福建省福州市市永泰第二中学高三数学文月考试题含解析

福建省福州市市永泰第二中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则（

）A.有最大值，为8

B.是定值6

C.有最小值，为2

D.与P点的位置有关参考答案：B2.在复平面内,到复数对应的点的距离与到直线的距离相等的点的轨迹是（

）A.抛物线

B.双曲线

C.椭圆

D.直线参考答案：D考点：两点间距离公式和点到直线的距离公式．3.点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（）A．B．C．2D．参考答案：考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：由抛物线的性质，我们可得P点到直线x=﹣1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离，根据平面上两点之间的距离线段最短，即可得到点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值．解答：解：∵P点到直线x=﹣1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离故当P点位于AF上时，点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和最小此时|PA|+|PF|=|AF|=故选D点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中根据抛物线的性质，将点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和，转化为P点到A，F两点的距离和，是解答本题的关键．4.函数，则＝A.0

B.1

C.2011

D.2012参考答案：B5.定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[﹣，]时，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2的解集为（）A．（，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，）参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣，可得g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=0，进而根据f（2cosx）＞﹣2sin2可得2cosx＞1，解得答案．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）＞0，∴g（x）在定义域R上是增函数，且g（1）=f（1）=0，∴g（2cosx）=f（2cosx）﹣cosx=f（2cosx）﹣cosx，令2cosx＞1，则g（2cosx）＞0，即f（2cosx）＞+cosx，又∵x∈[﹣，]，且2cosx＞1∴x∈（﹣，），故选：D6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，，当时，，若，则a的最大值是（

）A．2018

B．2010

C．2020

D．2011参考答案：D由函数是定义在上的偶函数，，可得：，即，故函数的周期为12.令，解得，∴在上的根为5，7；又，∴的最大值在上，即.故选：D

7.已知某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C解析:由三视图易知，该几何体是底面积为，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得8.若复数，满足：，则的虚部为（

）A.

B.1

C.

D.参考答案：C9.已知分别是双曲线的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（

）A．(1,2)

B．(2,+∞)

C．

D．参考答案：A如图1，不妨设，则过F1与渐近线平行的直线为，联立解得即因M在以线段为直径的圆内，故，化简得,即，解得，又双曲线离心率，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2).选择A.10.设向量，满足||=2，在方向上的投影为1，若存在实数λ，使得与﹣λ垂直，则λ=（） A． B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】利用向量投影的意义可得，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出． 【解答】解：∵向量，满足||=2，在方向上的投影为1， ∴==2×1=2． ∵存在实数λ，使得与﹣λ垂直， ∴==0， ∴22﹣2λ=0， 解得λ=2． 故选：C． 【点评】本题考查了向量投影的意义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.是内一点（不包括边界），且，则的取值范围是

.

参考答案：12.若实数x，y满足，则z=3x+4y的最大值是

．参考答案：14【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（2，2），由z=3x+4y得：y=﹣x+，结合图象得直线过A（2，2）时，z最大，z的最大值是14，故答案为：14．13.设为锐角，若

▲

.参考答案：14.（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤k（k＞0），则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“k度和谐函数”，[a，b]称为“k度密切区间”．设函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是．参考答案：﹣1≤m≤1+e【考点】：函数的值域．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由“e度和谐函数”，得到对任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，化简整理得m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m﹣e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．解：：∵函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“e度和谐函数”，∴对任意的x∈[，e]上，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，即有|lnx+﹣m|≤e，即m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），h′（x）=﹣=，x＞1时，h′（x）＞0，x＜1时，h′（x）＜0，x=1时，h（x）取极小值1，也为最小值，故h（x）在[，e]上的最小值是1，最大值是e﹣1．∴m﹣e≤1且m+e≥e﹣1，∴﹣1≤m≤e+1．故答案为：﹣1≤m≤1+e【点评】：本题考查新定义及运用，考查不等式的恒成立问题，转化为求函数的最值，注意运用导数求解，是一道中档题．15.已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直，则的值为_____．参考答案：，16.已知直角三角形ABC中，直角边AC=6,点D是边AC上一定点，CD=2,点P是斜边AB上一动点，CP⊥BD,则△APC面积的最大值是

▲

；线段DP长度的最小值是

▲

．参考答案：;

17.已知函数，则在点处的切线的斜率最大时的切线方程是______________

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（理）已知，函数。（1）设曲线在点处的切线为，若与圆相切，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在[0，1]上的最小值。参考答案：（理）解：（1）依题意有，过点的直线斜率为，所以过点的直线方程为又已知圆的圆心为，半径为1∴，解得……………………4分（2）……5分当时，令，解得，令，解得………………7分所以的增区间为，减区间是…………8分（3）当，即时，在[0，1]上是减函数所以的最小值为………9分当即时在上是增函数，在是减函数………………10分所以需要比较和两个值的大小因为，所以∴当时最小值为，当时，最小值为当，即时，在[0，1]上是增函数

所以最小值为……12分综上，当时，为最小值为

当时，的最小值为19.（本小题满分12分）

是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．（Ⅰ）求、的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和。参考答案：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有

且

解得，．

所以，．（Ⅱ）．，①，②②－①得，．20.（本小题满分12分）为了解某校高三9月调考数学成绩的分布情况，从该校参加考试的学生成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一组至第五组数据的频率之比为，最后一组数据的频数是6.（1）估计该校高三学生9月调考数学成绩在的概率，并求出样本容量；（2）从样本成绩在的学生中任选2人，求至少有1人成绩在的概率.参考答案：（1）估计该校高三学生9月调考数学成绩在上的概率为，设样本容量为，则，解得.…4分（2）样本中成绩在上的学生有×40＝2人，记为，；成绩在上的学生有×40＝4人，记为，，，．从上述6人中任选2人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，共15个，记“从上述6人中任选2人，至少有1人在上”为事件A，则事件A包含的基本事件有：，，，，，，，，，共9个．故所求概率P(A)＝＝．………12分21.

（1）设是公差为d的等差数列，推导公式：若；

（2）若的前n项和，证明当C≠0时，数列不是等差数列．参考答案：解：(1)因为数列{an}为等差数列，所以am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1+(m＋n－2)d，ap＋aq＝a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d＝2a1+(p＋q－2)d，又m＋n＝p＋q，所以am＋an＝ap＋aq.(6分)(2)当n＝1时，b1＝S1＝A＋B＋C；当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn＋C－[A(n－1)2＋B(n－1)＋C]＝2An－A＋B，即当n≥2时，数列{bn}的通项公式为bn＝2An－A＋B，当n＝1时，b1＝A＋B＋C≠A＋B，所以数列{bn}不是等差数列．(12分)

略22.已知函数,(1)设（其中是的导