河南省洛阳市英语学校2021年高二数学文联考试卷含解析

河南省洛阳市英语学校2021年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设离散型随机变量满足，，则等于

（

）

A．27

B．24

C．9

D．6参考答案：D2.圆截直线所得的弦长是（

） A．2

B．1 C．

D．参考答案：A略3.如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是()A、12.512.5

B、12.513C、1312.5

D、1313参考答案：B略4.使不等式成立的充分不必要条件是A．0<x<4

B．0<x<2

C．0<x<3

D．x<0或x>3参考答案：B略5.设a，b∈R，则“a=0”是“ab=0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：设a，b∈R，则由“a=0”能推出“ab=0”，是充分条件，由ab=0推不出a=0，不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．6.已知，则a1﹣2a2+3a3﹣4a4+…2016a2016+2017a2017（）A．2017 B．4034 C．﹣4034 D．0参考答案：C【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】对式子两边求导，令x=0即可得出答案．【解答】解：令f（x）=（1﹣2x）2017，则f′（x）=﹣2×2017（1﹣2x）2016，∴f′（0）=﹣4034，又f（x）=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2017（x﹣1）2017，∴f′（x）=a1+2a2（x﹣1）+3a3（x﹣1）2+…+2017a2017（x﹣1）2016，∴f′（0）=a1﹣2a2+3a3+…+2017a2017=﹣4034．故选C．【点评】本题考查了二项式定理的应用、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知平面α∥平面β，它们的距离是d，直线aìα，则在平面β内与直线a平行且相距为2d的直线有（

）（A）0条

（B）1条

（C）2条

（D）无数多条参考答案：C8.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是A.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

B.若m⊥α，n⊥α，则m∥nC.若m∥α，n∥α，则m∥n

D.若m∥α，m∥β，则α∥β参考答案：B9.已知函数=，=，若至少存在一个∈[1，e]，使得成立，则实数a的范围为A．[1，+∞)

B．(0，+∞)

C．[0，+∞)

D．(1，+∞)参考答案：B略10.设长方体的体对角线长度为4，过每一顶点有两条棱，与对角线的夹角都是60°，则此长方体的体积是()A．8

B．8

C.

D．16参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为

（用数字作答）．参考答案：【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．12.对任意都能被14整除，则最小的自然数a＝

参考答案：a＝5略13.若AD是三角形ABC的中线，且＝6，＝6，，则边BC的长是＿＿＿．参考答案：14.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为

参考答案：15.已知,则________参考答案：-4略16.已知实数x，y满足约束条则的最大值等于_________．参考答案：8考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，欲求的最大值，即要求z1=x+y﹣2的最小值，再利用几何意义求最值，分析可得z1=x+y﹣2表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解答：解：作图易知可行域为一个三角形，验证知在点A（﹣2，1）时，z1=x+y﹣2取得最小值﹣3，∴z最大是8，故答案为：8．点评：本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解17.已知数列的，则=_____________

参考答案：100略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的长轴长为4，直线被椭圆C截得的线段长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆C于M，N两点（点M，N不同于椭圆C的右顶点），证明：直线MN过定点.参考答案：（1）根据题意，设直线与题意交于两点.不妨设点在第一象限，又长为，∴，∴，可得，又，∴，故题意的标准方程为，（2）显然直线的斜率存在且不为0，设，由得，∴，同理可得当时，，所以直线的方程为整理得，所以直线当时，直线的方程为，直线也过点所以直线过定点.19.（1）求函数，的最小值．（2）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为（α，β），且0＜α＜β，试用α，β表示不等式cx2+bx+a＜0的解集．参考答案：【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）乘以“1”，换成sin2x+cos2x=1，利用基本不等式的性质求解．（2）利用韦达定理求解．【解答】解：（1）函数=，当4sin4x=cos4x时取最小值9．（2）不等式ax2+bx+c＞0的解集为（α，β），由，知、是方程的两根，又∵0＜α＜β，∴．而由已知不等式的解集知a＜0且，∴c＜0，∴不等式cx2+bx+a＜0的解集为．20.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的频率。（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.参考答案：（I）（II）见解析（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，计算即得(II)由题意知X可取的值为：.利用超几何分布概率计算公式得X的分布列为X01234P

进一步计算X的数学期望.试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则(II)由题意知X可取的值为：.则因此X的分布列为X01234P

X的数学期望是=【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.21.已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．参考答案：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.【详解】（1）

当且仅当时取等号，即：（2），当且仅当时取等号又，，（当且仅当时等号同时成立）又

【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.20.（本小题满分12分）已知顶点为原点O的抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,与在第一和第四象限的交点分别为A、B．(1)若△AOB是边长为的正三角形，求抛物线的方程；(2)若，求椭圆的离心率；参考答案：（1）设椭圆的右焦点为，依题意得抛物线的方程为∵△是边长为的正三角形，∴点A的坐标是，