浙江省温州市上戍乡中学2021-2022学年高二数学文月考试卷含解析

浙江省温州市上戍乡中学2021-2022学年高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】抛物线的应用．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2=1的圆心为C（0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故选C．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．2.函数f（x）=x3﹣3x的单调递减区间为（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1） D．（﹣∞，+∞）参考答案：C【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＜0，即（x+1）（x﹣1）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在（﹣1，1）递减，故选：C．3.设函数在处存在导数，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用在某点处的导数的定义来求解.【详解】，故选A.【点睛】本题主要考查在某点处导数的定义，一般是通过构造定义形式来解决，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.4.在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为(

)A．8 B．±8 C．16 D．±16参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】设这个等比数列为{an}，根据等比中项的性质可知a2?a4=a1?a5=a23进而求得a3，进而根据a2a3a4=a33，得到答案．【解答】解：设这个等比数列为{an}，依题意可知a1=，a5=8，则插入的3个数依次为a2，a3，a4，∴a2?a4=a1?a5=a23=4∴a3=2∴a2a3a4=a33=8故选A．【点评】本题主要考查了等比数列的性质．主要是利用等比中项的性质来解决．5.设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），P（ξ＞1）=p，则P（﹣1＜ξ＜0）等于（）A．p B．1﹣p C．1﹣2p D．﹣p参考答案：D【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），得到正态曲线关于ξ=0对称，利用P（ξ＞1）=p，即可求出P（﹣1＜ξ＜0）．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，1），∴正态曲线关于ξ=0对称，∵P（ξ＞1）=p，∴P（ξ＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p．故选：D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是利用正态曲线的对称性，是一个基础题．6.,若,则的值等于（

）A

B

C

D

参考答案：D略7.已知,且,则等于

(

)A.0.1

B.0.2

C.0.3

D.0.4参考答案：A8.下列全称命题为真命题的是A．所有被3整除的数都是奇数 B．C．无理数的平方都是有理数

D．所有的平行向量都相等参考答案：B9.设F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为（）A． B．2 C． D．1参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程，算出焦点F1（﹣，0）、F2（，0）．利用勾股定理算出|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20，由双曲线的定义得||PF1|﹣|PF2||=2a=4，联解得出|PF1|?|PF2|=2，即可得到△F1PF2的面积．【解答】解：∵双曲线中，a=2，b=1∴c==，可得F1（﹣，0）、F2（，0）∵点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20根据双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||=2a=4∴两式联解，得|PF1|?|PF2|=2因此△F1PF2的面积S=|PF1|?|PF2|=1故选：D10.在中，若，则B等于（）A． B． C．或 D．或参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则__________.参考答案：-112.下列集合A到集合B的对应f中：①A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方；②A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方；③A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数；

④A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值，是从集合A到集合B的函数的为________．参考答案：①其中②，由于1的开方数不唯一，因此f不是A到B的函数；其中③，A中的元素0在B中没有对应元素；其中④，A中的元素0在B中没有对应元素．13.如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．14.设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴an=．∴=2．∴数列{}的前n项的和Sn===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知A(x,5-x,2x-1)、B（1，x+2，2-x），当|AB|取最小值时x的值为_______________．参考答案：16.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为__________米．参考答案：2000本题主要考查利用二次函数求极值．先将20棵树编号分别为，，，，，树苗放在编号为的树旁，列出每位同学往返总路程的表达式的化简式为，又，故由二次函数的性质得或时，最小，最小值为2000．故本题正确答案为2000．

17.已知x+2y=4，且x≥0,,则满足的x的取值范围为。参考答案：

解析：由已知得

∴所求x的取值范围为三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,在四棱锥P-ABCD中,是等边三角形,,,.(Ⅰ)求证:(Ⅱ)若平面平面ABCD,,求二面角的余弦值参考答案：证明：（Ⅰ）取的中点，连接为等边三角形且又四边形为矩形,平面又平面，(Ⅱ)由（Ⅰ）知平面平面，平面平面，平面平面,以为坐标原点，以所在方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系设则,,又，得,,,,设平面法向量由,得，取，得又知是平面的一个法向量，设，二面角的余弦值为19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在a，b，使得在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由.参考答案：(1)见详解；(2)或.【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.【详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.即相减得，即，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.即相减得，解得，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为即解得.综上得或.【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少。考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算。思考量不大，由计算量补充。20.（本小题满分12分）设函数是自然对数的底数）（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若关于的方程在区间上恰有两相异实根，求的取值范围；（Ⅲ）当时，证明：．参考答案：（1）当时

当时

的递增区间为递减区间为

……4分（2）由方程

得令

则当时，

递减当时，

递增又

……8分（3）要证原不等式成立，只需证明成立由（1）可知当时，

又时，

故

即

……12分21.（本小题12分）已知函数

（1）求函数的单调区间：

（2）若，求的取值范围。参考答案：（1）(Ⅰ)的定义域为.…1分=（），设，只需讨论在上的符号.…2分（1）若，即，由过定点，知在上恒正，故，在（0，+）上为增函数.…3分（2）若，当时，即时，知（当时，取“=”），故，在（0，+）上为增函数；……4分当时，由得，当或时，，即，当时，，即．则在上为减函数，在，上为增函数.………………5分综上可得：当时，函数的单调增区间（0，+）;当时，函数的单调增区间为，；函数的单调减区间为.…6分（Ⅱ）由条件可得，则当时，恒成立，………………8分令，则…9分方法一：令，则当时，，所以在（0，+）上为减函数.又，所以在（0，1）上，；在（1，+）上，．………10分所以在（0,1）上为增函数；在（1，+）上为减函数.所以，所以……………12分方法二：当时，；当时，．……………10分所以在（0,1）上为增函数；在（1，+）上为减函数.所以，所以………………12分22.如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC=60°，AD=2，AB=PA=1，且．PA⊥平面ABCD．（1）求证：PB⊥AC；（2）求顶点A到平面PCD的距离．参考答案：【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）推导出PA⊥AC，AB⊥AC，由此能证明AC⊥平面PAB，从而PB⊥AC．（Ⅱ）推导出AC⊥CD，PA⊥CD，从而CD⊥平面PAC，进而平面PCD⊥平面PAC，过A作AH⊥PC，垂足为H，则AH⊥平面PCD，由此能求出A到平面PCD的距离．【解答】（本题满