(完整版)山东科技大学概率统计简明教程主编卓相来第六章习题详细答案石油大学出版社

习题六X～N(,6),从中抽取容量为25的一个样本,求样本方差S2小于9.1的概率.1.设总体～N(,6),由(n解X2(1),于是1)S～n222436.42519.1(n1)S2p2436.41pPS9.1P2226610.050.95.10X21.44iX,X,,X是取10N(0,0.32)的样本,试求P2.设自正态总体.12i1nXu2(n)，于是～2解：由i1i210X210160.11.4410iP21.PX21.44Pii0.30.322i1N(a,4),X,X,,3.设总体XX是取自总体的X一个样本,X为样本均值,试问样本容～12nn量20.1;分别为多大时,才能使以下各式成立，123EXaEXa0.1;P{Xa1}0.95.2Xa4Xa(1),2XN(a,),N(0,1),解（1）因为～所以～从而4～于是4nnnXa21,EXaXa240.1,所以n40.E4nnN(0,1),所以（2）因为～4nXa1222222xx22x2x2Exe2dxxe2dxe2d0,2240n800254.7,故n255.22n42n20.1,从而所以EXan（3）因为1Xa1Xa1n2PXa1PP10.95,444442nnnnnn0.975,而1.96=0.975，从而n1.96，n15.37,故n16.所以22、XS,总体(10,)4.已知X～N,为未知总体X的一个样本2分别为样本X,X,X,X4,2123均值和样本方差（1）构造一个关于X的统计量Y,使得Y~t(3);（2）设s1.92,求使P{X10}0.95的.n1S2X10～N0,1,3S222～n1,～3,解（1）222X102X10～t3.23S2YS322X1022（2）P{X10}P12tn10.95,2SSSStn10.025,n4,23.1824,S1.92,3.0551.所以2SS5.为了估计总体均值,抽取足够大的样本,以95%的概率使样本均值偏离总体均值不超过总体标准差的25%,试求样本容量.解XuXunXuPn4nPXu0.25P0.25P44nnnn195%,所以0.975,n1.96,n61.4656,所以样本容量n62.24446.XN(12,2)从总体～中抽取容量为X,X,,X5的样本，5试求212(1)样本的极小值小于10的概率;(2)样本的极大值大于15的概率.PminX,X,,X101PminX,X,,X10解（1）1251255X1210121P251PX101i2ii1i151110.5785.i1PmaxX,X,,X151PmaxX,X,,X15（2）12512515X1215125P11.510.933250.2923.i22i1i17.从两个正态总体中分别抽取容量为25和20的两个独立样本,算得样本方差依次为，25.6,若两总体方差相等S,求随机抽取的两个样本的样本方差之比大于的1S2S262.712262.725.6S22概率是多少？解S22.450.025.S262.7PPS2/S2S212211～Fn1,n1F24,19，所以1/225.6S2S222S122212,,,8.设XXX是总体XNn~(,2)的一个样本,样本方差1241n12S2n(XX)2,证明D(S).n12ii1(n1)S2~2(n1)，而证因为2D(2(n1))2(n1)，244(n1)S2(n1)22(n1)n21.D(S)D所以22n1X,X分别是取n自正态总体均为的相互独立的两个样本的样本均值，N(,)2的容量9.设120.01均值之差超过的概率大于.n试确定,使得两个样本2XX2X～N(u,),X～N(u,),2～N(0,1),解121n2nnXXXX2nnnPXXP1P1212220.01,222212nnnn0.995,2.575,n13.2210.设总体,,,XX的一个样本.X,S2分别为为总体样本均值和样本方差，X~()X,X12n试求(1)（）的分布律;X,X,,X12n(2)E(X),D(X),E(S2)xien解ei1xPXPXx(1)因为所以,n.PXxi,xXxnnx!x!x!x!211niiiii1iin(2)EX,DX,i1,2,,nii所以EX1nEX,DX1n2DX1,nnniii1i1n1n1n111n1ES2EnX2XE2X2nX2nEX2nX2iiii1i1i111.2nn2n1n11.从总体N(3.4,6)2n中抽取容量为的样本,如要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率n不小于0.95,问样本容量至少应取多大？36X3.4～N(0,1),X～N(3.4,),解6nnnX3.4nnn2P1.4X5.4P10.95,3633n0.975,n35.312.设样本观察值x,x,,xxSxaicn的平均值为,样本方差为x2,作变换y12i得y,y,,yyS,样本方差为2,试证xacy,ScSn的样本平均值为222.12yxy1nx证x,ini1xai1n1n1111ax,naccyynxanxinnccncncniii1i1i1i1所以xacy.211S2xxnxnnacy2nacy22n1n1iii1i11na22acyc2y2na2acycy222n1iii11c2y2acy2nacync2ynn22n1iii1i12cnnyc2.2y2S2n1iyi1N(,)的一个样本，试求随机变量(XX)2的数学期望n13.设是来自正态总体2X,X,,X12nii1和方差.E(X)u22,2解：因为E(X)u,DX2,所以iii22E(X)u,DX,E(X所以)u2.2nnE(XX)2EX2nXEXnEX,nnn222i1i1i1iii2n1.nunu2222n(XX)2,得Yn1S2,1n1令Yn(XX)2,由S2niii1i1n1S2～n1,2由定理2得Y22DY442n1,即Y所以21.DYnD214.设X,X,,X来自正态总体的一个样本，N(0,1)125服从2分布,并且指出它的自由度；（1）试求常数A,B,使得A(XX)2B(XXX)212345服从F分布,并且指出它的自由度.（2）试求常数m,n,使得m(XX2)n(X2XX)2521342分布的定义知由5N(0,1).解（1）因为X～N(0,1),,所以XXXXX～N(0,1),1234i23(XX)(XXX)2