(2)凸包性 P(t)位于控制顶点 P0,P1,…,Pn的凸包内几何不变性 曲线的形状仅由控制点的位置决定，与所选用的坐标系无关。交互能力 控制点的位置决定了曲线的形状，变换控制点位置，就可以改变曲线的形状。为人机交互确定曲线形状提供了手段。P0PnP1Pn-1Bezier曲线的拼接（1）一段Bezier曲线常常不足以表现复杂的曲线。为了构造复杂的曲线，常用曲线拼接的方法，即用一段段的曲线首尾相连起来。不同的问题在连接点对曲线连续性有不同的要求：零阶几何连续：首位连在一起即可。不光滑。一阶几何连续：在连接点处曲线方向相同。光滑，但变化趋势不同二阶几何连续：两段曲线在连接处，不仅光滑连接，曲率也相同。零阶几何连续一阶几何连续二阶几何连续Be尺zi华er曲线时的拼险接（2）设两倚段Be熄zi喇er曲线P(玩t)阔,柏Q(惠t)首尾路相接零阶昆几何称连续法就是扫要求监：P(默1)英=Q败(0感)。由Be申zi掠er曲线氏的Q(悉0)歇=Q0,股P划(1闷)=Pn,所以词要使岂两段共两段Be普zi心er实现迟零阶择几何钉连续灿拼接嫩，就沙要求Pn=娱Q0,即前鱼一段晴曲线果的最奇后一姻个控鲜制点驴和后歼一段袍曲线核的第梦一个谱控制旱点重皱合。Be仅zi托er曲线成的拼唐接（3）一阶剧几何锻连续栽就是疑要求酬：P’诞(1喊)=熊Q’置(0哭)。由式(9槐-1尸),恶(9痕-2版)可得汽：P’孔(1穗)=泳n(芹Pn-Pn-菜1)刺,斧Q’肥(0可)=丙m(卧Q1-Q0)Pn-1Pn(Q0)

Q1Pn-Pn-1Q1-Qn几何淹意义咐就是隶要求童：Pn-揪1,Pn(Q0)活,Q1点在脚同一熔条直甘线上贺，且Pn-梳1,嚼Q1分别合在Pn(Q0)两边Be艇zi睁er曲线善的拼支接（4）二阶脉几何灵连续颈就是花要求：P”喷(1伤)=为Q”渗(0民)。由式(9即-1可),券(9泽-2婚)可得载：P”辨(1舞)=尊n(暖n-床1)宋(Pn-2耍Pn-殃1+Pn-拼2)组=n发(n瓣-1刷)(侄Pn-Pn-摩1+扮Pn-诱2-Pn-厨1)Q”慈(0载)=秆m(掉m-汽1)借(Q2-辣2Q1+Q0)=宋m烧(m州-1牺)(乌Q2-Q1+Q0-Q1)Pn-Pn-骄1Pn-焦2-Pn-炎1Q0-Q1Q2-Q1几何庄意义即：除孝了对Pn-虚1,Pn(Q0)最,六Q1控制妥点的勾位置陆有要伐求外例，还糟对Pn-冈2,麻Q2控制饺点的职位置束有要同求。输它们魂的位现置必说须使企两个章红色腊的矢齿量相委等Be畜zi跑er曲线斜的生疮成(1复)在实污际应亲用Be投zi检er曲线宗段绘盐制曲睛线时握，常习运用3次曲胁线，厌即n=限3。这是厦因为眼：一次控曲线弟是直崭线，库二次阿曲线槽是抛明物线报，它腰们表任现复换杂曲厉线的有变化幸能力撞稍差跑；而份三次单曲线辅在一犹个小债的局鸭部，降足够洁了。次数问太大结，数包学计舌算量里大，状且容暮易产娇生累涌积误炕差，币影响肥精度伞。次数膏太大亿，一净段曲趟线的执控制糕点太翼多，册不利炒于人匆机交贺互调匪整曲缓线形弄状。Be夸zi处er曲线巧的生意成(2沈)下面坦来推宁导3次Be豆zi左er曲线娇的计希算公女式n=忍3由式纹（9-厅1），跃（9-他2）可证得：用矩哪阵表埋示如育下：（9-捧3）（9-损4）Be袍zi勇er曲线虫的生蹦成(3训)P(卡t)是空鼻间点遗，用腥坐标掩形式忧表示傲为[x童(t承),异y(撞t)超,z秆(t煌)]由式再（9-括3）可粮知，伤实际终坐标镰值可币用下岛式分侍别计俘算：只要库在[0挡,1干]计算胸若干打个t值，刘如t=问0,罪0.墓1,刃0.宿2,浸…,碑1,求出阀相应烦的坐浴标，挥用直蹲线将俯这些斑点连港接起满来，呆就构示成了汪曲线候。若要做画二首维曲经线，赖只要净计算[x是(t锁),路y(贯t)阁]。（9-5）P(晓t)的三拴个分讯量Be笋zi锈er曲线恶的手去工生售成(1挎)Be糟zi宁er曲线陡上的浊点可自以根前据控能制点英精确其得到P0P1P2P3P0’P1’P2’P0“P1“P0“’P0P1P2P3P0’P1’P2’P0“P1“P0“’Be幅zi填er曲线赚的手概工生精成(2剂)P0”’是曲慰线上歉的点P(呀1/卫2)如果副每次偏取得妄不是杏中点窃，而婚是1/车3点，季最终绢得到趴的点劝是P(割1/恐3)如果惩每次淡取得室不是宾中点哄，而档是1/裁n点，衡最终吨得到传的点眠是P(边1/己n)P0”’将一静段曲扇线分直成两辟段，纯每一酿段成互为一随段新算的Be缎zi慰er曲线存，其认新的看控制驻点如律图所碰示在新水的Be锡zi蚊er曲线甚上可群以继急续精扛确取凯点P0P1P2P3P0’P1’P2’P0“P1“P0“’反算Be誉zi星er曲线予控制国点给定n+烘1个型抄值点Qi(i=0红,1眠,…颜,n迫)，要爽求构矿成的Be匙zi寨er曲线判通过周这些歌点。取参怜数ti=i/门n与Qi相对泰应根据点式9-贞1，Be吴zi威er曲线羡方程岭为解n+伏1个方分程，冤得到P0没,P1…龙…Pn曲线雾控制偏点Be厌zi码er曲线潮升阶增加农控制数点，催提高需对曲及线的胃灵活搭控制兵。升阶酸前后映，曲腐线形勤状不哲发生范变化暂。通过示公式凭变换谈，找森出升材阶前考后控感制点宁之间歉的关列系。升阶帐前：升阶娃后：两者阶曲线惰相同字：左式撒乘以(t罗+(贝1-须t)窄)：Be泛zi薪er曲线榨升阶比较陈两边山同类宇项的肝系数红得：化简驾得：例：薪一段3次曲清线，尘控制悄点为P0,P1,P2,P3，升拾阶为4次曲掩线控晶制点肢为Q0,Q1,Q2,Q3,Q4，两称者关援系为Q0=P0，Q1=1致/4销P0+3题/4柱P1，Q2=2若/4慈P1+2括/4涝P2Q3=3仗/4粥P2+1贸/4掏P3，Q4=P3。Be良zi扣er曲线阀升阶新的货控制发点是技对老疮的控繁制多两边形勉在参杀数i/妨(n割+1闯)处进涉行线缠性插慢值的次结果升阶水后的秤新控屋制多警边形架在老斩控制术多边卵形凸友包中升阶镰后的暑新控隙制多共边形品比老翠控制迈多边摸形更娃接近Be肠zi菜er曲线B样条荣曲线B样条围曲线泥定义晋：设P1,P2,…乔,Pn(n>=勉k)为给码定空素间的n个点劈燕，称岸下列斯参数扮曲线为k阶或k-采1次的炎样条构曲线岗。折陈线P1,P2,…铜,Pn为P(蝇t)的控城制多异边形耍，这n个点比为P(刻t)的控接制顶石点。B样条朽曲线谋定义救式与Be找zi暴er曲线荐形式纺类似疤，不事同之若处在修于，慎其基桑函数晒由Be靠rn眠st藏ei邮n基函两数变典成了B样条陪基函才数Bi,冠k(t蜡)（9-慰6）B样条盛基函公数B样条劲基函仔数是稍由参公数k的递柄推关组系所势定义猎的其中爱，T=俗{ti},锯i给=0哭,陆±1材,精±2斩,…强…是对虏参数美轴t的一复个划晶分。如果孤划分你是等缓距离欧的，途即对银于任尺意i,亮ti+认1-ti=(五i+迷1)贷-i哀=1，形成话的是银均匀B样条懂曲线嚷。我拉们只伶讨论胆均匀B样条章曲线0，其它ti-1titi+1B样条贫基函钟数分前析B样条害基函稿数是龙递推急定义霞：B样条恋基函糠数的心次数初：k=悲1时，Bi,宾k(t炸)为常哲数1,大0次；k=悄2时，Bi,礼k(t与)为1次；k=奸3时，Bi,套k(t烛)为二掉次函蔑数；k=寄4时，Bi,昼k(t般)为三冒次函不数。B样条蚀基函哨数分习析局部器性Bi,诱1(t干)的定派义域靠为[ti,ti+寒1)Bi,谊2(t舅)由两奇段Bi,灶1(t举)，Bi+惕1,环1(t踩)组成巩，定骨义域舟为[ti,ti+肤1)疯∪青[ti+节1,ti+稿2)山=塌[ti,ti+披2)Bi,近3(t柱)的定睛义域积为[ti,ti+堵3)Bi,大4(t嘉)的定逆义域酿为[ti,ti+渴4)这意者味着蛇一个仙控制啊点Pi对整狂个曲朵线的赶影响填只局泳限在k个分垒割区纵域[ti,ti+微k)中B样条属基函直数分绢析反之纺，一途段定目义在斗区间[ti,ti+达1)上的B样条牵曲线Pi(t固)只由k个控斯制点浊决定Pi-如k,…著,Pi-饿1,Pi,。整个B样条痰曲线虾就是屡这样强一段扇一段惜绘制轮完成桥的只要欧能解壁决一久段定仔义在驳区间[ti,ti+套1)上的B样条产曲线Pi(t单)的绘唉制就字能绘掠制整摸段曲占线。Piti-1titi+1Pi-1Pi-2B样条承曲线扭段的泻绘制以最生简单改的k=恳2情况挂为例前，说王明如线何由填定义米式推座出曲唱线段德的计司算公魔式：k=贪2，一段园曲线Pi,脱2(t声)只有绝两个唇控制参点。卖由式卵（9-拣6）可萝得：其中因为B样条姨曲线异段的简绘制所以同理在t2≦t<填t3中因为舰：ti=i令t题’=锯t-代t20≦摇t’忘<1在定歼义域取范围效内B样条哄曲线井段的陷绘制参数融仍用t表示需，可啄得k=浴2时：同样崇，k=蜻3、4时可鸽以得峰到第i段曲秧线的浆矩阵鬼表示粱：（9-窃7）（9-狮8）（9-灿9）B样条监曲线军段的绒绘制对于n个控篮制点队的构挠成的招整个k阶曲欢线，栽整个呀曲线宪表示锅如下售：整个数曲线归共由n-仁k+茄1个曲偿线段吓组成招；第一傍个曲妨线段牲为罢，侧最后肝一个象曲线泻段为曲线驴段裹其形家状由k个控廊制点Pi-研k+横1,Pi-亏k+始2,…捉,Pi的位斯置确亏定。只要兽绘制望出每接一个序曲线建段，牺就能闯绘制唤出整民个阶产曲线袜。B样条犯曲线踩的性户质以一滩段3次曲李线(k殿=4熟)为例工，说片明B样条箩曲线槽的性响质。P(国t)的控锡制点典为P1,P2,P3,P4。1、端点门：P(四t)的起扎点为P(搂0)，终点朱为P(土1)。由式肾（9-数9）P(添0)万=城1/圾6(罪P1+4使P2+P3)膛,P暮(1巾)总=1蜘/6答(P2+4这P3+P4)先看浊起点圾，P(抢0)勉=流P2+1浙/3怒(捉1/泰2(渔P1+P3)柏-P2)一个禾空间舞点可烈以看赢成是凶一个离空间秤矢量洗。以馒平面蛇上的瓣点和京平面招矢量含为例疤，回令顾矢壁量加挖减法B样条陡曲线莲的性株质OP3P1P2P2P2P3=P1+P2P1=P3-P2P4=1/2(P1+P2)P4P1P2P3P4点：½(P1+P3)红色矢量：½(P1+P3)-P2蓝色矢量：1/3(½(P1+P3)-P2)点：P2+1/3(½(P1+P3)-P2)P(0)P(1)B样条解曲线更的性舅质2、端鲜点的奋切线:P抽’(漫0)，P’耐(1钢)我们猎讨论稠切线崭，只名是想也了解译曲线垂的方情向。棋由式糖（9-绒9）P’泰(0检)=攀1/立2(再P3-P1),甚P勺’(希1)她=1驴/2楚(P4-P2),P(0)P(1)P1P2P3P4B样条普曲线窑的性啄质3、凸抵包性袍：曲蔬线段皂在控泳制点绘所围障成的庙凸包嫁内p1p2p3p44、连绞续性某：第赞一个似曲线喉段的垫控制虏点为P1绝,P史2,贴P3娃,P给4,第二趣个曲烈线段棚的控贩制点障为P2染,P铅3,胖P4踏,P爸5,相邻港的两蛛个曲情线段占有三母个共享同的唇控制予点。B样条携曲线鹅的性馅质决定此第一哈段终剑点的野控制欢点与蛙决定情第二汇段起班点的絮控制当点完烛全一携样。魄那么吵，第梅一段坊终点悦的位委置和担方向虽与第漂二段街起点以的位悦置和术方向华完全租一致坑，因创此相做邻的僵曲线物段自喂动连千接。服可以那证明请，曲妇线在牺连接训处具跃有k-链1阶连鲁续。这是B样条写曲线蕉优于Be漫zi京er曲线荡的地龄方，末即不游必为况了在闹连接乞处保羞持一到定的爬平滑镇度，各而处痛心积众虑地毁安排呈、调偷整控奥制点科位置春。它族能自榜动地捕平滑拒连接污。三次He樱rm良it厘e曲线一条谊三次旷参数劝曲线闷的代员数形墙式是缠：P(眨t)筛=a3t3+a2t2+a1t+紫a0,央t[0穿,1宇]四个丈系数a3、a2、a1、a0唯一奥地确咱定了治曲线锋的形绒状和掩位置乓。四个弃系数哗需要坝四个鄙已知桥条件观来确透定，能这种败根据乎四个肯已知近条件恨来确鉴定的买一条疲三次软参数仪曲线江称为拜三次He币rm袄it搂e曲线委。（9-庭10）三次He伴rm咬it循e曲线在实制际应晋用中丧，常束用的才条件碧是：考两个抵端点P(廉0)、P(踩1)和对袖应的威切矢降量P’斥(0峰)、P’搬(1泥)。另一尝个常举用的卸条件怕是：宅曲线职上均睡匀分壶布的牌四个内点P(魂0)、P(拾1/护3)、P(俩2/牲3)、P(职1)。这种最情况优是我饿们要林介绍恰的。下面立我们洪推导苍出由氏曲线兼上均将匀分眼布的兼四个械点P(尽0)、P(尚1/振3)、P(鹅2/半3)、P(腐1)决定棚的曲披线。三次He报rm击it园e曲线由（9-栏10）知烘：P(延0)政=a0P(热1/搜3)铅=1棒/2缴7a3+1夫/9协a2+1阁/3百a1+a0P(插2/蜜3)提=8径/2世7a3+4括/9惑a2+1翼/3否a1+a0P(磨1)产=朱a3+a2+a1+a0解得建：a3=喷-欺9/浸2P套(0信)+责27肿/2触P(塔1/蹲3)画-2移7/急2P铁(2均/3欺)+柄9/碎2P湾(1扶)a2=爹9P蚕(0惰)-摧45嗽/2再P(栋1/斜3)嫌+1戴8P桨(2盼/3需)-较9/怎2P鼓(1坑)a1=法-1严1/疗2P亏(0斧)+怀9P勒(1耀/3滨)-铃9/号2P泳(2申/3范)+沙P(撤1)a0=描P(敞0)（9-跳11）三次He险rm御it团e曲线由(9败-1山0)孙,(罢9-冬11杰)可得鬼：(9-12)由(9巾-1乱2)可以色计算红出一隙系列泳的曲厅线上赤的点霜，进邻而画罪出曲娱线。He齿rm肃it失e曲线颂的性纤质He茂rm世it郊e曲线乱的控雁制点抢直接砍位于电曲线鞠之上兼，这否种控围制点镰称为逐型值续点，海对于男确定菊曲线背的位历置十钳分有岸利。三次He伍rm贞it窃e曲线截的起视点和咳终点睡分别予位于践第一简和第柄四个卡控制捕点上来。对于灾一系饭列控伟制点替所形歌成的乱三次He氧rm披it涝e曲线久，控议制点召应该顷分成前每四醉个一撕组，塔每一晚组形忆成一律段曲势线。拐为了村使每旗个曲滴线段材连接译起来金，相冈邻两烟组的季控制密点应后有一棒个控粮制点让是重铃复的构，即弄前一胳组的导最后斜一个驳控制陵点同半时也碌是后挑一组醋的第咏一个融控制直点。曲线抱段相急接处浆可能滔不光哑滑，柱可以喇通过泄调整势控制偶点位截置，舞使曲鲜线段复相接垃处光春滑起乓来。曲面曲面含和曲少线一令样，估也是科用参优数的智形式柿表示脾。不画同的贝是，屿曲面导参数馋是二欺维的专，用(u绸,v尸)表示曲面羽和曲沾线类捧似，绍是用桐分片翁表示有的。露整个卸曲面注是由柏一系消列的柏分片勺拼接悦而成远的。P(u,v)Be耐zi半er曲面一个根三次Be犯zi灯er曲面庙片的货控制安点有4x深4个一个悠三次Be技zi非er曲面换片的罩代数模形式顷是相应希的矩恭阵形水式是B样条籍曲面一个烧三次B样条瞒曲面垫片的参控制洗点有4x呼4个一个唐三次B样条台曲面炉片的劳代数绵形式疫是相应井的矩宪阵形尿式是He划rm片it倚e曲面一个隶三次He像rm剪it过e曲面院片的额控制属点有4x秃4个一个失三次He纠rm哨it却e曲面钢片的尿代数甚形式糠是相应屈的矩畏阵形授式是曲面曲面P(请u,挨v)上的词任意仿点可山以通械过给倚定参搂数u,盒v炎(0跌<=怒u,脂v<唐=1显)、计算P(愉u,