第7部分计数原理概率与统计专题十五

4×3×2×3＝72(个)48＋72＝120(个2．(2015·，12，易)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么 【解析】由题意知，此为排列问题．故全班共有A2＝40×39＝1560(条)【答案】11．(2014·辽宁，6，易)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 4【答案】D 先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A3＝24(种)放法，故选D.42．(2012·课标，2，易)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( A．12种B．10种C．9种D．8【答案】 甲地有1名教师和2名学生则乙地只能有剩余的1名教师和2名学生故共有2＝12(种 A．192种B．216种C．240 D．28854【答案】B 法，其余4个位置有A4＝24(种)排法，所以共有120＋4×24＝216(种)排法．54得到lga－lgb的不同值的个数是( 【答案】 (补集思想、间接法)lga－lgb＝

共有A2＝20

20－2＝18.易错点拨：

1与lg3，lg3与lg9 集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为( 【答案】 设t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|，t＝1说明x1，x2，x3，x4，x5中有一个为－1或1，02·C1＝10(个)t＝1；t＝2x，x，x，x，x中有两个为－11 C2×2×2＝40(个)t＝2；t＝3x，x，x，x，x中有三个为－11 5所以有C3×2×2×2＝80(个)t＝310＋40＋80＝130(个)1≤t≤3.故选D.6．(2013·“北约”自主招生，2，中)有6×6的方阵，3辆完全相同的红车，3辆完全相同的5它们均不在同一行且不在同一列，排列方法种数为( C．518 D．146【答案】D(元素分析法)63C3种选择．最上面一行的红色车65种选择；上面两行的红66＝6(种)选择．所以共有C3×6×5×4×6＝14400(种)67．(2014·福建，10，难)a代表红球，b代表蓝球，c1个1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)1＋a＋b＋ab1”5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()5A从5个有区别的黑球取k个的方法数为Ck(1＋c)5的展开式中ck1＋b55＋b5)(1＋c)5 2【解析】∵产品A与B相邻，把A，B有A2种方法，然后再与C以外的两件产品全排列2323A3C3个空位可选，∴不同的摆法有A2·A3·3＝2×3×2×3＝36(种323【答案】小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数 (用数字作答【解析】3，1，12，21，13C3C1C1＋C1C3C1＋C1C1C3＝200(种3453453453453453452，2，13C2C2C1＋C2C1C2＋C1C2C2＝390(种)．故共有590种．345345345【答案】10．(2011·，12，中)用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共 【解析】(元素分析法)2，34“3”44“3”44“3”综上，共可组成4＋6＋4＝14(个)这样的四位数．4【答案】

考向 两个计数原理的综合应到的是最后结果，只需法(1)(2013·福建，5)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数 (2)(2013·山东，10)0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( (3)(2015·山西大同质检，7)4A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A．72种B．48种C．24种D．12【解析】(1)ax2＋2x＋b＝0a＝0x＝0，此时有序数对(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为－1)，(2，0)4＋9＝13(个)0，1，…，9组成三位数时，0910432A有C1＝4(种)B有C1＝3(种)涂法，CA，BC有C1＝2(种4323涂法，DCDC1＝3(种)4×3×2×3＝72(种)涂法3方法二：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4A4种涂法，B有3种涂法，C2种涂法，D14×3×2×1＝24(种)3A，B，C4×3×2＝24(种)DCD224＋24×2＝72(种【答案】 【点拨】题(1)ab的值；题(2)0不能在首位(1)(2014·大纲，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有()A．288种B．264C．240种D．168【答案】 从6名男医生中选出2名有C2种选法，从5名女医生中选出1名有C1种选法， 分步乘法计数原理得不同的选法共有C2·C1＝75(种) 【答案】 方法一：先涂A，D，E三个点，共有4×3×2＝24(种)涂法，然后再按BED2×(2×1＋1×2)＝8(种)涂法；BED不同色，1×(1×1＋1×2)＝3(种)24×(8＋3)＝264(种)．444②四色涂完，A，D，EA3B，F，C3种，若BF，C3种涂法，所以A3·C1·3＝216(种)．4 48＋216＝264(种考向 排列问排列数＝ ＝ n0！＝1.n(1)(2014·重庆，9)某次联欢会要安排3个歌舞类、2个小品类和1个相声类节目的演出顺序，则同类不相邻的排法种数是( (2)(2015·山东临沂3月检测，18，12分)有4名男生、5名，全体排成一行，下列情形各有多少34232【解析】(1)歌舞类设为a1，a2，a3，小品类设为b1，b2，相声类设为c，先排a1，a2，a3不相邻，顺序如×b1×b2×c×，共A3A3种方法，b1b2相邻前提下×b1b2×c×插空法共A2A3A2342323423234方法，所以同类不相邻的排法种数为342323488①方法一(元素分析法)6种，再排其余人有A86·A8＝241920(种)88 336×720＝241920(种)9方法三(等机会法)：9个人全排列有A99在中间及两端的排法总数是 6＝241920(种988方法四(间接法)：A9－3·A8＝6A8＝241920(种988277人,共有A2·A7＝10080(种)排法.274545③(插空法)先排4名男生有A4种方法，再将5名插空，有A5种方法，故共有A4·A5＝2880(种4545排法【点拨】对于要求某几个元素必须排在一起问题可采用法，对于某两个元素或者几个元素要法排列，同时注意元素的内部排邻的元素插面元素排列的空(2015·洛阳模拟，18，12分)有5个同学排队，问23224解：(1)(法)先排甲、乙，有A2种排法，再与其他3名同学排列，共有A2·A4＝48(种)不同排法224 12(种)排法方法一：5人的全排列共有A53A33

A5AA3A3方法二(插空法)：先排甲、乙、丙3人，只有一种排法，然后插入1人到甲、乙、丙中，有4154×5＝20(种)排法544(4)(间接法)5个人的全排列有A5种，其中甲站在中间时有A4种排法，乙站在两端时有2A4544354432A3种排法，所以一共有A5－A4－2A4＋2A3＝60(种)排法35443考向 组合问 n（n－1）（n－2）…（n－m＋1） Cm＝n

Am Am

Cm 353222【解析】(1)342种有C2＝561(种561种343种，有C3＝5984(种)或者C3－C2＝C3＝5984(种5984种201152C1C2＝2100(种22100种2C1C23件假货有C3种，共有选取方式C1C2＋C3＝2＝2555(种

20

20 22555种方法一(直接法)2种假货在内，不同的取法有C1C21种假货在内，不同的取法有C1种；没有假货在内，有C3种，因此共有选取方式C1C2＋C2C1＋C3＝6090(种方法二(间接法)3件的总数有C3，因此共有选取方式C3－C3＝6545－455＝6090(种 26090种【点拨】本题是组合的综合问题，在选取元素时要注意“搭配原则”，做到“不重不漏(2015·河北石家庄第一次调研，19，12分)某医学的学生中，有男生12名、8名在某市人民医院实习，现从中选派5名学生参加青年医疗队．解：(1)183C3＝816(种185人即可，共有C5＝8568(种分两类：甲、乙中只有一人参加，则有C1·C4种选法；甲、乙两人都参加，则有C32故共有C1·C4＋C3＝6936(种2

方法一(直接法)：男生和都至少有一名的选法可分为四类：1男4女；2男3女；3男2女41女8888所以共有C1·C4＋C2·C3＋C3·C2＋C4·C1＝14656(种88888方法二(间接法)：由总数中减去5名都是男生和5名都是的选法种数，得C5－(C5＋C5)＝14656(种).8考向 排列与组合的综合问m－1块隔板来完成分组，此法适用于同元素分组问题．多，所以通常用间接法，即排除法，它适用于明确且易于计算的问题．(2015·郑州检测，20，12分)有5名男生和3名，从中选出5人担任5门不同学有但人数必须少于男生某一定要担任语文课代表某一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表【解析】(1)先选后排．符合条件的课代表人员的选法有(C3C2＋C4C1)种，排列方法有A553535满足题意的选法有(C3C2＋C4C1)·A5＝5400(种53535

5 5 7除去该后，即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表，有A4＝840(种)选法774C4C1A4＝3360(种

4

74先从除去该男生和该的6人中选出3人，有C3种选法，该男生的安排方法有C1种，其余 3633人全排列，有A3种，因此满足题意的选法共有C3C1A3＝360(种3633解排列、组合的综合问题的仔细审题，判断是组合问题还是排列问题．要按元素的性质分类，按发生的过程进行分步配给4个人，每人2张，不同的获奖情况 种．(用数字作答434【解析】C2A2＝36(种)，二是三个人各获得一张，共有A3＝24(种)，因此不同的获奖情况有60种.434【答案】1．(2015·江西九江模拟，3)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 8 8 8 8【答案】 不相邻问题用插空法，8名学生先排有A8种排法，产生9个空，2位老师插空有A2 排法，所以共有A8·A2 2．(2014·广州联考，9)现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求 A．24种B．30C．36种D．48【答案】 (元素优先法)先给最上面的一块涂色，有4种方法，再给中间左边一块涂色，有22种方法，根据分步乘法计4×3×2×2＝48(种)方法．3．(2015·黄山月考，5)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( 3【答案】C 将四个车位在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在三个车位上任意排列，有A3＝6(种)排法，再将在一起的四个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有324(种)为()A．48种B．36种C．24种D．12【答案】 子共有A3种排法，∴排法种数共有A2A2A3＝24(种) 225．(2015·福建三明调研，6)A，B，C，D，EA，B，C A．12种B．20种C．40种D．605【答案】 (消序法)五个元素没有限制全排列数为A5，由于要求A，B，C的次序一定(按53CC，B，A)，故除以这三个元素的全排列A33

6．(2015·郑州检测，8)从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有( A．51个B．54个C．12个D．453【答案】 分三类：第一类，没有2，3，由其他三个数字组成三位数，有A3＝6(个3231，4，52C2A3＝36(个3第三类，2，31，4，523的前面，所以可组成1

3＝9(个51

7．(2015·江苏检测，9)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一 【解析】3773＝343(种)站法，当三个人同时站到同一个台阶的站法有7种，故若每级台阶最多站2人，有343－7＝336(种)站法.【答案】抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有 【解析】方法一(分类法)：在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调377777713C12111个车队2A231C3种．故共有C1＋A2＋C3＝84(种)抽调方法.777777方法二(隔板法)4辆，只需将107109967C6＝84(种)抽调方法9【答案】其中N2，N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是 35223522【解析】(元素优先法)66C1种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有A2种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有C1种方法，剩下的两个数字有A2种排法．按分步乘法计数原理，所有排列的个数是C1A2C1A2＝240.35223522【答案】1．(2015·，3，易)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项 【答案】 由题意知 2＝2. a5 2．(2015·湖南，6，中)已知

的展开式中含x2的项的系数为30，则 xx3 B．－ 3【答案】

＝Cr(x)5－r－a55r5

55

x2

2(－a)r＝Cr(－a)rx2 5∴C1(－a)1＝30，∴a＝－6.5 ＋55【答案】 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，则Tr1＝Cr(x2＋x)5－ryr.由题意，令r＝2，得＋55x)3y2.T′m1＝Cm(x2)3－mxmT′m1＝Cmx6－mm＝1T′2＝C1x5x5y2 334．(2015·，9，易)在(x－1)4的展开式中，x的系数

444【解析】∵Tr＋1＝Cr(x)4－r(－1)r＝(－1)rCrx2444

2＝1r＝2x的系数为【答案】 ．(用数字作答55【解析】∵Tk＋1＝Ck25－kxk，∴x3的系数为55【答案】

．(用数字填写答案【解析】∵Tr＋1＝Cr·(x3)7－r·x－r＝Crx21－4r21－4r＝5 7所以7【答案】7(2015·Ⅱ1532 4【解析】(1＋x)4的展开式的通项Tr＋1＝Crxr，r＝0，1，2，3，4，则(a＋x)(1＋x)4展开式中444444aC1＋aC3＋C0＋C2＋C4＝8a＋8＝3244444【答案】 6【答案】 6

84，则实数 5 D.5

的展开式中x3

k【答案】

a

7－2k＝－3 2 ∴x3的系数是C72a＝84a3．(2013·辽宁，7，中

1n

∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为 ＋＋

xx

xx

n5【答案】 (根据二项展开式的通项求解

＝Cr·3n－r·x

Tr1n－5＝0r 当r＝0，1时

r＝2时，n＝5，2 【答案】 由题意可得＋4＝120

6

6

－ 【答案】 x>0时，f(x)＝－x<0，故

1－

为 xx

(－

1

(－1)6－r·Cr·(x)6－2r.6－2r＝0r＝3，故常数项为·x 6．(2012·，5，难)设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则 2 22【答案】 2

(－1)2011＋(－1)2012＋a13整除，只需(－1)2012＋a＝1＋a13思路点拨：5152－1的形式，再利用二项展开式展开(52－1)201252的项都能被13整除，最后剩余的项作为13的倍数求出a.

【解析】x7C3x7a3，所以C3a3＝15【答案】2

a＋ax＋ax2＋…＋a 若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则

的展开式为 1【解析】a0＝1，a1＝3，a2＝4，即

2【答案】考向 求二项展开式中的项或项的系(a＋b)nr＋1Tr1＝Cran－rbr.展开式中Cr(r＝0，1，…，n)r＋1 r＋1项的二项式系数是CrCran－rbr.( (2)(2013·

16 —x—x

8【解析】(1)依题意，(x＋y)8Tk＋1＝Ckx8－kyk，0≤k≤8，k∈Z.k＝7888T8＝C7xy7＝8xy7k＝688∴(x－y)(x＋y)8x2y7x·8xy7＋(－y)·28x2y6＝－20x2y7x2y7 16

1

63 xx

＝(－1)rCr

26－2r＝0666＝4，故常数项为666【答案】 【点拨】

＋n＋nkk的取值范围mk＋1＝m0解题时注意二项式系数中n和r的隐含条件．使用二项式的通项时要注意：①通项表示的是第r＋1项，而不是第r项；②通项中a和b的位置不能颠倒．

的最小值 2 r6－rr【解析】Tr＋1＝C6(ax b 12－3r＝36∴C3a3b3＝206a2＋b2【答案】

考向 二项式系数的性质和赋值问 k<2 n为偶数时，中间一项(第＋1项)的二项式系数最大，最大值为C22

n为奇数时，中间两项(第2

2项)为Cn

或Cn2 ＝－1C0＋C2＋C4＋…＝C1＋C3＋C5＋…＝2n－1

＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则 (2)(2015·河北石家庄调研，15)设3－1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M，8，N三数成等比数列，则展开式中第四项为 【思路导引】题(1)先根据二项展开式中二项式系数的特点确定系数的最大值，再利用组合数求解；题(2)应用赋值法求解，令x＝1，结合等比数列的性质求解．【解析】(1)(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为Cma＝Cm，同理，b＝Cm＋1，∴

7Cm＋1

＝13 (2)令x＝1，则各项系数之和为 3 nnnn∵二项式系数之和N＝C0＋C1＋C2＋…＋Cn＝2n，又M，8，N三数成等比数列，则82＝MN，即nnnn＝64n＝6

6【答案】 6求二项式中项的系数的和与差的方法技巧x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)x＝y＝1即可；同理x＝1，y＝－1x＝－1，y＝1即可；如何赋值，要观察所求和与

x＝0中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝ 【解析】方法一(通法)f(x)＝x55555方法二(赋值法)f(x)＝x5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5x再令x＝－1得60＝6a3，即a3＝10.【答案】1．(2015·重庆模拟，4)(x－2y)8的展开式中，x6y2项的系数是 ＋8【答案】 二项式的通项为Tr1＝Crx8－r(－2y)r，令8－r＝6，即r＝2，得x6y2项的系数＋88C2(－8

x 【答案】 (先求出a值，然后用通项求解a＝2πcosx6 x6 ＝2sinx＋6 ＝ 2sin6－sin6

2

r

Tr＋1＝C5(x

10－3r＝1，∴r＝3.x的系数为

2 ＋常数项是

【答案】 因为

2 ＋x2的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n＝10，

55 Cr·(x)10－r·2＝2rCr·x2.令5－r＝0，得r＝2，所以展开式中常数项T3＝4C2＝180. x 思路点拨：n2 2 ＋

整数n的最小值为

1

1

【答案】

＝Cr·(2

＝Cr2n－rx2

∵n，r∈Nr≤n，∴n

x2－1

数项是

若

的展开式中第三项与第五项的系数之比为 【答案】 ∵展开式的通项为Tr

2n 3 ＝C(－1) 2 220

Cn Cnn＝10，∴Tr＋1＝Cr·(－1)r·

2.202＝0r＝8.T9＝C8＝C26．(2015·一模，7)设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋…＋a2nx2n，则a2＋a4＋…＋a2n的值为 【答案】 (赋值法)令a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n＝3n.①x＝－1得，x＝0

∴a0＋a2＋…＋a2n＝

－a0＝ －1＝ 7．(2015·洛阳模拟

3

【解析】3n＝729Tr＋1＝C·(2x)Tr＋1＝C·(2x)·

3

6＝C·2－·x6－3

r666－4r＝2r＝3.x2的系数是3【答案】

则

【解析】

66－2r＝2r＝2666－2r＝0r＝3B＝－a3C3＝－20a3.B＝4A，即－20a3＝4×15a26【答案】＋a7x7，则 44【解析】在(1－x)(1＋x)4x2b，则b＝C2－C1＝2.44令x＝0得a0＝27，x＝1【答案】(时间：45分钟分数：80分)一、选择题(12560分) 【答案】A 将5件不同的奖品分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种．分成1，1，3时，有C3·A3＝60(种)分法； 2，2，1

3·A3＝90(种)A322A3260＋90＝150(种)2．(2013·

25

【答案】 二项展开式的通项为

＋55＋55510－5r＝0r＝2T3＝C2·22＝4053．(2012·山东，11)164张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 【答案】 分两种情况①不取红色卡片，共有不同的取法C3－3C3＝220－12＝208(种 1C1C2＝264(种4208＋264＝472(种)4．(2013·课标Ⅱ，5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( 【答案】 (1＋x)5中含有x与x2的项为 ∴a＝－1思路点拨：先求出(1＋x)5xx2x2人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．10种B．15种C．20种D．30【答案】 3局，共2种；数为4局时，若甲赢，则前3局中甲赢2局，最后一局甲赢，共有C2＝3(种)情况，3412C2＝12(种)42＋6＋12＝20(种)6．(2015·山东青岛一模，7)A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，BAB说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为() 3B(元素优先法)A，A2，4，5A1AC，D，E全排列，有A3种名次排法，即这五位学生的名次排列种数为A1·A3＝18(种)．3 A．60种B．63种C．65种D．66【答案】D 共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数、2个偶