江苏省南京市中学附属学校2022-2023学年高三数学文联考试题含解析

江苏省南京市中学附属学校2022-2023学年高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列，，，…的第四项等于（

）A.3 B.4 C.log318 D.log324参考答案：A由，得，又，故则数列前三项依次为，，，，从而第四项为故选：A2.命题：“至少有一个点在函数的图像上”的否定是（

）A．至少有一个点在函数的图像上

B．至少有一个点不在函数的图像上C．所有点都在函数的图像上

D．所有点都不在函数的图像上参考答案：D3.执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为()A．2

B．3C．4

D．5参考答案：C4.已知数列{an}满足，a2+a6+a10=36，a5+a8+a11=48，则数列{an}前13项的和等于（

）A.162

B.182

C.234

D.346参考答案：B由条件得，所以，因此数列为等差数列。又，，所以。故。选B。点睛：5.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（

）A.2019

B.2018

C.2017

D.2016参考答案：B运行程序，，判断是，，判断是，，……，依次类推，当为奇数时，为，当为偶数时，为，，判断否，输出，故选B.

6.若直角坐标平面内的两个不同点、满足条件：①、都在函数的图像上；②、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数=，则此函数的“友好点对”有（

）对．

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：7.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是（）A．B．C．D．参考答案：A8.是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是(

)A．

B．C

D．参考答案：D9.能够把椭圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.已知集合的定义城为Q，则=

A．

B．

C．

D．

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知随机变量X的分布列如下表所示，X的期望EX=1.5，则DX的值等于

。X0123P0．1ab0.2

参考答案：0.8512.一个袋中放了相同的标号为的三个小球.每次从袋中摸一个小球，记下标号然后放回，共摸球次.若拿出球的标号是奇数,则得分,否则得分，则次所得分数之和的数学期望是

．参考答案：2

命题意图：考查学生对二项分布的理解及二项分布期望公式的应用。13.设函数，则满足的的取值范围是

．参考答案：当时，则∴等价于，即当时，，，满足恒成立当即时，满足恒成立综上所述，故答案为

14.在三角形中，已知的面积为，则的长为_

参考答案：

略15.直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为

．参考答案：（2，12）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，则圆心坐标为（1，1），半径r=1，则若直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则圆心到直线的距离d==＜1，即|b﹣7|＜5，则﹣5＜b﹣7＜5，即2＜b＜12，故答案为：（2，12）16.已知数列{an}是等比数列，若，则a10=．参考答案：96【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知求得等比数列的公比的3次方，然后代入等比数列的通项公式求得a10．【解答】解：在等比数列{an}中，由，得，∴．故答案为：96．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．17.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.参考答案：由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与有三个不同的交点，如图所示：当时，的图象易得，当时，函数g(x)=，==0，x=1,在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，如图所示：有三个不同的交点，a≤4故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.点A，B分别在射线l1：y=2x（x≥0），l2：y=﹣2x（x≥0）上运动，且S△AOB=4．（1）求线段AB的中点M的轨迹方程；（2）求证：中点M到两射线的距离积为定值．参考答案：【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】综合题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），∠AOB=2θ，利用S△AOB=4，可得x1?x2=2，结合中点坐标公式，求线段AB的中点M的轨迹方程；（2）利用点到直线的距离公式，结合（1）的结论，即可证明．【解答】（1）解：设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），∠AOB=2θ，…由y=2x可得，tanθ=k=2，那么，…又因为，所以，化简得x1?x2=2，…①式…因为M（x，y）是A（x1，y1）与B（x2，y2）的中点，所以x1+x2=2x，y1+y2=2y，且y1=2x1，y2=﹣2x2，联立可得，并代入①式，得4x2﹣y2=8，…所以中点M的轨迹方程是4x2﹣y2=8，x＞0…（2）证明：设中点M到射线OA、OB的距离分别为d1、d2，则，…那么所以中点M到两射线的距离积为定值

…【点评】本题考查轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19. 已知函数 （I）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围； （II）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；（III）当参考答案：解：（Ⅰ）由f（1）=2，得a=1，又x＞0，∴x2+x﹣xlnx）≥bx2+2x恒成立?1﹣﹣≥b，令g（x）=1﹣﹣，可得g（x）在（0，1]上递减，在[1，∞）上递增，所以g（x）min=g（1）=0，即b≤0.

----------------------------------------------（4分）（Ⅱ）f′（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），令f′（x）≥0得：2a≥，设h（x）=，当x=e时，h（x）max=，∴当a≥时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增…（5分）若0＜a＜，g（x）=2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）=2a﹣，g′（x）=0，x=，x∈（0，），g′（x）＜0，x∈（，+∞），g′（x）＞0，∴x=时取得极小值，即最小值．而当0＜a＜时，g（）=1﹣ln＜0，f′（x）=0必有根，f（x）必有极值，在定义域上不单调∴a≥

.---------------------------------------------------------------（8分）（Ⅲ）由（I）知g（x）=1﹣在（0，1）上单调递减，∴＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）即＜而＜x＜y＜1时，﹣1＜lnx＜0，∴1+lnx＞0，∴＜

.------------------------------------------------------------（12分）略20.（14分）设函数f（x）=x|x﹣a|+b．（1）当a=1，b=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值．（2）若f（x）为奇函数，求证：a2+b2=0；（3）设常数b=﹣1，且对任意x∈，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：考点： 函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；分段函数的应用．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）将a=1，b=1代入方程，解之即可；（2）根据奇函数的定义式可以找到a，b的关系式，化简可得结论；（3此问属于不等式恒成立问题，可研究函数的单调性，然后将问题转化为函数的最值问题来解．解答： （1）当a=1，b=1时，函数f（x）=x|x﹣1|+1．x|x﹣1|+1=x解得x=1或x=﹣1；（2）若f（x）为奇函数，则对任意的x∈R都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，即﹣x|﹣x﹣a|+b+x|x﹣a|+b=0，令x=0得b=0，令x=a得a=0，∴a2+b2=0．（3）由b=﹣1，当x=0时，a取任意实数不等式恒成立．当0＜x≤1时，f（x）＜0恒成立，也即恒成立．令，因为，所以g（x）在上单调递增，∴a＞g（x）max=g（1）=0，令h（x）=，因为当0＜x＜1时，，则h（x）在上单调递减，∴a＜h（x）min=h（1）=2．∴实数a的取值范围为0＜a＜2．点评： 本题综合考查了函数的单调性、奇偶性的应用，以及函数与方程的关系，属于中档题，要认真体会解题思路．21.（本题满分13分）已知数列的通项，.(Ⅰ)求；（Ⅱ）判断数列的增减性,并说明理由；(Ⅲ)设，求数列的最大项和最小项.参考答案：（Ⅰ）,.

……….2分（Ⅱ）.则当时，，则时，数列为递增数列，;当时，，数列为递减数列，.

……….7分(Ⅲ)由上问可得，，.令，即求数列的最大项和最小项.则.则数列在时递减，此时，即；数列在时递减，此时，即.因此数列的最大项为，最小项为.

……….….13分22.某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（Ⅰ）由题意设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C，利用独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式即可求得；（Ⅱ）由于摸球次数为ξ，按题意则ξ=1，2，3，4，利用随机变