数字滤波器基本结构

第五章数字滤波器结构

DF〔DigitalFilter)5.1数字滤波器结构的表示方法5.1.1数字滤波器的工作原理FIR、IIR滤波器实现的根本结构。根本内容：那么LTI系统的输出为：h(n)x(n)y(n)5.1.2数字滤波器(DF)表示方法DF的表示方法：方框图；流图。DF的三种运算：延时，常数乘，相加。DF的三个根本运算单元的表示方法：Z-1Z-1单位延时aa常数乘相加方框图表示法信号流图表示法把上述三个根本单元互联，可构成不同数字网络或运算结构，也有方框图表示法和流图表示法。例：二阶数字滤波器：方框图表示Z-1Z-1x(n)y(n)b0a1a2x(n)y(n)b0a1a2Z-1Z-1信号流图表示信号流图或方框图显示了系统的运算步骤和运算结构。以后我们都用信号流图来分析数字滤波器结构。5.1.3数字滤波器的分类滤波器的种类很多，分类方法也不同。根据冲激响应的特性分:FIR、IIR5.1.4研究DF实现结构意义滤波器的根本特性〔如有限长冲激响应FIR与无限长冲激响应IIR〕决定了结构上有不同的特点。不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响复杂性，后者影响运算速度。有限精度〔有限字长〕实现情况下，不同运算结构的误差及稳定性不同。好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模块化实现，便于时分复用。5.2IIRDF的根本结构5.2.1IIRDF特点1.单位冲激响应h(n)是无限长的，n→∞2.系统函数H(z)在有限范围的Z平面〔0<|Z|<∞)有极点存在。3.结构上存在输出到输入的反响，也即结构上是递归型的。4.因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位圆内。5.2.2IIRDF根本结构IIRDF结构类型有：直接型结构：直接型、级联型、并联型。直接I型、直接II型〔典范型〕。1.IIRDF系统函数及差分方程一个N阶IIRDF的有理系统函数表示为：以下我们讨论M<=N情况，对应的系统差分方程为：与P.86页(2-145)方程比较与P.93页(2-160)方程比较2.直接I型x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bM+1bMZ-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1方程看出：y(n)由两部分组成：

第一部分是一个对输入x(n)的M节延时链结构。每个延时抽头后加权相加，是一个横向网络。第二部分是一个N节延时链结构网络。不过它是对y(n)延时，因而是个反馈网络。〔1)直接I型流图IIR

DF的差分方程就是一种最直接的计算，用流图表现出来的实现结构即为直接I型结构，即由差分方程直接实现。(2)直接I型结构的特点第二个有反响的N节延时网络实现极点。ii>共需(N+M)级延时单元i>两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，3.直接II型〔典范型〕〔1)直接II型原理直接型结构的两局部看成两个独立的网络〔即两个子系统〕。一个线性时不变系统，假设交换其级联子系统的次序，系统函数不变。把此原理应用于直接I型结构。即：〔1〕交换两个级联网络的次序〔2〕合并两个具有相同输入的延时支路。得到另一种结构即直接II型。原理：(2)直接II型的结构流图过程1--对调x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bM+1bMZ-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1第一部分第二部分对调x(n)y(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bM+1bMZ-1Z-1对调(3)直接II型的结构流图过程2--合并x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bM+1bMZ-1Z-1合并y(n)x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2bM+1bMy(n)对调后，在M=N条件下，前后两局部都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条。这就是直接II型的结构流图。(4)直接II型结构的特点ii>实现N阶滤波器〔一般N>=M)只需N级延时单元，所需延时单元最少。故称典范型。i>两个网络级联。第一个有反响的N节延时网络实现极点；第二个横向结构M节延时网络实现零点。4.级联型(1)系统函数因式分解将滤波器系统函数H(z)的分子和分母分解为一阶和二阶实系数因子之积的形式：(2)滤波器的根本二阶节滤波器可以用假设干个二阶网络级联起来构成。每一个二阶网络也称滤波器的根本二阶节，根本二阶节的系统函数的形式为：一般用直接II型〔典范型〕表示x(n)β1ia2iZ-1Z-1a1iβ2iy(n)整个滤波器那么是多个二阶节级联。x(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2My(n)…...(3)用二阶节级联表示的滤波器系统5.并联型(1)系统函数的局部分式展开将滤波器系统函数H(z)展开成局部分式之和，并将一阶系统仍采用二阶根本节表示画出各二阶根本节的直接型结构，再将它们并联。(2)并联型根本二阶节结构并联型的根本二阶节的形式：注意：分子比分母小一阶x(n)γ0β2z-1z-1β1γ1y(n)根本二阶节的直接II型结构(3)IIRDF的并联结构整个滤波器是多个二阶节并联。(1)二阶节是实系数，而一阶节一般为复系数。(2)统一用二阶节表示，保持结构上的一致性，有利于时分多路复用。(3)级联结构与并联结构的根本二阶节是不同的。注意：级联型和并联型结构中，二阶节是最根本的结构。缺点： 1.改变某一个{ak}将影响所有的极点 2.改变某一个{bk}将影响所有的零点 3.对有限字长效应太敏感，容易出现不稳定现象

对于三阶以上的IIR滤波器，几乎都不采用直接型结构，而是采用级联型、并联型等其它形式的结构。5.2.3IIRDF各种实现结构的优缺点优点：简单直观<1>IIR数字滤波器的直接型结构优缺点优点：1.每一个根本节系数变化只影响该子系统的零极点，有利于控制系统的频率响应。2.对系数变化的敏感度小，受有限字长的影响比直接型低。3.硬件实现时，可以用一个二阶节进行时分复用。<2>IIR数字滤波器的级联型结构优点缺点：延时较长。2.前面二阶节产生的误差会被后面的二阶节放大。<3>并联型特点优点：1.运算速度快。2.各根本节的误差互不影响。3.可以单独调整极点的位置。缺点:1.不能像级联型那样直接调整零点。2.硬件上实现时将消耗更多的资源。三种IIRDF实现结构的性能比较(1)对系数变化的敏感度(有限字长效应)直接型最敏感级联型和并联型敏感度低。(2)运算速度(延时)并联型运算速度最快，延时最小。(3)误差并联型误差最小。(4)零/极点位置直接型和级联型都可以方便调节零/极点；但并联型仅能调节极点，不能单独调节零点位置。[例]某三阶数字滤波器的系统函数为试画出其直接型、级联型和并联型结构。直接型将系统函数H(z)表达为注意反响局部系数符号比较P.85式(2-145)方程和P.198式(5-3)级联型将系统函数H(z)表达为一阶、二阶实系数分式之积并联型将系统函数H(z)表达为局部分式之和的形式例子IIRDF系统函数如下，画出直接I型、直接II型的结构流图。解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)化为Z-1的有理式；x(n)8-411Z-1Z-1y(n)5/4-3/4Z-1Z-1Z-11/8Z-1-25/4Z-1Z-1Z-1-3/41/8-411-28y(n)x(n)注意反响局部系数符号例子设IIR数字滤波器系统函数为：1Z-1111Z-1Z-111y(n)x(n)解：将其表示为级联形式。例子其并联结构为：x(n)Z-1Z-114y(n)161-6-1Z-15.3FIRDF的根本结构5.3.1FIRDF的特点(1)系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值处不为零。即h(n)是个有限长序列。(2)系统函数|H(z)|在|z|>0处收敛，极点全部在z=0处(即FIR一定为稳定系统)(3)结构上主要是非递归结构，没有输出到输入反响。但有些结构中〔例如频率抽样结构〕也包含有反馈的递归局部。5.3.2FIR的系统函数及差分方程长度为N的单位冲激响应h(n)的系统函数为：5.3.3FIRDF实现根本结构〔1〕FIR的横截型结构〔直接型〕〔2〕FIR的级联型结构〔3〕FIR的快速卷积型结构〔4〕FIR的线性相位型结构〔5〕FIR的频率抽样型结构*1.FIRDF直接型结构〔卷积型、横截型〕h(0)h(1)h(2)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)倒下h(0)h(1)h(N-2)h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)(1)流图N个乘法器，N-1个延迟器，N-1个加法器〔2〕框图Z-1Z-1Z-1Z-1…….x(n)h(0)h(1)h(2)h(N-1)y(n)2.FIRDF级联型结构即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。x(n)β11Z-1Z-1β21β12Z-1Z-1β22β1N/2Z-1Z-1β2N/2y(n)…...β01β02β0N/21当需要控制滤波器的传输零点时，可将H(z)系统函数分解成二阶实系数因子的乘积：x(n)h(n)y(n)=x(n)*h(n)时域频域X(k)H(k)Y(k)=X(k)H(k)圆周卷积Nx(n):长度为Nh(n):长度为M进行L=N+M-1点圆周卷积，可代替x(n)*h(n)线性卷积。时域圆周卷积频域乘积。3.FIRDF快速卷积结构X(k)H(k)Lx(n)*h(n)时域线性卷积L点DFTh(n)L点DFTL点IDFTx(n)y(n)根据以上思路，可得FIRDF的快速卷积结构如下：X(k)H(k)Y(k)长度为N长度为ML=N+M-14.FIRDF线性相位FIR型结构〔1〕定义线性相位：滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系。〔2〕线性相位FIRDF具有特性h(n)满足对称性，即h(n)=±h(N-1-n)h(n)为偶对称时，h(n)=h(N-1-n);h(n)为奇对称时，h(n)=-h(N-1-n);其中利用h(n)的对称性可以简化FIRDF的结构。〔3〕N=奇数时,线性相位FIR的结构流图其中h(0)=h(N-1),h(1)=h(N-2)……h(n)为偶对称，±1取+1，奇对称取-1(4)N=偶数时,线性相位FIR的结构流图其中h(0)=h(N-1),h(1)=h(N-2)……h(n)为偶对称，±1取+1，奇对称取-1