信号与第3章离散系统时域分析

3.2df(t)=limDf(t)=lim f(t+Dt)-f(t)=lim f(t)-f(t-Dt)d Dtfi

Dtfi Dt

Dtfi DtDf(k)=f(k+1)-f(k) f(k)=f(k)-f(k-1) (k+1)-k k-(k-1)（1）一阶前向差分定义：Df(kf(k+1)（2）一阶后向差分定义：f(k)=f(k)–f(k式中，D和称为差分算子，无原则区别。本书主要用[af1(k)+bf2(k)]= f1(k)+ 2f(k) f(k)] [f(k)–f(k-1)] f(k) =f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bmf(k-y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=解：y(k)=–3y(k12y(k2y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)= y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-与微分方程经典解类似，y(k)yh(k齐次方程y(k)+an-1y(k-1)a0y(k-n)=其特征方程为1an-1λ–1+…+a0λ–n=0λn+an-1λn–1+…+a0=其根λii1，2，…，n)称为差分方程的特征根(Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+…+特解yp(k):特解的形式与激励的形式雷同(r≥1）激励f(k)=km y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=已知初始条件y(0)=0，y(1)=–1；激励f(k)=2k，k≥0。解λ24λ可解得特征根λ1=λ2=–2，其齐次解yh(k)=(C1k+C2)(–2)k特解为yp(k)=P ,代入差分方程得P(2)k+4P(2)k1+4P(2)k–2=f(k)=2k 所以得特解： ,故全解为y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(–2)k+ ,C1=1C2y(k)yx(k)yf(k),也可以分别y(j)=yx(j)+yf(j),j=0,1,2,…,n通常以y(–1)y(–2，y(–n)描述系统的初始状态yf(–1)=yf(–2)=…=yf(–n)=y(–1)=yx(–1),y(–2)=yx(–2),…，y(–n)=yx(–n)然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值yx(j)和yf(j)(j=0,1,2,…，n–1)y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=已知激励 ,k≥0，初始状态 解：（1）yx(k)满足方程yx(k)+3yx(k–1)+2yx(k–2)=其初始状态yx(–1)=y(–1)=0yx(–2)=y(–2)=首先递推求出初始值yx(0),yx(1),yx(k)=–3yx(k–1)–2yx(k–2)yx(0)=–3yx(–1)–2yx(–2)=–1 yx(1)=–3yx(0)方程的特征根为λ1=–1，λ2=–2yx(k)=Cx1(–Cx1=1Cx2所以yx(k)=(–1)k–2(– ,（2）零状态响应yf(k)yf(k)+3yf(k–1)+2yf(k–2)=初始状态yf(–1)=yf(–2yf(k)=–3yf(k–1)–2yf(k–2)+2k,yf(0)=–3yf(–1)–2yf(–2)+1=yf(1)=–3yf(0)–2yf(–1)+2=–yf(k)=Cf1(–1)k+Cf2(–2)k+=Cf1(–1)k+Cf2(–2)k+代入初始值Cf1=–1/3,所以yf(k)=–(–1)k/3+(–2)k+ ,3.2例1y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=根据h(k)h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=δ(k)h(–1)=h(–2)=0

h(k)=h(k–1)+2h(k–2)h(0)=h(–1)+2h(–2)+δ(0)=h(1)=h(0)+2h(–1)+δ(1)=(2求h(k)。对于k>0h(k)满足齐次方程h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=0(λ+1)λ2)所以h(k)=C1(–1)k+C2(2)k ，k>0h(0)=C1+C2=1,h(1)=–C1+2C2=1解得C1=1/3,C2=2/3h(k)=(1/3)(–1)k+ ,或写为h(k)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)ky(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)–f(k–h(k)h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=δ(k)–δ(k令只有δ(k)作用时，系统的单位序列响应h1(kh1(k)–h1(k–1)–2h1(kh(k)=h1(k)–h1(k–2)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k]ε(k)[(1/3)(–1)k–2+(2/3)(2)k–2]ε(k–

g(k)=T[ε(k),e(k)=d(i)=d(k- ，δ(k)=ε(k)–ε(k–1) g(k)h(ih(k

2 2a = 1-

a„

(k2≥k1

-k1+1 a=j

j=(k2+k1)(k2-k12………1.任意离散序列f(k)

f(k)=…+f(-1)δ(k+1)+f(0)δ(k)+f(1)δ(k-1)+f(2)δ(k-+…+f(i)δ(k–i)+¥=f(i)d(k-¥2.任意fδ(k-

LTI系统h(k-i)LTI系统

f(i)δ(k-¥

f(i)h(k-¥由叠加性：f(i)d(k- f(i)h(k-

f¥

yf(k)=f(i)h(k-

3

f(k)=f1(i)f2(k-¥¥f(k)=量，k为参变量。结果仍为k的函数。¥¥yf(k)f(i)h(k-i)=f(k)*h(k)例：f(k)=akε(k),h(k)=bkε(k)，求yf(k)解yf(k)=f(k)* =f(i)h(k-i)=aie(i)bk-ie(k- 当i<0,ε(i0；当i>k时，ε(k-i

ak

ai

by(k)

aibk-

e(k)=bk e(k)=

,a„

b

ε(k)*ε(k)=

bk

b(k

,a=¥f(k)=f1(i)f2(k-¥反转平移：由f2(i)反转→f2(–i)右移kf2(k乘积f1(i)f2(k–求和i–∞到∞对乘积项求和。注意：k为参变量。i)21例：f1(k)f2(k)如图所示，已知i)21¥i¥解：f(2)

f(i)f(2-

f2(–i

f2(i)反转得f2(– f(–i)右移2得f

2121

f1(i)f2(k-i（5）求和，得f(2i ¥¥f(k)=f1(i)f2(k-=…+f1(-1)f2(k+1)+f1(0)f2(k)+f1(1)f2(k-1)+f1(2)f2(k-+…+f1(i)f2(k–i)+f(k)=所有两序列序号之和为k的那些样本乘积之和。f(2)=…+f1(-1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)+例f1(k)={0f1(1)f1(2)f2(k)={0，f2(0)，

f1(1) f1(2) f2(0) f1(1)f2(1)，f1(2)f2(1)，f1(3)f1(1)f2(0)，f1(2)f2(0)，f1(3)+—————————————————————f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0) f1(3)f2(1)f1(1) f1(2)f2(1)+f(k)={0，f1(1)f2(0)，f1(1)f2(1)+f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，f1(3)f2(1)，0例f1(k)={021

求f(k)=

(k)*

f2(k)={0，3， 3，4，0， 2，1，

f(k){0，615，20，0，303，4，0，6，8，0，+———————————6

满足乘法的三律：(1)交换律(2)分配律,(3)结合律f(k)*δ(k)=f(k)，f(k)*δ(k–k0)=f(k–kf(k)*ε(k)

ff1(k–k1)*f2(k–k2)=f1(k–k1–k2)*[f1(k)*f2(k)] f1(k)*f2(k)= 例1如图复合系统由三h1(k)=ε(k)h2(k)=ε(k5)，求复合系统的单位序列响应h(k)。

∑∑h(k)=[δ(k)*h1(k)–δ(k)*h2(k)]*=[h1(k)–h2(k)]*=h1(k)*h1(k)–h2(k)*=ε(k)*ε(k)