第15章面积问题与方法

15章（b（c（d（a S△（b（c（d S△A DADABPB

P PCCBCC

解析只要作相应的高，并运用比例即可★若△ABCPAPBPCPDEFPDPEPF1 AFEP FEP解析PDS△BPCPESAPCPFSAPB，三式相加即得结论 S△ S△ S△则有sinAPCsinBPDACBD. BC解析P ACS△APCPAPCsin

PAsinAPCBDS△PBDBPsinBPD S△

（即上述比值）是一个重要的BDpCEqAFrp、qrS△PQR

A EPR 解析用面积比或梅氏定理得出，DQ

，于是

AQ

r(p

△

AD△

1r

△S△ 以及 与 的表达式，最后算得SS△ △

(pqr.(1rpr)(1ppq)(1qE为△ABCAD上任一点，AB、ACM、NCMBEBNCEBMCN解析MENEEABACBEsinABECEsinACE由CMBEBNCE

1BMBEsinABE2CNCEsinACEBMCN2AE ★★在ABCDAD和CDFEAECFAE与CFPBP是APC的平分线解析S

12

AECFBAEB至CFBP平分APC

A PE ★★已知△ABCBC、CAABDEFADBE、CF共S△DEF≤1S△ 解析如图，设BFk，AEk，CDk，则 定理知kkk1

12FEFE SAFES△BFDS△EDC3

S△

AFAE

S△

S△

AB

(1k1)(1k2S△BFDS△

(1k1)(1k3

，S△EDCS△

(1k2)(1k3

k1k2k3k1k2k2k3k3k13，去分母、考虑kkk1并移项整理得上式等价于(1k1)(1k2)(1k3

12k1k1k16.k

k1DEF

各边中点ABCDAB17BC7DA22，ABC90，BCD135ABCD的面积AB2AB2

22，故本题只有一解（否则D可能为钝角今延长ABDCE，则△BCE为等腰直角三角形，AE24AFED，则2AFEF 2CCFDB

S△

14449239 AD2AD2

14S△AFD842于是 239842四边形 ★★锐角△ABCBAC60，向外作正△ABD与正△ACE，设CDAB交于FBEAC交于点GCDBEPS四边形AFPGS△BPC.EA 解析S

S

AFCG AFCG 这是成立的，因为左式ACCEABCEACBD ★在等腰△ABCABAC12，E、FAB、ACAEAF8BF与CEDAEDF的面积为8，求△ABC的面积解析EF

x EF∥BC，EF

2EDDF

3x2

9x，4

梯形

25x4AEEFDS△

45

梯形

5xS△S△

8xx4325x5x154AD、BE、CF为锐角△ABCEF平分△ABCEF平分△ABC的面积，求证：DE2EF2FD2BC2SAEF1，由于△AFE∽△ACBAFAEcosAS△

AFEF 故cos2A1A452又由相似知FDBAEDC45，故FDE90DE2EF2FD22EF2又△AEF∽△ABCEFAE

，于是2EF2BC2，结论证毕2I是△ABC内心，IAB、BC、CAL、M、N，MI延LN于TATBC交于QBQCQ.解析如图，连结TB、TCSATBSATCALLTNI Q 而S

1ABLTsin2

，S△

1ACNTsin2

，由AL ALNANLABLTACNT由LT

LIsin

sinBAC 结论得证

NIsin

sin ABCABDEACFGBF、CDJ，AJBC.解析 如图（1，作AHBC，我们证明AH、BF、CD共点GAGASJTDF HAD

2AB，AF

2AC，DAC45ABAFS△DACS△BAF，而SDBCBDBCsin(B90)1ABBCcosB， 1ACBCcosC 设CDABSBFAC交于T.ASBHCTSBHC

ACcosCABcosB1ABcosBACcos故结论成立2（2AHHAK、KBKCD，CKBF.△DBC△BAKAKBCAKBC△KBCKA、CDBF直线上.KA、CDBF三线共点.EEAGSJF H★★★求证：存在一个面积为1ABCDP，S△PAB、S△PBCS△PCDS△PDA至少有一个是无理数3解析如图，作梯形ABCD，AD∥BC，ADa ，BC2a，AD与BC的距离为13P P PS△PAD与S△BPC中至少有一个是无理数

与 均为有理数，设分别为1m、1n，则m

1△

2于a的二次方程，系数可以是整数.但32决不是这个方程的根，SAPDS△BPC中至少有一个是无理数★★设ABCDABC90PPB2PD2PA2PC22cot 解析此题用坐标法能使解题思路看起来更加清晰yADP yADPP（xyB（00、C（m0A（stD（mstPB2PD2PA2x2y2(xms)2(yt)2(xs)2(yt)2(xm)2(ms)2m22ms2BCAB2cotSABCDABCD的两条对角线垂直且交于点O，OM、ONAB、AD垂直，MONO，分别与CDBCP、QPQBD.MNMNOQPC解析BQDP BQS△BOQBOsin BOsinDONCOsin

COsinBOsinOADBODOCOsin DP也是此式ABCDEABBC，CDDE，ABC150，CDE30BD2ABCDE的面积CBDKABKB，EDKDABK和KDEMMBMDAKEKM是△AKE的外 M MBD1ABC752MDB1CDE152因 BMD90AKMDEKBMAKKEM为Rt△AKEAE的中点.由△ABM≌△KBM△MKD△MED，以及△BCD△BKD得SBMD，只需注意MDB15BD2BMDB（出，有△BMD△BMD122sin30ABCDEFABBCDEDFAC

1

ABCD△

4五边形解析BDBPBQ QQOFP SADES△CDFS△APDS△CQD（APQC）S△APES△CQFAPCQACEF.AECFSADES△DCF.由

△

S△DEBS△DFB

S

14

ABCDS△ADES△DCFS△DEBS△DFBEFABBC中点.由此可得QFPE分别为△CPB、△AQBQF∥PB，PE∥QBOPOQODOB，APCQ，故OAOCABCDABCDI为△ABC的内心，B1、C1AB、AC的中点AB与C1IB22ACB1I延长线交于C2（如图S△ABCS△ABC，求2BIC2 解析ACbABcAB2cAC2bBCa，内切圆半径为r由bcsinA

2bcbc

△

△

sin2而 AB1AC2

br(abc)△BC

AB

△

2b又 r

rABrbrc.△BC △△

bc(abc)b 即bc(abc)b同理，对△AC1B2bc(abc)c两式相乘，利用bcbcbca2b2c22bc a2b2c2bcb2c22bccosA所 cosA1，A602★★已知CE、BDABC（A90F

S四边形BCDE解析设ABc，ACb，BCa.由内角平分线性质，有AEb，故AE

aFCFD AE

a

，BEcAE

aca于

1BEb

2(aCFaab CF a ab

ababc

2(abAD

bca 1bc1

四边形

2acaabc(abc)2(ab)(a利用a2b2c2

(ab(ab)(aa2b2c22ab2bc2caa2abacbc2a22ab2ac 2a2abacPABC内一点，PAa，PBb，PCcabc表示SABC解析分别把△APC、△APB、△CPBA、B、C顺时针旋转60A、B、C三点，则△APA、△BPB、△CPC是边长分别为a、b、c的正三角形，而△ABP、△PBC与△ACP是边长各为a、b、c的全等三角形，最终得SABC

3(a2b2c2)832p(pa)(pb)(p32p(pa)(pb)(p2AP P ABCDPSADPS△BPCSABPS△DPCP在解析显然P在对角线上时，上述结论成立.P不在对角线上时，如图，ACBD交于点OP位于△BOC的内部.BOAPEDAOEP S△BPCS△APBBE S△ EP、C共线.A、CEPPAC上，★★自△ABCBCX、Y，使BAXCAYBX CX

解析如图，由BAXCAYABXS△ S△

ABAXAC

FE E又BAYXACBYS△

ABAY S△

ACBX

CX

BXBYAB2CX

△AXYAB、ACE、F.BEBABXBYCFCACXCYBEABEFBCXY、F、E 为等腰梯形，圆周角

FAY所对弧相等，由于其和小于BAC180，故AFBDCEBFAECD△AFP、△BPD和△CPE和面积和等于△ABC的解析

PA2AFBF PB2BDCD TFTFR Q SPC2CEAE AFBDCEBFAECDPMNBC，QRAB，STACM、TAB上，Q、SBC上，N、R上.△TPM、△PQS和△PNR均为正三角形，四边形ATPR、MPQB、SCNP均为平SAPRSAPTS1S△TPFSMPFS2S△PMBS△PQBS3S△PQDS△PSDS4S△PSCS△PCNS5S△PNES△PRES6，则SAFPS△BPDS△CPES1S2S3S4S512

△ABCABCDEAEBD，CEABP、QBE、CD中RBEARPQS△BCRS△DER.解析BCSPS、QS.PSABSQAESPQBARSQPRAEAPPO BD、CE交于OABOE，AE

BRAEsinBAROEsinSPQOESQ， AEsin OBsin OBOEBDS△BDEBR

RE ，

BR

RE

OB

BE

BE

ABCDE，M、NAB、CD的中点，连结MN，AC于GBDFK、SAD、BCKSAC、BDP、Q，S△EGQS△EPF解析（PQ未画出MKNK

2

1AC2

~△MKNEFBDEQBD，于是在△EGQ与△EPF中，FEP与GEQ EFEPEGEQS△EGQS△EPFDKAEFKAEFNMP为△ABCPABPBCPCAa2b2cot

解 如图，由余弦定理PB2PA2c22PAccosPA2c2 cot，同PC2PB2a2

cot，PA2PC2b2

cotαPααPαα 0a2b2c24cot

S△APC)cot

a2b24S△★△ABCAHBAC45BH2CH3SABC1(h24)(h22解析AHh.B、1(h24)(h22B、CH两侧时，BC5ABACsin455h

5hh437h2360h16h1BACBAH45h6 15615△ 1(h24)(h22B、C在H同侧时，BC1，同样由面积，ABAC1(h24)(h22h，得h411h2360，无解ABCDBCCDEF，满足△AEF是正三角形，S△ECFS△ABES△AFD解析如图，设△AEF边长为aEFC. FQFQR P取Q，使QAF2FADQAE2EABAQaAQ、EQFQAQRECPECCPFP

1EFFPsinEFP1a2sin2 又

1

1

1

1AQEFsinARE△

△

2△

2△

2四边形 1a2sinARE.于是只要证明sinAREsin2即可4AREQAF602(FAD901202AFC1202(2于是结论成立★★★已知正三角形ABC边长为1QBCBQ4CQPAQ上，BPC120AP的长解析PDPEPFBC、CAABPExSABPS△BQ4PF4xFPFP RDQ又由条件，知ABP60PBCPCBACPPBCPFsinABPsinBCPPD sin sin 于是PD

.由3

1(x2x

，得x

3，又△

△

AR

3ARBCAP1PQ12x5 由于ABAC1BQ4CQ

，故AQ2AB2BQCQ1421，于是 AP5AQ 21.（

Sabc2R2sinAsinBsinC1R2(sin2Asin2Bsin2C) 这里a、b、c为△ABCR为△ABC的外接圆半径解析

1absinC1ab

abc△ a2RsinAb2RsinBc2RsinC△S2R2sinAsinBsinC△又找到△ABC外心OS△ABCS△OABS△OBC1R2(sin2Asin2Bsin2C)2S△OABS△OBCS△OCA可能取负值，但不影响结论★★★已知ABCDM、NAD、ABS△MDCS1，SAMNS2S3S1S2S3S△CMN解析如图（a）作PMQCD，P、Q在直线AB、CD上，设 S，又设PMhMQhANaBNb2S2ah2S3b(hh2S1ab)hPAMNPAMN 因此h2S2h2S32S2 (ab)S3S2S aSSSbSSb a axSx2SSS)x

0，解得x .S1S2S3S1S2S3(S3

以S(ab)(hh)2S3 SS1S2S3解析 如图（b，延长CM、BA交于K，连结AC，设S△

S△

12

S SS，于是有

S△

KMAM

.S△

S △KAMAMD ★已知△ABC面积为1，D、EBCBDCEBC，F、M5上，FDMEAC，N、GAC上，EGDNABME、NDPS△PFG解析AFCD4AG4FGBCFG4BC MPMPNFSG K PKBCFGSPS为△PFG的高ABC距离为h，则由△PDE△ABCPKDE3.CG1SKhPS2h.

1FPS14BC

.

2 ★已知△ABC的三边长分别为a、b、c，面积为S△ABC的三边长分别为ab、c，面积为S，且aa，bb，cc，则S与S的大小关系一定是 A.SSC.SS

B.SSD.解析构造△ABC与△ABC作△ABC△ABC a Sa SS

abSS

101c20abc10hc1S10S

3100104

ab

101，c20，ab

29，c10

SS的大小关系不能确定.应选解析

，作AEBC交BC于E，DFBC交BC于 EF1，且BEFC2.由勾股定理可，AES梯形

AB231(ADBCAB232

.332

63当梯形的上底为1，下底为4时，两腰分别为5和4，得直角梯形（如图（b）所示AAEDCBCE，AEB90.所以 1(14)410

CE1AEDC4BE3.梯形 ABCB60C90AB1AB、BC、CA为边长向外作等边三角形△ABR、△BCP、△CAQ，连结QRAB于点T，求△PRT的BTBTCPAQ解析BC1AC2

3QAT90QCP150PBR三点共线2因为

AQ1ATAC

3AT，而S

3AT△

S△

△ 2S△AQTS△ART，从而QTRT.2

12

△1

△

△

△1(3

3333

332 93E、F、G、H分别在面积为1ABCDAB、BC、CD、DAAEBFCGDHk（k是正数EFGH的面积 解析ACBDDCFHS△DHGDH

S△

DAk1 k1k (k

(kS

S△DAC

(k

(k

(k

(k

S△

(kS四边形ABCDS△AEHS△BEFS△CFGS△DHG k21 (k

(k1)2★如图，在△ABCDEABFGFGDEAB的距离之比为12.△ABC的面积为32△CDE的面积为2，求△CFG的面积SCDDEF G DEABFG△CDE△CAB△CFG2CD 2 FD1 FD1 FD1AD13AC1AC FDDC 1 于 △CDE

， 822