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y¢=f(x,x=01小 思考 作2 但在许多实际问题中,⽽根据问题所服从的客观含有未知函数的导数或微分的关系式,把这样的关系式称为微分方程.对它进⾏研究确定出未知函数的过程就是解微分方程.⽜顿和简单的微分⽅程y¢fx)求解问题.3 ⼀曲线通过点(1,2),且在该曲线上任⼀Mx,y)处的切线的斜率为2x求这曲线的⽅程 设所求曲线为y=y(y2 即yx

C求得C所求曲线 y=x

dy=24例列⻋在平直的线 以20米秒的速度⾏驶,当制动时列⻋获得加速度-0.4米秒2,问开始制动后多少时间列⻋才能停住?以及列⻋在这段时间 设制动后t秒钟⾏驶s米,s=s(tv=

=-0.4t+

s=-0.2t

+C1t+C2t0时s0,vds20C

=20,C2=dd2s=-5vv=ds=-0.4t+ s=-0.2t2+20t秒t=20=50( 秒s0.2·50220·50500(米6这样简单,但经过化简,可以变成以上的形式.7微分方程 y¢=xy⼀

(t2+

+

=0⼀ ¶z¶z=x+ 8 如⽅程dy2x通解yx2

特解yx21d2dt

s=-0.2t2+C1t+C s=-0.2t2+20t特解确定了通解中任意常数以后的解9 如前例,曲线通过点(1,2).注通解和特解是⼀般和特殊的关系初值问题 解的图象微分⽅程的积分曲线通解的图象积分曲线族F(x,y,y ,y(n))

y(n)=f(x,y,y ⼀阶

f(x,y0x= =y0

⼆阶y¢fx,y,y =y0,yx=x x= 例验证：函数xC1cosktC2sinkt

k2x0

xx

sinkt+

d2

=-k2Ccoskt-k2Csin 将d2x和x的表达式代入原⽅程, -k2(C1

coskt+C2

coskt+

sinkt)” d2d2x+k2dt=x故通解x

t

=AA=

tx=C1coskt+C2sin dx=-kCsinkt+kCcos C2=所求特解 x=Acos最后例求含有两个任意常数C1C2 y=Ce-x+Ce2 =x+2所以,解将yCe-xCe2x -y¢= y所求的微分⽅程y¢y¢2y

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