最优化计算问题概论-

第三章最优化计算问题概论最优化问题最优化问题的提出实例生产计划中，在各种资源有限的前提下，如何安排生产，使生产成本达到最低？工程施工中，要铺设一条从A地到B地输油管道，中间要经过n个中间站，而对于每个中间站又有mi个可选方案，如果各个方案在不同两点间的所需经费已知，如何选择一条最佳路线，使得总费用最低？金融投资中，如何选择和设计证券组合或者投资项目组合，以便在可以接受的风险限度内获得尽可能大的投资回报？机械设计中，如何在满足工作条件、裁荷和工艺要求，并在强度、刚度、寿命、尺寸范围及其他一些技术要求的限制条件下，寻找一组参数，以获得设计指标达到最优的设计方案？针对化学过程如何设计控制方案，才能既优化其性能，又能保证其鲁棒性？在电力分配中，由N个火力发电厂组成一个供电网，要求输出总负荷为S，该如何分配每个发电厂的发电量，在满足各电厂发电量约束的条件下使得总的生产消耗为最小？数学描述上述各类问题资源的最优利用问题，所有类似的这种课题统称为最优化问题，研究解决这些问题的科学一般就总称之为最优化理论和方法，用数学语言描述的话，最优化方法就是在给定的约束条件下，如何在某种范围内选取一些决策变量的取值，使得一个或者多个既定目标达到最优状态（极大、极小或者某种妥协状态）的一门学科。最优化理论和方法的产生和发展一些古老的方法黄金分割法阿基米德证明：如果给定平面几何图形的周长，则在各种图形中，圆所包围的面积为最大。古典最优化方法——精确的分析方法理论基础的建立——牛顿和莱布尼茨在他们所创建的微积分理论有约束的最优化问题变分法最优化理论和方法由于军事上的需要产生了运筹学线性规划，非线性规划，动态规划现代优化方法遗传算法神经网络模拟退火最优化问题的典型实例资源利用问题某工厂生产A、B两种产品，制造1吨A产品需要耗煤8吨，耗电3千瓦，耗时2个工作日；制造1吨B产品需要耗煤4吨，用电4千瓦，耗时9个工作日。已知制造1吨产品A和B分别可以获利6000元和8000元。现在该厂原料有煤300吨，电100千瓦，如果需要在200工作日内生产这两种产品并达到利润最大，应当如何安排A和B的生产数量活动资源生产产品A（吨）生产产品B（吨）资源的供应量煤（吨）电力（千瓦）工作日利润（千元）83264498300100200—最优化问题的典型实例资源利用问题问题分析设x1和x2分别代表产品A、B计划数（单位：吨），f表示利润（单位：千元），则问题就是确定A、B的生产数量x1和x2，既可以充分利用资源，又可以使利润最大化生产A可获利8x1（千元），生产B可获利8x2（千元），故目标函数为优化设计的目标就是使得函数f最大化煤的消耗总量应该小于300吨电力资源的消耗不得高于其供应量100千瓦劳动力时间的消耗不得高于300工作日每种产品数量满足非负限制数学模型模型表达最优化问题的典型实例分派问题假设某个项目有4项连续的任务构成，即完成了任务1才能开始任务2，完成了任务2之后才能开始任务3，以此类推。并且规定由项目组中的甲乙丙丁四名成员每人完成且仅完成其中的一项任务，四个项目组成员分别完成四项任务的时间如表所示，应该如何分配这些任务，即让哪个成员去完成哪个任务，可以使得花费的总时间最短时间成员任务1（天）任务2（天）任务3（天）任务4（天）甲乙丙丁20222122121513163329313226232423最优化问题的典型实例分派问题问题分析设计变量其中xij为0-1变量，i代表项目组成员的序号，j代表任务的序号，则：x11、x12、x13、x14分别代表指派甲完成任务1、任务2、任务3、任务4x21、x22、x23、x24分别代表指派乙完成任务1、任务2、任务3、任务4x31、x32、x33、x34分别代表指派丙完成任务1、任务2、任务3、任务4x41、x42、x43、x44分别代表指派丁完成任务1、任务2、任务3、任务4该问题的目标就是选择一种合适的一对一的组合，使得最后所花费的时间总和最小。根据上述假设，我们可以得到目标函数，即所花费的总时间为：最优化问题的典型实例分派问题问题分析每个人只能完成一项任务每项工作有且仅有一人去完成数学模型最优化问题的典型实例投资决策问题某企业有n个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A元，投资于第i(i=1,2,…n)个项目需花资金ai元，并预计可收益bi元。试选择最佳投资方案。最优邻化问毯题的远典型迅实例投资愚决策毅问题问题禾分析我们调可以再设定渡该问豪题的造目标鬼是要典在选雄择相教应投搏资项解目之饱后使粪得投皱资收舍益率馒最大速，对凯于某脖项目刻我们浆是投拴资还服是不微投资葡，于翁是我羞们令希设计扣变量支为xi(i=1柱,2赛,…n)，其备中当凶我们忍决定堂投资栗第i个项唉目时敞，xi=1，当怨我们鱼决定匪不投捎资第i个项爸目时郊，xi=0目标明为投惕资收耍益率殿最大裹，故目标邻函数应为千总收医益和龄总投床资的郑比值至少顺要对老一个灾项目朵投资弓，并闸且总随的投变资金屿额不旗能超胃过总象资金A由于xi(i=1株,2限,…n)只取问值0或1数学选模型最优抹化问荣题的棒数学无描述最优艺化问完题的握数学期模型由各伴例子瓶可以闭看出然，最依优化贵问题稠涉及吊的领峡域非铺常广刮泛，荣形式才也千庙变万我化，缠各自贪有不沿同的降机理蚊和解袋决方参法，勉但是骂它们么却可决以用般统一圈的数继学形期式表播达，瓜简单只的说恋，均锻可以霜转化视为最谷小（烦或最筐大）躲化一脏个n维变箭量x的实浇函数f(x)，其催中对坐变量且含有妖多种尺约束己。一毫般情亚况下秋，最亮优化涛问题灶的数央学模绞型可仔以表辆达如码下：最优泳化问吉题的令三要松素设计睁变量目标犬函数约束却条件最优格化问益题的遍数学多描述最优挥化问舌题分大类根据渡设计背变量奋的特践征分绞类按照跌设计端变量宅的维伸数进添行分仁类——一维亚优化习问题页，n维优晌化问婚题根据止设计范变量性的取炭值进惹行分智类——离散扩最优梁化和还连续胶最优起化根据兄目标据函数帆的类呢型分辛类只有坚一个欣目标轰的优缝化问保题称戴为单欲目标谷优化做问题存在做两个布或者流两个衡以上销目标味函数披的优弊化问立题，商称为葛多目涛标优的化问娇题根据旦约束涉条件吃的类筋型分透类有无我约束——无约说束优吧化问孙题和登约束玩优化目问题约束傻类型——线性筛规划摆、二劫次规至划、少整数归规划器、0-赶1规划论、非躁线性元规划殖等根据搬最优衔化问础题的追解分搬类如果务最优吓化问稳题的投解不狗随时能间变筋化，同则称牌其为敞静态阵最优射化问颜题或员参数慈最优喘化问根题如果荷最优旗化问邻题的能解随优时间湾而变享，则取称其忧为动叙态最孩优化稠问题最优犯化问湾题的气解决割方案解决悄方案滤的步漫骤提出每需要费进行虏最优腥化的蔽问题肚，确秆定研茎究问抖题的碗范围酸，并热为问终题的滥解决恩准备菊一些垦先决数条件据，例狂如与沟问题畅相关简的数淡据和诊资料建立寇能够唯反映炮上述涛实际担情况趣的最锣优化眨问题考的数石学模怜型，牲确定再设计滑变量耕、目燃标函悠数和座有关劲约束坦条件对建训立的纽奉数学近模型昂进行泛分析伴和修日正，活选择详合适兴的优遍化算烘法运用罚合适缠的软糊件编诸写优企化算驴法程骆序，言对最罩优化卖模型猎进行绑求解如果邪是理榜论问祝题，鉴对优虽化结偷果进晋行分添析和岗比较邻，总蜂结规厉律；桑如果职是实般际问链题，誓将所雀获得贩的最滥优解闭应用呜到实疾际问扎题中柏进行席验证罚和实最施，尖再进疾行理赤论分犁析解决流方案益的关膊键问旱题数学撞模型熟的建收立优化届算法趟的编钻制最优铲化问击题的受解决锡方案优化怖问题杜的求香解方努法解析再法对于赔最优掀化数茄学模不型中愤的目治标函点数和裤约束形条件复，如雷果其连具有洽明确盐的数偶学解遥析表妨达式毁，则查一般辱可以晚按照同函数锋求极今值的厨必要恢条件示，用秆导数灿方法冲或者洪变分该法等市数学都分析胆的手今段求机出其搂解析挪解，责然后托按照猫问题适的实村际物佣理意态义确烤定问辆题的拉最优认解。数值夏解法如果霸目标名函数醉或者折约束须条件嗽较为颤复杂良，或齐者并革没有铸明确迅的数驳学解蹄析表歼达式纤，抑盘或是夜以现竭有的堆解析孙方法舰和手尿段无房诚法求裕取解龄析解枕的优兽化问族题，篮我们膝可以愉用数烈值解撑法来剩解决止，在毫现在届计算团机高委速发贴展的传时代烘，数孝值算棉法则剩显示辫出了炼其优贺越性麦。其彻基本宵的思府想就灯是用共搜索佩的方暖法经恒过一侄系列皱的迭校代，针使得娇产生羽的这咳些序膝列能晃够逐罗步逼血近问弄题的削最优忌解，吹数值蚕解法防常常仆需要赞经验由或者胶试验瓦，同锦时结短果也汤需要浊通过圈实际妙问题垫的验泳证才舒是有毒效的伐。混合锅解法混合讲解法妥即是验结合旗了上些述两坟种方免法，变例如钉以梯沃度法撑为代倦表的胃一类爷解法戚，这言类解块法往森往是尿解析涂法和桥数值做算法坡相结阀合的副一种腿方法其他纪优化斗方法诸如页以网牵络图肌为基挑础的容图论惑方法贝和近港代发祝展起月来的州各种券智能酒优化便算法州如遗错传算搭