湖南省长沙市披塘中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试题含解析

湖南省长沙市披塘中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在x=处有极值，则a=（

）(A)－2

(B)0

(C)

(D)2参考答案：D略2.一次选拔运动员，测得7名选手的身高(单位：cm)分布茎叶图为记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为

()．A．5

B．6

C．7

D．8参考答案：D由茎叶图可知＝7，解得x＝8.3.在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么这个三角形是（

）A.锐角三角形

B．直角三角形

C．等边三角形

D．等腰三角形参考答案：D4.要得到函数的图象，应该把函数的图象（

）A.向左平移

B.向右平移

C.向左平移

D.向右平移参考答案：D试题分析：要得到，只需把函数的图象向右平移考点：三角函数图像平移5.以下三个命题

①设回归方程为=3﹣3x，则变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；

②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．

其中真命题的个数为（

）

A、0

B、1

C、2

D、3参考答案：C

【考点】命题的真假判断与应用

【解答】解：对于①，变量x增加一个单位时，y平均减少3个单位，故错；

对于②，根据线性相关系数r的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强，r的绝对值越接近于1，故正确；

对于③，在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，

则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，符合正态分布的特点，故正确．

故选：C．

【分析】①，利用一次函数的单调性判定；

②，利用相关性系数r的意义去判断；

③，利用正态分布曲线的性质判．

6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为(

)A． B． C． D．参考答案：A考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．解答：解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．点评：本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题7.已知等比数列中，，且成等差数列，则等于()A．1

B．4

C．14

D．15参考答案：C8.已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：9.抛物线的焦点坐标是（

）

A．（0，）

B．（，0）

C．（1，0）

D．（0，1）参考答案：D略10.张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车．但不知道具体谁先谁后．他打算：第一辆看后一定不坐，若第二辆比第一辆舒服，则乘第二辆；否则坐第三辆．问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是（） A．、 B．、 C．、 D．、参考答案：C【考点】等可能事件的概率． 【专题】计算题． 【分析】本题考查的知识点是古典概型，设三辆车的等次为：下中上，我们分6种情况，下中上他没乘上上等车；下上中他乘上上等车；中下上他乘上上等车；中上下他乘上上等车；上下中他没乘上上等车；上中下他没乘上上等车；一共6种情形，然后代入古典概型公式计算，即可得到答案． 【解答】解：设三辆车的等次为：下中上，它们的先后次序分下列6种情况， 下中上他乘上中等车 下上中他乘上上等车 中下上他乘上上等车 中上下他乘上上等车 上下中他乘上中等车 上中下他乘上下等车 他乘上上等车的情况数为：3 那么他乘上上等车的概率为 他乘上下等车的情况数为：1 那么他乘上下等车的概率为． 故选C． 【点评】古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为

．参考答案：4：9【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】据体积比等于相似比的立方，求出两个球的半径的比，表面积之比等于相似比的平方，即可求出结论．【解答】解：两个球的体积之比为8：27，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为2：3，从而这两个球的表面积之比为4：9．故答案为：4：9【点评】本题是基础题，考查相似比的知识，考查计算能力，常考题．12.若时，不等式恒成立，则的最小值是_____________参考答案：213.设,是纯虚数,其中是虚数单位,则

.参考答案：-2略14.已知不等式，，，…，可推广为，则a等于

.参考答案：略15.某地的汽车牌照全都是由七位数字所组成，每面车牌的最左边的数字不可以是0，且任两面车牌上的数都不相同。现只能用0、1、2、3、5、7、9等七个不同的钢模来轧制车牌，制造一个车牌时同一个钢模只能使用一次，可以把数字9的钢模旋转后当成数字6来用，但6和9不能同时出现。现将符合上述要求的全部车牌依照其数值由小至大排序，因此他们依序是：1023567、1023576、1023579、…、9753210。那么第7000面车牌的号码是________。参考答案：720635116.过点作直线，与的正半轴分别交于两点，则使取得最小值时的直线的方程是_________________;

参考答案：略17.在平面三角形中，若的三边长为，其内切圆半径为，有结论：的面积，类比该结论，则在空间四面体中，若四个面的面积分别为，其内切球半径为，则有相应结论：____

__参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分6分）已知复数（为虚数单位）（Ⅰ）把复数的共轭复数记作，若，求复数；（Ⅱ）已知是关于的方程的一个根，求实数，的值。参考答案：解：（Ⅰ）由题意得

1分所以

3分（Ⅱ）由题意知

4分化简得则有

5分解得

6分19.已知函数；（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若的解集非空，求m的取值范围.参考答案：（Ⅰ）即为，当时，得，则，…………2分

当时，无解…………4分

当时，得，则，综上…………6分（Ⅱ）的解集非空即有解，等价于，…………8分而.…………10分∴，.…………12分20.在平面直角坐标系xOy内，椭圆E：+=1（a＞b＞0），离心率为，右焦点F到右准线的距离为2，直线l过右焦点F且与椭圆E交于A、B两点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l与x轴垂直，C为椭圆E上的动点，求CA2+CB2的取值范围；（3）若动直线l与x轴不重合，在x轴上是否存在定点P，使得PF始终平分∠APB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）由题意得：，得a，b即可（2）A（2，），B（2，﹣），设点C（x0，y0），则CA2+CB2=（x0﹣2）2+（y0﹣）2+（x0﹣2）2+（y0+）2=2x02+2y02﹣8x0+12，又点C在椭圆上，∴，消去y0得CA2+CB2=，，即可求解．（3）假设在x轴上存在点P满足题意，不妨设P（t，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由PF平分∠APB知：kAP+kBP=0，又kAP+kBP===0，利用韦达定理即可求解．解：（1）由题意得：，得a=2，c=2，…∵a2=b2+c2，∴b2=4，∴椭圆的标准方程为：．…（2）当直线AB与x轴垂直时，A（2，），B（2，﹣），设点C（x0，y0），则CA2+CB2=（x0﹣2）2+（y0﹣）2+（x0﹣2）2+（y0+）2=2x02+2y02﹣8x0+12，又点C在椭圆上，∴，消去y0得CA2+CB2=，，∴CA2+CB2得取值范围为[28﹣16，28+16]．…（3）假设在x轴上存在点P满足题意，不妨设P（t，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为：x=my+2，联列，消去x得（m2+2）y2+4my﹣4=0，则，，…由PF平分∠APB知：kAP+kBP=0，…又kAP+kBP===0，又x1=my1+2，x2=my2+t，得（2﹣t）（y1+y2）+2my1y2=0，即（2﹣t）×+2m×=0，得t=4，所以存在点P（4，0）满足题意．

…21.某批发站全年分批购入每台价值为3000元的电脑共4000台，每批都购入x台，且每批均需付运费360元，储存电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费共43600元，现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排进货数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据条件建立运费和保管费的总费用y关于每批购入台数x的函数解析式，然后利用基本不等式进行解答．【解答】解：设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元，题中的比例系数设为k，每批购入x台，则共需分批，每批价值3000x元．由题意知y=×360+3000kx，当x=400时，y=43600，解得k=，∴y=×360+100x≥2=24000（元）当且仅当×360=100x，即x=120时等号成立．此时x=120台，全年共需要资金24000元．故只需每批购入120台，可以使资金够用．【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．22.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,,其中点P为棱CC1的中点,Q为棱CC1上且位于P点上方的动点．(1)求证:平面；(2)若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为,求直线BQ与平面所成角的正弦值．参考答案：（1）见证明；（2）【分析】（1）推导出tan∠BB1C==，tan∠PBC==，从而∠BB1C=∠PBC，PB⊥B1C，推导出BB1⊥A1B1，A1B1⊥B1C1，从而A1B1⊥平面BCC1B1，A1B1