第五章第四节 数学化归方法

数学化归方法——数学解题的一般方法P278第五章第四节如果你解不出某道题，那肯定是有一个更容易的问题你尚未解决——找到它！

————Ｇ．波利亞解题就是把题归结为已经解过的题。

——C.A.雅诺夫斯卡娅化归方法的基本思想化归的一般原则化归的基本策略途径关系映射反演方法化归思想方法教育所谓“化归”，从字面上看，可理解为转化和归结的意思。数学方法论中所论及的化归方法，是指数学中把待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。一、化归方法的基本思想待解决的问题A易（已）解决的问题B原问题A获解证问题B的解还原（解释）转化（化归途径）化归方法用框图可直观表示为：推演求解所以化归应包括三个基本要素，即化归对象、化归目标和化归途径(或化归策略)。

匈牙利著名数学家路莎·彼得（RozsaPeter）在她的名著《无穷的玩艺》一书中曾对“化归方法”作过生动而有趣的描述：

如上所述的推理过程，对于数学家的思维过程来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题。当然，从陈旧的实用观点来看，以下的一个比拟也许是十分可笑的，但这一比拟在数学家中却是广为流传的；RózsaPéter（February17,1905-February16,1977）“现有煤气灶、水龙头、水壶和火柴摆在你面前，当你要烧水时，你应当怎样去做呢？”“往水壶里注满水，点燃煤气，然后把水壶放在煤气灶上”“你对问题的回答是正确的。现把所说的问题稍作修改，即假使水壶里已经装满了水，而所说问题中的其他情况都不变，试问，此时你应该怎样去做？”此时被问者一定会大声而颇有把握地说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”他确信这样的回答是正确的，但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了。”从这段话可以看出，化归方法已经成为了数学家们最典型的思维模式了。事实轿上，赵数学射证明榜一般崇要归浇结为梳某些浅中间乱定理毫上去锁，即咳实质蕉上也瞧是一搂种化史归过奏程。这正爹如英牌国著渠名数律学家但哈代输（Ha亦rd玩yG窝.H）所丝式说：锅“严狭格说虽来，枝没有恶所谓站证明递这个吩东西差，归匆根结饶底，惭我们巡寿只是藏指指丙点点荷。”也就仿是说号，数跑学证乎明只但能是岸指出刷待证凭问题身可以障归入锋哪个违问题盒的证者明或咽由哪党些已忌证定累理或岩成果招来证柱明，妖而不缩慧可能斩老老逃实实盗从公饲理、枪公设尼、定梨义出穴发进钓行逻搬辑推第理来招证明撞。如田果那滴样的秩话，酷仅勾溜股定衫理若暴要从里希尔昂伯特午的几淋何公卵理系乱统出鉴发证千明，股就得肌需要交几十孝页的塘篇幅达。笛卡类尔的悠“万能近方法”（幻玉一般姐模式鸦）：第一读，把勺任何劳问题寇化归丈为数战学问脊题；沟第二歼，把吗任何完数学盏问题众化归肺为代英数问删题；川第三阅，把吐任何董代数悔问题棒化归惨为方汗程式班的求丧解。由于赖求解屡方程登问题肾是已烂经解寻决或但较为融容易姻解决围的，酷因此怀，在脱笛卡味尔看疯来，姨就可赞利用年上述旨方法芝解决歉任何感类型回的问补题，翁故称欺其为根“万赤能方烂法”疫。不容芽置疑壮，他娃所阐兼述的薪上述各化归朴原则将事实汁上已寺成为惜他赖帝以创先立解什析几戏何的来思想瓜方法签基础肉。化归大的一县些例晶子霍布妇斯的表“思维隔即计窗算”重贞要思辟想，他认袖为可宁以把裳推理汪看成序是词昨语和剑符号谨的加滴减。摔他写异到：泛“借拍推理快我意宰谓计车算。延计算爱或者德是汇过聚那欣被加否在一国起的席许多理事物梅的总旗和，准或者板是知民道当塔一事吨物从席另一俘事物庄被取堵走，帐什么雅仍然偏存留摧。因抗而推秘理同戏于相镰加和貌相减杨。……如经息常可兴能的州那样跟，以确致所棍有的滋推理运都可变理解朋为这荷两种优心智宅的运枕算，炊即相阳加和艘相减东。”从历匹史的撤角度牛看，播霍布隙斯的沾这一喜思想挂对于舒后来兴的数何理逻死辑的版发展救是具开有重必大的应启示怎意义脖的。美国忧著名皂的数奖学家搅、数阔学教爹育家G•波利观亚在《数学著的发总现》一书款中给裁出了锻下述饼解决石问题饶的方督法：在面火临所过要解队决的主问题锦时，原我们高应当固考虑雁：“这是武什么家类型兽的问拴题？坛它与银某个集已知透的问下题有聪关吗块？它倚象某养个已迅知的闭问题乓吗？”具体辅地说叹，我剪们可葛以从谨所要术追求绞的具币体目忌标（择未知滨元素朋、待妖证命埋题）那出发职来进录行考震虑：“这色里所呈谓的符关键芹事实阶是什冶么？栗有一骄个具剩有同碧样类勉型未元知量拦的问摘题吗偶（特端别是黄过去形解过肥的问越题）熄？有进一个慨具有赌同样陡结论衰的定咳理吗衰（特蛋别是改过去小证明鹅过的愁定理源）？严”另外抖，从远更一捡般的诞角度伯来说唤，又量可考忆虑：“你知振道一椅个相出关的扩问题标吗？你能崇设想评出一氧个相恳关的旅问题星吗？你知攻道或芽你能停设想圆出一津个同展一类找型的手问题晴、一个鬼类似归的问蕉题、泊一个索更一习般的骄问题顺、一个渗更特肝殊的纳问题妻吗？”。化归钥在中狼学中部的例沫子有理运数的犁四则胀运算。有粱理数悟的四坡则运见算应印包含诞两部糖分，贡即绝曾对值劲的计剩算与何符号既的确根定。贤而在诵确定困了符台号之爹后，带就只饥需对迹有理逃数的搂绝对顿值进鱼行运阶算，漆这样侦就把钢有理俯数的宏运算免问题呈化归腐为小他学里锹的算对术数宁的运不算问借题。无理侧方程陪的解放法。解辱无理辣方程仙通常联是通涨过两胳边平日方或吧换元败的方拼法去冰除根阿号，舌从而希使之尾化归决为有塔理方痒程，威再解档这个例有理头方程抵获得吩原方柳程的秧解。二次揉曲线卷的图秒象和肆性质。对批于非掏标准榜形式痛的二次凑曲线响，研帐究它柴的方毙法是沙，通萍过坐资标平音移、旋转大公式疾，将顾其化搏为标身准形天式的层二次歇曲线峡来进行泻研究嫩。二、罚化归穿的一豪般原密则1、简馒单化医原则变换月问题拦结构艘，使程之变掏得表图现形伟式上书简单坛或处恒理方随式上座简便车。如解窃无理液方程且：转化考为求我解：2、熟春悉化挡原则波利另亚在罢“怎墓样解随题表火”中旺非常显看重撑这一煤转化紧方向破。例如巩，求恢圆的槽半径楚、弦洁心距足或弦损长的交问题乘可以拣转化僚为已浑知的裤直角匪三角慨形勾帆股定滨理求和三角精形边委长的改问题护。3、和能谐统源一性抱原则如分瘦式（恳数）怒的加乡丰减运宴算要缺统一猾为同俘分母除的分备式（居数）太相加盼减；不同吉次的概根式错的乘搁除运箱算要缎统一券为同插次的历根式殊相乘强除；不同伏底的麻对数菌式运蛮算通破过换探底公膀式统猎一为派同底矩的对障数来财运算成；不同拦名的省三角专函数酷运算窜换成扒同名研三角赚函数奸；4、具议体化紫原则指化贤归的燃方向有一般像由抽手象到爸具体瞒。例如岭，求函佛数的最动小值邀。分析工：化揪归为班求点到点和点的距疾离之狡和的姓最小鞋值。5、标洗准形企式化干原则三个置基本爸特征运：（1）研鞋究的蛇简便隐性，涛（2）广税泛的及代表写性，缺（3）具荐有本推原性贤，即始最基拨本的笋形态迈。例如纯，设函济数f(肢x)满足求证怖：f(膛x)是周还期函棕数，座并指染出它倘的一佛个周解期。分析惠：联想劣到“标准独模型表函数”余弦煤函数恐作为阶抽象废函数就的一隆个具挤体支稻撑，伏引导村我们施去猜怜测f(估x)是周尤期函弹数，是它绒的一剧个周屋期。6、低哨层次厕化原览则即，汗高维茎空间搬转化漂为低赖维空颗间问报题；蝴高次塘数转纠化为耐低次购数问盏题；摆多元而转化助为少梯元问斑题。三、托化归牧的基蒸本策辛略途怠径1、通倘过语吵义转根换实越现化词归例：使已知筐三个常正数a,海b,劣c构成削等差脖数列狗，且妈公差疼不为排零，摇证明赌它们报的倒器数组腿成的添数列即不可夸能成役等差男数列慕。分析您：假别设成等破差数翠列，则，由条阳件所以充，即表科明三点冰共线深，注意栽到这垄三点要都在湖双曲胸线上，直线哑与双宁曲线上最多院只有抖两个冤交点况，所胀以必睡有两棵个点拆重合潮，则驱与公装差不叠为零每矛盾名，故a,鬼b,才c的倒糊数不昨可能扇成等遇差数定列。2、通就过特全殊化蓬或一义般化红实现广化归3、通躺过“践同构担”映枪射实却现化志归4、通费过适贴当变活换实嗽现化拼归5、通加过重箭新表怒征问惭题实戏现化胳归P2吨866、通罩过“食反面话思考亩”实限现化时归四、姥关系辨映射朱反演狗方法关系纹、映与射、泳反演剃方法辩是化香归一祥个特培例，羊即RM舞I方法炉。人们睁进行旗庞大丹数字猜的乘乳法、浙除法砖、乘牢方、窜开方锅等数愤值运晋算时报，往征往应丈用对涨数方咳法。对数逃是英素国数乏学家倒纳皮匠尔（Na砍pi吵er）于16世纪岭末首盟先发坑明的度，另惊一位虾英国跳数学插家布孟立格蹦斯于16歉24年发桂表第婶一张眯常用痒对数呆表，猪这样尸，就格可利茄用对忙数通畅过映仔射与挺反演斗形成裂了一英套简谊化计院算量成的数宫值计递算方廊法——对数投计算隔法。其RM刊I原理土框图涂可概坑括如祥下在这项个例赵子中炸，映锋射的腊运用骗是别盟开生下面的报：不咸是直扰接求牵原象耳关系——繁复婚的计柿算问齐题，喘而是垄先求诸其在川某种店映射砖下的溉映象——对数伐关系蓄问题艺。显妖然，海这里矿映射仰方法丙的选释取是碎非常传成功火的。纳皮肯尔的理贡献乘就在样于他喊看透跳了指股数运召算与王真数象运算至的对扣应法寨则（肆映射协与反昆演的巧关系卷），夺把后祝者的炮计算头任务炎转化啊为前愿者的婆计算摸任务奏，即滋把乘磁法和巧除法巾运算企转化子为加屠法和粒减法鼠运算土，把肥乘方辈和开禾方运笼算转赢化为太乘法丝式和除避法运笑算，播从而葬大大潮地提叨高了固计算领效率赵。对数油计算佛法的踢创立搏在历劫史发衫展中桃具有蜡重要样的意彩义。桑对此哲，拉拦普拉例斯曾却形象弓地描追述到谨：“挺对数方计算希通过制缩短筐计算凯的时新间，渠而延筐长了往天文班学家鸣的生缺命。询”伽烟利略滋甚至贝还说途：“河给我西空间锁、时岛间及岔对数轻，我暮即可诊创造袍一个短宇宙悟。”RM纸I方法破的提豪出者数徐利睬治先享生曾孕用日竟常生绢活中签的一苗个典规型事刺例，堵对此奇形象刷地进晶行了妈阐述搜：比如扁说，牲一个剖人对催着镜蚂子剃挥胡子槽，镜锅子里结照出恼他脸粪颊上较胡子缺的映弱象，思从胡牺子到耽映象卵的关寻系就妥是映堵射。升作为它原象赛的胡产子与锣剃刀溜两者愧的关凳系可放以叫位做原踢象关怎系，异这种润原象陕关系蒙在镜狂子里锻表现邮为映奴象关馋系。清他从手镜子盐里看烤到这努种映般象关药系后凳，便渔能调伏整剃牺刀的晋映象怕与胡盆子的肿映象盛的位略置关桌系，袄使镜加子里想的剃华刀映亩象去暖触及它胡子学映象女。于斗是，渗他也纯就真转正修趣剃了乒胡子摸。这识里显世然用使到了浊反演热规则亩，因肢为，露他正涉是根穴据镜转子里缠的映棒象能回对应仁地反华演为绞原象若的这辅一原霸理，僵使剃真刀准婶确地检修剃客了真腰实的铃胡子郑（原阳象）项。五、宏化归吸思想诵方法缝教育有理凝数的果概念惭和运想算问及题可羊以归下结为壶小学幼的算胞术数矿问题宇；一元软一次航方程互的问压题形镰式化辛归为x=塞a的形换式，蓝即未验知数型等于蒸常数样；解二涝元一视次方侄程组然从形胃式上赌化归衬为整式愈的加稠减是感通过瓶合并青同类艺项法蚂则化泡归为滴有理走数加抓减；蝇分式挺的加忍减是牺通过胀通分棒化归径为整润式的杯加减咐；一元金二次辩方程地化归坏为一修元一悟次方厌程，悦简单携高次钞方程慢、无霜理方醉程、物二元立二次猫方程殊组化禽归为调一元欺一次息方程状或一析元二史次方永程；四边割形问木题化呆归为阻三角