广东省河源市隆师中学2021年高二数学文月考试卷含解析

广东省河源市隆师中学2021年高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.当时，不等式恒成立，则实数取值范围是（

）A．[2,+∞）

B．（1,2]

C．（1,2）

D.（0,1）参考答案：B略2.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(

)

A.n=0

B.n=1

C.n=2

D.n=4参考答案：C3.判断下列命题

①方程有一正一负根的充分不必条件是；②命题：x∈R，sinx≤1的否定；

③函数的最小值为2；④若m>0，则方程x2+x－m=0有实数根的逆否命题。其中正确的个数是（

）A．1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：B略4.若方程表示双曲线，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.某班m名学生在一次考试中数学成绩的频率分布直方图如图，若在这m名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，则m等于（）A．45 B．48 C．50 D．55参考答案：D【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出数学成绩不低于100分的频率，再根据数学成绩不低于100分的人数为33求得m．【解答】解：由频率分布直方图知，数学成绩不低于100分的频率为（0.030+0.020+0.010）×10=0.6，∵在这m名学生中，数学成绩不低于100分的人数为33，∴m=33÷0.6=55．故选：D．6..如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是(

)A. B. C. D.参考答案：C【详解】利用变量更新法有循环结束，输出=.故答案为：C7.设集合，全集，则集合中的元素共有

（

）A．3个

B．4个

C．5个

D．6个参考答案：A8.函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是0.3【解答】解：∵f（x）≤0?x2﹣x﹣2≤0?﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0?﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故选C9.设x、y均为正实数，且，则xy的最小值为（

）A．4 B．

C．9 D．16参考答案：D略10.若，则“”是方程“”表示双曲线的（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线被圆所截得的弦长为______________.参考答案：∵圆的圆心为，半径为∴圆心到直线的距离∵半径为1∴弦长为故答案为点睛：弦长的两种求法①代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.②几何方法：若弦心距为，圆的半径长为，则弦长.12.已知x,y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且____.x01342．24．34．86．7参考答案：2.6略13.若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是

．参考答案：3【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．【解答】解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|=6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|=2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=x﹣2y+4，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2x+y﹣2|=﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|=﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．14.已知复数z＝3﹣i（i是虚数单位），则的值为

．参考答案：

15.过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线方程是

．参考答案：x﹣2y=0【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】过点A（2，1）且与点B（1，3）距离最大的直线l满足：l⊥AB．则kl?kAB=﹣1，即可得出．【解答】解：过点A（2，1）且与点B（1，3）距离最大的直线l满足：l⊥AB．∴kl?kAB=﹣1，∴kl=．∴直线l的方程为：y﹣1=（x﹣2），化为x﹣2y=0．故答案为：x﹣2y=0．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.椭圆上的点到直线的最大距离是

.参考答案：17.已知，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】求出p的等价条件，利用必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：p的等价条件是m﹣1＜x＜m+1，若p是q的必要不充分条件，则，即，即≤m≤，故答案为：．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件建立不等式关系是解决本题的关键．比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ），…………1分当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；……………2分当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．………4分∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．………………6分（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，------8分∴，………………10分令，可得在上递减，在上递增，………12分∴，即．………………14分略19.(本小题满分12分)某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影。（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种?（2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种?（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种?参考答案：解析：（1）把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有种,且甲、乙的位置还可以互换

∴不同站法有·＝48种…………4分

（2）除甲乙两人外其余3人的排列数为，而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻;且甲、乙位置可以互换。故有种排列方式。∴不同站法有·=72种。…8分

（3）优先考虑甲：

若甲站最右端，则乙与其余三人可任意排，则此时的排法数为种;

若甲不站最右端，则先从中间3个位置中选一个给甲，再从除最右端的省余的3个位置给乙，其余的三个人任意排，则此时的排法数为种;

∴不同站法有+=78种。…12分

（注：也可优先考虑乙,还可优先考虑最左端与最右端的位置等,请酌情评分.）20.下图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000.请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在）（1）求样本中月收入在的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数.

参考答案：（1）月收入在的人数为2000；（2）月收入在的这段应抽20人；（3）样本数据的中位数为1750元.

略21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.参考答案：解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，PB＝,cos∠PBO=,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，在Rt△POC中，PC＝，所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=.又S△=设点A到平面PCD的距离h，由VP-ACD=VA-PCD，得S△ACD·OP＝S△PCD·h，即×1×1＝××h，解得h＝.解法二：（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），∞〈、〉=，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），则n·＝0，所以-x0+x0=0,n·＝0，-x0+y0=0，

即x0=y0=x0,取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).又=(1,1,0).从而点A到平面PCD的距离d＝22.已知函数f（x）=blnx．（1）当b=1时，求函数G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间上的最大值与最小值；（2）若在[1，e]上存在x0，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求b的取值范围．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数G（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数在闭区间的最大值和最小值即可；（2）设．若在[1，e]上存在x0，使得，即成立，则只需要函数在[1，e]上的最小值小于零，通过讨论b的范围，求出h（x）的单调区间，从而进一步确定b的范围即可．【解答】解：（1）当b=1时，G（x）=x2﹣x﹣f（x）=x2﹣x﹣lnx（x＞0），，令G'（x）=0，得x=1，当x变化时，G（x），G'（x）的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）g'（x）﹣0+G（x）

极小值

因为，G（1）=0，G（e）=e2﹣e﹣1=e（e﹣1）﹣1＞1，所以G（x）=x2﹣x﹣f（x）在区间上的最大值与最小值分别为：，G（x）min=G（1）=0．（2）设．若在[1，e]上存在x0，使得，即成立，则只需要函数在[1，e]上的最小值小于零．又=，令h'（x）=0，得x=﹣1（舍去）或x=1+b．①当1+b≥e，即b≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，故h（x）在[1，e]上的最小值为