广东省汕头市砺青中学高三数学文月考试卷含解析

广东省汕头市砺青中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，已知，则角A为（

）A.锐角

B.直角

C.钝角

D.锐角或钝角参考答案：C略2.若集合=

A．

B．（—2，3）

C．[1，3）

D．R参考答案：C3.已知是等差数列，，则过点的直线斜率是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B4.若定义在R上的二次函数在区间0，2上是增函数，且，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．或参考答案：A5.

参考答案：A略6.已知全集U为实数集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩（?UB）为（）A．{x|1≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出集合A，求函数定义域得出集合B，再根据交集与补集的定义写出A∩（?UB）．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则?UB={x|x≥1}，所以A∩（?UB）={x|1≤x＜3}．故选：A．【点评】本题考查了集合的基本运算与不等式和函数定义域的应用问题，是基础题目．7.设函数f（x）=8lnx+15x﹣x2，数列{an}满足an=f（n），n∈N+，数列{an}的前n项和Sn最大时，n=（）A．15 B．16 C．17 D．18参考答案：B【考点】数列的求和．【分析】求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，再计算f（1），f（8），f（16），f（17）的符号，即可得到所求数列{an}的前n项和Sn最大时，n的值．【解答】解：函数f（x）=8lnx+15x﹣x2，x＞0导数为f′（x）=+15﹣2x==，当x＞8时，f′（x）＜0，f（x）递减；当0＜x＜8时，f′（x）＞0，f（x）递增，可得x=8处f（x）取得极大值，且为最大值，f（8）=8ln8+120﹣64＞0，由an=f（n），n∈N+，可得f（1）=15﹣1=14＞0，f（16）=8ln16+15×16﹣162=8ln16﹣16＞0，f（17）=8ln17+15×17﹣172=8ln17﹣34＜0，由单调性可得a1，a2，…，a16都大于0，a17＜0，则数列{an}的前n项和Sn最大时，n=16．故选：B．【点评】本题考查数列前n项和的最值，注意运用导数判断单调性，考查运算能力，属于中档题．8.不等式的解集是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D9.已知函数，则对任意，若，下列不等式成立的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设=，的面积为.则的最大值为（）．

A.

B．2

C．3

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a＞b＞0，那么a2+的最小值为

．参考答案：4【考点】基本不等式．【分析】先利用基本不等式求得b（a﹣b）范围，进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案．【解答】解：因为a＞b＞0，，所以，当且仅当，即时取等号．那么

的最小值是4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．解题的时候注意两次基本不等式等号成立的条件要同时成立．12.设的反函数为，若函数的图像过点，且，则

．参考答案：13.在平面直角坐标系中，由直线与曲线围成的封闭图形的面积是___________.

参考答案：略14.已知函数f（x）=．若存在x1，x2，当1≤x1＜x2＜3时，f（x1）=f（x2），则的取值范围是．参考答案：（，]【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】作函数f（x）的图象，结合图象可得+≤x1＜；化简==1+；从而求取值范围．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，f（）=+1=1+；故令x+=1+得，x=+；故+≤x1＜；又∵==1+；＜≤=﹣1；＜1+≤；故答案为：（，]．【点评】本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．15.袋子中装有分别标注数字为1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是．参考答案：略16.圆x2+y2﹣2y﹣3=0的圆心坐标是

，半径．参考答案：（0，1），2．【考点】J2：圆的一般方程．【分析】通过配方把圆的一般式转化成标准式，进一步求出圆心坐标和半径．【解答】解：已知已知圆x2+y2﹣2y﹣3=0的方程转化为：x2+（y﹣1）2=4．∴：圆心坐标为（0，1），半径r=2．故答案为：（0，1），2．17.已知复数z=，则||=．参考答案：【考点】A8：复数求模．【分析】根据复数的混合运算化简z，再根据复数的模的定义即可求出【解答】解：z====1+i，∴|z|==，故答案为：．【点评】本题考查了复数的混合运算和复数的模，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点．（1）求证：AD⊥平面PNB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣NBM的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由N为AD的中点及PA=PD可得PN⊥AD，在底面菱形中结合已知条件证得AD⊥BN，然后由线面垂直的判断得到AD⊥平面PNB；（2）由平面PAD⊥平面ABCD结合面面垂直的性质得到PN⊥NB，再由已知求得PN=NB=，把三棱锥P﹣NBM的体积转化为倍的三棱锥C﹣PNB的体积求解．【解答】（1）证明：如图，∵PA=PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BN⊥AD∵PN∩BN=N，∴AD⊥平面PNB（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∵PN⊥NB，PA=PD=AD=2，∴PN=NB=，点到P平面ABCD的距离为．∴．∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB．∵PM=2MC，∴=．【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19.已知数列的通项公式为，其中，、.(1)试写出一组、的值，使得数列中的各项均为正数.(2)若，，数列满足，且对任意的()，均有，写出所有满足条件的的值.(3)若，数列满足，其前项和为，且使(、，)的和有且仅有组，、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求、的最小值.参考答案：【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识。（2）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略（最优化的解题方法），解决有关数学问题.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】（1）、（答案不唯一）．……………………4分（2）由题设，．………………6分当，时，均单调递增，不合题意，因此，．当时，对于，当时，单调递减；当时，单调递增．由题设，有，．……………………8分于是由及，可解得．因此，的值为7，8，9，10，11．……………………10分（3）因为，且，所以………………12分因为（、，），所以、．…………14分于是由，可得，进一步得，此时，的四个值为，，，，因此，的最小值为．………16分又、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设，于是有，因为当时，，所以，因此，，即的最小值为．…………18分20.（本小题满分14分）已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，设点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.参考答案：（1）由题可知：

……1分

……2分

∴双曲线C的方程为：

……3分（2）设直线的方程为：，另设：

……4分

……5分又直线AP的方程为，代入

……6分同理，直线AQ的方程为，代入

……7分

……9分（3）当直线的方程为时，解得.易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：.

……10分下证：对直线存在斜率的情形也成立.

……11分

……12分

……13分∴结合正切函数在上的图像可知，

……14分21.选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF?EC．（1）求证：CE?EB=EF?EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题．【分析】（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA．于是得到EA?ED=EF?EP．利用相交弦定理可得EA?ED=CE?EB，进而证明结论；（II）利用（I）的结论可得BP=，再利用切割线定理可得PA2=PB?PC，即可得出PA．【解答】（I）证明：∵DE2=EF?EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA∴△EDF∽△EPA．∴，∴EA?ED=EF?EP．又∵EA?ED=CE?EB，∴CE?EB=EF?EP；（II）∵DE2=EF?EC，DE=3，EF=2．∴32=2EC，∴．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由（I）可知：CE?EB=EF?EP，∴，解得EP=，∴BP=EP﹣EB=．∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB?PC，∴，解得．【点评】熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定理、切割线定理是解题的关键．22.（12分）（2015?陕西一模）有一种密码，明文是由三个字母组成，密码是由明文的这是哪个字谜对应的五个数字组成，编码规则如下表，明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同次序排列组成；（如：明文取的是三个字母为AFP，则与他对应的五个数字（密码）就为11223．）第一排字