高等数学PPT（第2版）高职完整全套教学课件

第一章极限与连续第一节初等函数一、函数及其性质1.定义（函数的定义）：

设D是一个数集，如果对于D中的每一个数x，按照某个对应法则f，y都有唯一一确定的值和它对应，则y就称为定义在数集D中的x的函数，记为：其中x称为自变量，数集D称为定义域，当x取遍D中一切实数值时，与之对应的函数值的集合M称为函数的值域。例1求函数的定义域。解：要使函数有意义，则必：函数的定义域为：。例2求函数的定义域。解：要使函数有意义，则必：函数的定义域为：。练习（P6）2.求函数的定义域：⑴⑸例3已知函数，求解：例4已知函数，求解：练习（P6）

4.已知，求、、、

的值。2.函数的表示法⑴表格法：优点：求函数值方便缺点：自变量的取值不能太多⑵图像法：优点：直观反映求函数性质缺点：求函数值存在误差⑶解析式法（公式法）：优点：求函数值准确且无定义域大小限制缺点：不能直观反映函数的性质解析式又分三种：①显函数：②隐函数：③分段函数：3.函数的性质⑴函数的单调性：单调递增：函数图像向右延伸时逐渐升高调递递减：函数图像向右延伸时逐渐降低⑵函数的奇偶性：奇函数：函数图像关于坐标原点对称偶函数：函数图像关于y轴对称⑶函数的周期性：函数图像会重复出现⑷函数的有界性：函数图像能夹在两条水平直线之间练习（P6）3.判定函数的奇偶性：⑵⑶初等函数一、基本初等函数1.幂函数：2.指数函数：3.对数函数：

4.三角函数：

①正弦函数②余弦函数③正切函数④余切函数⑤正割函数⑥余割函数5.反三角函数：

①反正弦函数②反余弦函数③反正切函数④反余切函数二、复合函数

定义：设函数y=f(u)，而u是x的函数：u=φ

(x)

.若φ

(x)的函数值全部或部分在f(u)

的定义域内，此时y也是x的函数，我们称此函数为由y=f(u)和u=φ

(x)复合而成的函数，简称复合函数，记为：

y=f[φ(u)]例

将函数y表示成x的复合函数⑴y=eu，u=sinv，v=x+3解：⑵y=lnu，u=2+v2，v=secx解：

练习（P7）6.将y表示为x的函数：⑴⑵例

指出下列函数的复合过程⑴解：⑵解：⑶解：⑷解：练习（P7）7.分析函数的复合过程：⑴⑵⑷⑹三、初等函数定义：由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的函数称为初等函数例判断下列函数是否为初等函数⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻解：⑴⑵⑶⑷⑸⑹是初等函数；⑺⑻不是初等函数注：①能用一个数学式子表示且末尾没有省略号的函数皆是初等函数；②分段函数不是初等函数。极限一、数列xn的极限①②③④

定义：如果当n无限增大时（记为n→∞），数列xn无限接近于一个确定的常数A，则称A为数列xn的极限，记为：如：①，②例1求下列数列的极限⑴⑵解：解：⑶解：⑷解：练习（P14）2.观察数列当n→∞时的变化趋势，若存在极限，则写出其极限：⑴⑶⑷⑸二、函数y=f(x)的极限1.当x→∞时，函数f(x)的极限

定义：设函数y=f(x)在(-∞,a)∪(b,+∞)内有定义，如果当x的绝对值无限增大时（即x→∞），函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当x→∞时的极限，记为：例2求下列数列的极限⑴⑵解：解：⑶解：

定义：

设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x的x→+∞时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记为类似，若函数y=f(x)在(-∞,b)内有定义，如果当x的x→-∞时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当x→-∞时的极限，记为一般地，例3讨论极限：解：∵∴的极限不存在。2.当x→x0时，函数f(x)的极限

定义：设函数y=f(x)在点x0左右近旁有定义，如果当x无限接近于x0时，对应的函数y=f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，则称A为

函数y=f(x)当x→x0时的极限，记为：例4求下列数列的极限⑴⑵解：解：⑶解：练习（P14）3.利用函数图像，考察函数变化趋势，并写出其极限：⑴⑵⑶⑷

定义：如果函数y=f(x)在(a,x0)内有定义，如果当x的x→x0–时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当x→

x0

时的左极限，记为：类似，如果函数y=f(x)在(x0,b)内有定义，如果当x的x→x0+时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当x→x0时的右极限，记为：一般地：例5讨论函数，当x→0时的极限。解：∵∴的极限不存在。函数极限的运算一、函数极限的四则运算法则设，法则1：

法则2：

特别地：①②法则3：例

求极限解：练习（P23）3.求函数的极限：⑴⑵⑶⑷例

求下列函数的极限⑴解：⑵解：练习（P23）3.求函数的极限：⑺⑽二、两个重要极限

定理（夹逼准则）：如果g(x)、f(x)、h(x)满足g(x)≤f(x)≤h(x)，且limg(x)=limh(x)=A，则limf(x)=A

定理（单调有界准则）单调有界函数必有极限。1.极限例

求下列数列的极限⑴解：⑵解：练习（P23）7.求函数的极限：⑴⑹2.极限例

求下列极限：⑴解：⑵解：练习（P23）

7.求函数的极限：⑼⑽无穷小与无穷大一、无穷小

定义（无穷小）：当x→x0(

x

→∞)时，函数f(x)的极限为零，则称函数f(x)为当x→x0(

x

→∞)时的无穷小。无穷小的性质：

性质1：有限个无穷小的代数和为无穷小。性质2：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。性质3：有限个无穷小的乘积为无穷小。例

求极限解：∵，∴

二、无穷大定义（无穷大）：当x→x0(

x

→∞)时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)为当x→x0(

x

→∞)时的无穷大;记为：

（或）

正无穷大记为：limf(x)=+∞

负无穷大记为：limf(x)=-∞三、无穷大与无穷小的关系定理：如果limf(x)=∞，则；反之，

如果limf(x)=0且，f(x)≠0则例求极限解：∵∴四、无穷小的比较

定义：设α和β都是无穷小⑴如果则称β是α的高阶无穷小，⑵如果则称β是α的低阶无穷小，⑶如果（C是不为零的常数），则称β是α的同阶无穷小。特别地：如果，称β与α的为等价无穷小，记为：α～β。

定理：若α～αˊ，β～βˊ且

存在，则：常用的等价无穷小有：当

x

→0时

sinx～xtanx～x

ex

－1～xarcsinx～x

arctanx～xln(1+x)～x例求极限解：练习（P23）8.用等价无穷小代换，求函数的极限：⑴函数的连续性一、函数连续的概念

1.函数y=f(x)在点x0处连续

定义：设函数y=f(x)在点x0处及其左右近旁有定义，如果当x→x0时，f(x)的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。函数连续必须满足三个条件：①函数在处x0有定义②极限存在③例证明函数f(x)=2x2+1在点x=2处连续证：∵且∴即函数f(x)=2x2+1在点x=2处连续练习（P29）

4.作函数的图像，并讨论函数在x=2处的连续性。2.函数y=f(x)在区间(a,b)内的连续性

定义：如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都连续，则称函数f(x)在区间(a,b)内连续，区间(a,b)称为函数f(x)的连续区间。可以证明：基本初等函数在其定义区间内都是连续的。

定理：设函数f(x)和g(x)在点x0处连续，则函数在点x0处连续。

定理：设函数u=φ(x)在点x0处连续，φ(x0)=u0，函数y=f(u)在点u0处连续，则复合函数y=f

[φ(x)]在点x0处连续。可以证明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。二、函数的间断点如果函数y=f(x)在点x0处不连续，则点x0称为函数f(x)的间断点。注：①函数没有定义处肯定间断；

②分段函数的分段处可能间断。例考察下列函数在点x=1处的连续性⑴⑵⑶⑷解：点x=1是

f(x)、φ(x)、g(x)、h(x）四个函数的间断点。间断的分类：①如果点x0为函数y=f(x)的间断点，且函数y=f(x)在点x0处的左右极限都存在，则点x0称为函数f(x)的第一类间断点；②不是第一类间断点的所有间断点，都称为第二类间断点。以上例题中，f(x)、φ(x)、g(x)是第一类间断点，而h(x)是第二类间断点。练习（P29）6.讨论函数在指定点的连续性，若为间断点，判定其类别：⑴⑵在x=3处；在x=0处。三、闭区间上连续函数的性质定义：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，f(x)在开区间(a,b)内连续，且

（称

f(x)在x=a右连续），（称f(x)在x=b左连续），则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续。

定理（最大值最小值定理）：如果函数f(x)在闭区间上连续，则f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值。

定理（介值定理）：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的值f(a)=A，f(b)=B，C是A与B之间的一个实数，则f(x)在区间(a,b)内至少有一点x=ξ，使得：f(ξ)=C(a<ξ<b)。

推论（根的存在定理）：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，

且f(a)与f(b)异号，则f(x)在(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0，即方程f(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根ξ。例证明三次方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内至少有一个实根。证：设f(x)=x3-4x2+1∵函数f(x)在闭区间[0,1]上连续；且f(0)=1>0,f(1)=-2<0；∴

函数f(x)在(0,1)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0;即ξ3-4ξ2+1=0（0<ξ<1）；得证。练习(P29)

7.证明:方程x5-2x2+x+1=0在区间(-1,1)内至少有一个实根。第一节导数的概念一、变化率问题的实例(变速直线运动的瞬时速度)已知一物体作变速直线运动，其路程函数为s=s(t),求在t=t0时刻物体的瞬时速度vto。解:物体在t0到t0+Δt时段移动的路程为:

Δs=s(t0+Δt)-s(t0)物体在t0到t0+Δt时段移动的平均速度为：如果当Δt无限小时，平均速度会无限趋近于t0时刻的瞬时速度vto，即：二、导数的定义定义：设函数y=f(x)在点x0及其附近有定义，当自变量x在x0有增量Δx时，函数有相应的增量

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)当Δx→0时，若的极限存在，这极限值就称为函数f(x)在点x0的导数，并称函数f(x)在点x0可导，记为：即也可记为：，例已知函数，求：解：当x从2变到2+Δx时,练习（P37）4.用导数定义，求函数在和

处的导数。如果函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点都可导，则称函数f(x)在区间(a,b)内可导。这样，在区间(a,b)内得到自变量x的一个新函数y′=f′(x)，我们称它为函数f(x)的导函数，记为：

，，，例求函数y=x2-1的导函数y′。解：当x从x变到x+Δx时,导数的几何意义函数y=f(x)在点x0的导数f’(x0)是函数曲线在点(x0,f(x0))处的切线斜率。

例求曲线y=x2-1在点(2,3)处的切线方程和法线方程。解：∵y’=2x∴所求切线的斜率k=y’|x=2=2×2=4由直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)得切线方程：y-3=4(x-2)即4x-y-5=0同理法线方程为：即x+4y-14=0练习（P40）4.求曲线y=x2

在点(1,1)的切线方程和法线方程。函数的可导性与连续性的关系定理：如果函数f(x)在点x0处可导，则一定在点x0处连续。例证明函数在点x=0处连续，但f(x)在该点处不可导。证：∵函数f(x)是初等函数，且在x=0处有定义，

∴

函数

f(x)在点x=0处连续当x从0变到0+Δx时,∵∴f(x)在该点x=0处不可导。一、导数的基本公式①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯例求下列函数的导数：⑴⑵解：

⑴⑵练习（P37）6.求下列函数的导数：

⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻函数和、差、积、商的导数一、函数和（差）的导数二、函数积的导数特别地：三、函数商的导数例求下列函数的导数：⑴解：⑵解：⑶解：练习（P43）3.求函数的导数：

⑴⑹⑽⒃复合函数的导数法则：如果函数u=φ(x)在点x处可导，函数y=f(u)在对应点u=φ(x)可导，则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导，且例求下列函数的导数⑴解：函数可看成y=lnu和u=cosx复合而成的⑵解：函数可看成y=u3和u=x2+2复合而成的练习（P48）2.求函数的导数：⑴⑵⑶⑷⑸⑺

例求函数的导数解：函数可看成y=u3、u=sin(2x+1)复合而成,而u=sin(2x+1)又是由u=sinv、v=2x+1复合而成可简写成：解：练习（P48）2.求函数的导数。⒁⒅

隐函数的导数由含x和y的方程F(x,y)=0所确定的且没有写成y=f(x)形式的函数，称为隐函数。例求隐函数的导数解：两边求导隐函数求导方法：

①等号两边求导；②对y用导数公式后乘y’。练习（P52）2.求由方程所确定的隐函数y对x的导数：⑴⑵⑶

⑸

如果对幂指函数y=uv（其中u,v都是x的函数），或者由多次乘除运算和乘方、开方运算所得的函数求导，应先对等号两边取对数，将函数化为隐函数再求导，该方法称为对数求导法。例求函数的导数解：两边取对数：两边求导：得：例求函数的导数解：两边取对数：两边求导：得：练习（P52）4.用对数求导法求函数的导数：⑵⑷

参数方程所确定的函数求导一般说来，参数方程确定了y是x的函数，称为参数方程所确定的函数，其求导方法为：例求参数方程确定函数的导数解：练习（P52）6.求由参数方程所确定的函数y对x的导数：

⑴⑵高阶导数一般地，函数y=f(x)的导数y’=f’(x)仍是x的函数，如果y’=f’(x)可导，则将导函数的导数(y’)’=[f’(x)]’称为函数y=f(x)的二阶导数，记为：类似地有：三阶导数：四阶导数：················n阶导数：二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。例求函数的二阶导数解：练习（P54）2.求函数的二阶导数：

⑴⑶微分的概念定义：设函数y=f(x)在x0处可导,则称f’(x0)·Δx为函数f(x)在x0的微分，记为：即若不特别指明在哪一点的微分，一般记为：由于因此在微分表达式中，常用dx代替Δx，即：由此可见：即函数y=f(x)的导数等于函数的微分dy与自变量的微分dx的商，因此导数又称为微商。例求函数y=x2在x从3变到3.01时的增量和微分。解：由题得x=3,

Δx=3.01-3=0.01

∵∴

练习（P61）2.求函数在给定条件下的增量和微分：⑵y=x2+2x+1，x从2变到1.99。1、微分的基本公式①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯2、函数和、差、积、商的微分法则：

①②③④3、复合函数的微分法则由函数y=f(u)、u=φ(x)复合而成的函数y=f[φ(x)]的微分为：该法则称为微分形式的不变性。例求下列函数的微分⑴y=ln(sinx)解：⑵y=x⋅sinx解：练习（P61）4.求函数的微分：⑴⑷⑸⑹微分在近似计算中的应用由微分的意义，当|Δx|很小时，Δy≈dy，即：推得微分近似计算公式：例近似计算1.0023.5解：设

练习（P61）6.求函数值的近似值：⑷⑸微分中值定理

定理（拉格朗日中值定理）：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导,则在(a,b)至少存在一点ξ（a<ξ<b），使得：

当f(a)=f(b)时，有f’(ξ)=0，此特殊情况称为罗尔中值定理。

定理（柯西定理）：如果函数y=f(x)和g(x)都在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导,且

g’(x)≠0，则在(a,b)至少存在一点ξ（a<ξ<b），使得：洛必达法则一、“”型不定式定理（洛必达法则1）设f(x)、φ(x)在x0的左右近旁有定义，若：①②f(x)、φ(x)在x0的左右近旁可导，且φ’(x)≠0③（或无穷大）则（或无穷大）定理中x→x0换为x→∞时，结论也成立。例求下列极限⑴解：⑵解：练习（P68）

4.用洛必达法则求极限：⑴

二、“”型不定式定理（洛必达法则2）设f(x)、φ(x)在x0的左右近旁有定义，若：①②

f(x)、φ(x)在x0的左右近旁可导，且φ’(x)≠0③（或无穷大）则（或无穷大）定理中x→x0换为x→∞时，结论也成立。练习（P68）

4.用洛必达法则求极限：⑵

⑷三、其他类型不定式

，，，，例求下列极限极限⑴解：⑵解：练习（P68）4.用洛必达法则求极限：⑹

函数的单调性

定理：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导⑴若x∈(a,b)时，f′(x)>0，则f(x)在[a,b]上单调增；⑵若x∈(a,b)时，f′(x)<0，则f(x)在[a,b]上单调减；⑶若x∈(a,b)时，f′(x)=0，则f(x)在[a,b]上为常数。分析函数单调性的步骤：①确定函数的定义域；②求函数的导数；③找出函数导数等于零和导数不存在的点；④列表分析。例求下列函数的单调区间⑴解:①函数的定义域为（-∞，+∞）②③令y′=0，得x1=1，x2=3；④x(

-∞,1

)1(

1,3)3(

3,+∞)y′＋0－0＋y单调增单调减单调增⑵解:①函数的定义域为（-∞，+∞）②③令f′(x)=0，无解；当x=1时，f′(x)不存在；④x(

-∞,1

)1(

1,+∞)y′－/＋y单调减单调增练习（P73）

5.求函数的单调区间：⑵函数的极值定义：设函数f(x)在x0及其左右近旁有定义，若对点x0附近任一点

x，

均有：①f(x)<f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值，称点x0为函数f(x)的极大值点；②f(x)>f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值，称点x0为函数f(x)的极小值点；函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为函数的极值点。

定理：函数f(x)在x0处有极值，则函数f(x)在x0处f′(x0)=0或不可导。定理：设函数f(x)在x0处连续，在点

x0的附近可导（x0点可除外）

①如果在点x0的左侧附近f′(x)>0，在点x0的右侧附近f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；②如果在点x0的左侧附近f′(x)<0，在点x0的右侧附近f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值；③如果在点x0的左右两侧附近f′(x)同号，则f(x0)不为函数f(x)的极值。求函数极值的步骤：①确定函数的定义域；②求函数的导数；③找出函数导数等于零和导数不存在的点；④列表分析。例求函数的极值解:①函数的定义域为（-∞，+∞）②③令f′(x)=0，得x1=－1，x2=3；④x(

-∞,-1

)-1(

-1,3)3(

3,+∞)

f′(x)＋0－0＋f(x)单调增单调减单调增极大值-4/3极

小值-12练习（P73）6.求函数的极值：⑴函数的最大值与最小值

定义：在区间[a,b]的连续函数f(x)，如果在点x0在处的函数值f(x0)与区间上其余各点的函数值f(x)相比较，都有⑴f(x)≤f(x0)，则f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值；⑵f(x)≥f(x0)，则f(x0)为f(x)在[a,b]上的最小值。求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②求函数的导数；③找出函数导数等于零和导数不存在的点；④计算出以上各点及端点的函数值，比较求出最值。

例求函数在区间[-2,2]上的最值。解:①函数的定义域为：[-2,2]②③令f′(x)=0，解得：x=0，x=1

④∵

∴

函数的最大值为：，最小值为：。例用边长为30cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，制作方法为：在铁皮的四角各截去面积相等的小正方形，然后四周折起，焊成铁盒。问在四角截去多大的正方形，才能使得所做的铁盒容积最大？解:设截去的小正方形的边长为x

（cm），铁盒的容积为v（cm3），根据题意得①定义域：（0，15）②③令v′=0，得x1=5，x2=15（舍去）；④由常识知，当x=5时，v最大=2000（cm3）练习（P77）

2.求函数的最值：⑷，x∈[1,3]。曲线的凹凸性与拐点

定义：设函数f(x)在开区间(a,b)内各点都有切线：⑴若曲线弧都在切线的下方，则称曲线在区间(a,b)内是凸的，区间(a,b)为凸区间；⑵若曲线弧都在切线的上方，则称曲线在区间(a,b)内是凹的，区间(a,b)为凹区间；⑶曲线上凹与凸(或凸与凹)的分界点称为曲线的拐点。定理：设函数f(x)在开区间(a,b)内有二阶导数：⑴若在(a,b)内，f’’(x)>0，则曲线f(x)在(a,b)内是凹的；⑵若在(a,b)内，f’’(x)<0，则曲线f(x)在(a,b)内是凸的。求函数曲线的凹凸区间与拐点的步骤：①确定函数的定义域；②求函数的二阶导数；③找出函数二阶导数等于零和二阶导数不存在的点；④列表分析。

例求曲线的凹凸区间与拐点。解:①函数的定义域为(-∞,+∞)②③令f′′(x)=0，解得：x=0，x=2

④x(-∞,0)0(0,2)2（2,+∞）f′′(x)+0－0+f(x)∪∩∪拐点5拐点-11练习（P82）3.求函数的凹凸区间和拐点：

⑴曲线的渐近线如果一条曲线在它无限延伸的过程中，无限接近一条直线，则称这条直线是该曲线的渐近线。定义：⑴如果函数f(x)的定义域是无穷区间，且则称直线y=b为曲线y=f(x)的水平渐近线；⑵如果函数f(x)在x=x0处间断，且则称直线x=x0为曲线y=f(x)的垂直渐近线；⑶如果函数f(x)的定义域是无穷区间，且则称直线y=kx+b为曲线y=f(x)的斜渐近线，其中

例求曲线的渐近线。解:①∵∴直线y=-2为曲线的水平渐近线；②∵∴直线x=0为曲线的垂直渐近线；③∵∴曲线没有斜渐近线；

例求曲线的渐近线。解:①∵∴曲线没有水平渐近线；②∵∴直线x=-1为曲线的垂直渐近线；③∵又∴直线y=x-1是曲线的斜渐近线；练习（P85）1.求曲线的渐进线：⑴

函数图像的描绘作函数图像的一般步骤：①确定函数的定义域；②分析函数的性质（奇偶性与周期性）；③求函数的一阶导数与二阶导数；④找出函数一、二阶导数等于零和导数不存在的点；⑤列表分析。⑥求曲线的渐进线；⑦描点作图。

例作函数的图像。解:①函数的定义域为：(-∞,0)∪(0,+∞)；②非奇非偶函数，非周期函数；③④令y′=0，解得：x=-2;

令y′′=0，解得：x=-3;⑤列表分析：

x(-∞,-3)-3(-3,-2)-2(-2,0)/（0,+∞）y′－－－0+/－y′′－0+++/+y凸减凹减凹增凹减

拐点-26/9间断点极小值-3⑥求渐进线：y=-2为水平渐进线；x=0为垂直渐进线；⑦描点作图：练习（P86）3.作函数的图形：⑹原函数的概念定义1：设f(x)是定义在某区间内的已知函数，如果存在函数F(x)

，使得在该区域内任一点都有

F’(x)=f(x)则称函数F(x)是函数f(x)的一个原函数。定理1：如果函数f(x)在某一区间内有一个原函数，则它就有无穷多个原函数，并且其中任意两个原函数的差是常数。定理2：如果函数f(x)在闭区间上连续，则函数f(x)在该区间上必存在原函数。不定积分概念定义2：如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，则将f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，记为：其中“∫”称为积分符号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为积分表达式，x称为积分变量，任意常数C称为积分常数。例求不定积分。⑴⑵解：解：不定积分的性质⑴或⑵或不定积分的几何意义不定积分的几何意义是一族曲线。不定积分的基本公式①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭例求下列不定积分：⑴解：原式⑵解：原式不定积分的运算法则⑴⑵例求解：原式练习（P103）2.求下列不定积分：⑴⑵⑶⑽⒃第一换元积分法（凑微分法）

若F(u)是f(u)的原函数，即F’(u)=

f(u)，则例求解：设u=ex例求解：例求解：例求解：练习（P110）3.求不定积分：⑴⑵⑶⑷⑺⑾第二换元积分法

若x=ψ(t)可导，其反函数为t=ψ-1(x)，则例求解：设例求解：设练习（P111）4.求不定积分：⑴⑷分部积分法

若u=u(x)，v=v(x)具有连续的导数，有例求解：一般地：

①若被积函数中含有指数函数或三角函数时，先将其积到微分后面；②若被积函数中不含以上两种函数，则先积幂函数。例求解：例求解：练习（P113）求不定积分：

1.

3.例求解：例求解：例求解：即:定积分的概念定义设函数y=f(x)在区间[a,b]有定义，用任一组分点把区间[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi]，在每个小区间[xi-1,xi]上任意取一点ξi(xi-1

≤

ξi≤

xi)，用函数值f(ξi)与区间的长度Δxi=xi－

xi-1相乘，作和式：；如果不论区间[a,b]采用如何分法及ξi如果取法，当‖Δx‖→0(‖Δx‖=max{Δxi})时，和式的极限存在，则称函数在[a,b]上可积，此极限值称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为：其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，变量x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，区间[a,b]称为积分区间。

注：定积分是一个常量，它只与被积函数f(x)、积分区间[a,b]有关，而与积分变量用什么字母表示无关。定积分的几何意义①若在[a,b]上f(x)≥0，则定积分表示由曲线y=f(x)，直线x=a、x=b、y=0所围成的曲边梯形的面积；②若在[a,b]上f(x)≤0，则定积分表示由曲线y=f(x)，直线x=a、x=b、y=0所围成的曲边梯形面积的相反数；③若在[a,b]上f(x)有正有负，则表示由曲线y=f(x)，直线x=a、x=b、y=0所围成图形的x轴上部面积减去x轴下部面积。定理如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]的定积分必定存在。例求解：例求解：例求解:被积函数y=x2在区间[0,1]连续,故定积分存在;①将[0,1]分成n等份：则②在每个小区间中取一点③定积分的性质性质1性质2性质3性质4性质5性质6（积分中值定理）如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，有积分上限函数若函数f(x)在闭区间[a,b]连续，积分是上限x的函数，称为积分上限函数；通常我们将积分上限函数写成：定理若函数f(x)在闭区间[a,b]连续，则积分上限函数，是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，即牛顿-莱布尼茨公式定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则例求解：例求解：例求解:练习（P128）2.计算定积分⑶⑷⑿定积分的换元积分法求定积分时，若函数f(x)在[a,b]上连续，函数x=φ(t)满足下列条件：

⑴φ’(t)在[α,β]上连续；

⑵当t∈[α,β]时，φ

(t)∈[a,b]，且φ

(α)=a，φ

(β)=b，则例求解：令，练习（P133）2.计算定积分：⑶x04t13一般地，

⑴若f(x)为奇函数，则；⑵若f(x)为偶函数，则。例求解：定积分的分部积分法例求解：练习（P133）3.计算定积分：⑴无穷区间上的广义积分

定义若函数f(x)在[a,+∞)上连续，取b>a，如果极限存在，就称函数f(x)在[a,+∞)上的广义积分存在（收敛），并称该极限值为广义积分的值；如果上述极限不存在，就称函数f(x)在[a,+∞)上的广义积分不存在（发散）；记为

类似地，可以定义在区间(-∞,b]上连续函数f(x)的广义积分:定义在区间(-∞,+∞)上连续函数f(x)的广义积分：例求解：该广义积分收敛。例求解：该广义积分发散练习（P139）1.计算广义积分：⑴无界函数的广义积分

定义若函数f(x)在(a,b]上连续，如果极限存在，就称函数f(x)在(a,b]上的广积分存在（收敛），并称该极限值为广义积分的值；如果上述极限不存在，就称函数f(x)在(a,b]上的广义积分不存在（发散）；记为

类似地，可以定义在区间[a,b)上连续函数f(x)的广义积分:定义在区间[a,c)与(c,b]上连续函数f(x)的广义积分：例求解：该广义积分收敛例求解：该广义积分发散定积分的元素法在实际中许多几何量与物理量Q的计算，常使用如下步骤，将其化为定积分进行计算：⑴确定积分变量x，找出积分区间[a,b]；⑵求微分（求微元）：

当积分变量x从x变到x+Δx时，dQ=f(x)dx⑶求积分：该方法称为定积分的元素法（或微元法）求平面图形的面积例计算由抛物线y=x2与直线y=2x所围成的图形面积。解：⑴以x为积分变量，则积分区间为[0,2]；⑵求微面积：当x从x变到x+Δx时