上海市闵行区梅陇中学高三数学理测试题含解析

上海市闵行区梅陇中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知等比数列{an}的公比，且，，则数列{an}的前n项和Sn=（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据等比数列的下标公式，得到，结合，解得和的值，然后得到公比和首项，从而得到其前项和.【详解】等比数列中，有，而，可得或者根据公比可知｛｝是递增数列，所以，可得，，所以前n项和，故选：C.【点睛】本题考查等比数列下标公式，等比数列通项基本量计算，等比数列求和公式，属于简单题.2.定义在上的函数满足.当时，，当时，。则(

)

A335

B338

C1678

D2012参考答案：B3.直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线与圆相交的性质．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．4.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】由几何体的三视图求该几何体的表面积.

G2【答案解析】B

解析：由三视图可知该几何体是一个长方体与一个半圆柱够成的组合体.所以其表面积为：故选.【思路点拨】由三视图得该几何体的结构，以及组成该几何体的各部分的棱长，底面边长等，从而求得该几何体的表面积.5.在等差数列中，，则的前5项和=

A.7

B.15

C.20

D.25

参考答案：B因为，，所以，所以数列的前5项和,选B.6.已知全集=__________. A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{1，2，3，4}参考答案：B略7.下列结论正确的是

A.若向量a∥b，则存在唯一的实数使

B.已知向量a，b为非零向量，则“a，b的夹角为钝角”的充要条件是“ab<0’’

c．“若，则”的否命题为“若，则”

D．若命题，则参考答案：C8.在数列中，，则的值为（

）A.49

B.50

C.51

D.52参考答案：D略9.已知函数满足，当，，若在区间内有两个不同零点，则实数的取值范围是

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D10.已知双曲线M：（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay=0，焦点坐标为（±c，0）．利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b，c关系，利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线双曲线M：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay=0，焦点坐标为（±c，0），其中c=∴一个焦点到一条渐近线的距离为d==，即7b2=2a2，由此可得双曲线的离心率为e==．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=3，则输出的数S=．参考答案：﹣4略12.已知函数f(x)＝

其中m>0.若存在实数a，使得关于x的方程f(x)＝a有三个不同的根，则m的取值范围是________.参考答案：

13.以下四个命题：①设，则是的充要条件；②已知命题p、q、r满足“p或q”真，“或r”也真，则“q或r”假；③若，则使得恒成立的x的取值范围为{或}；④将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D-ABC的体积为.其中真命题的序号为________.参考答案：①③④【分析】①中，根据对数函数的运算性质，即可判定；②中，根据复合命题的真假判定方法，即可判定；③中，令，转化为在恒成立，即可求解；④中，根据几何体的结构特征和椎体的体积公式，即可求解.【详解】由题意，①中，当，根据对数函数的运算性质，可得，反证，当时，可得，所以“”是“”成立的充要条件，所以是正确的；②中，若命题““或”真”，可得命题中至少有一个是真命题，当为真命题，则假命题，此时若“或”真，则命题为真命题，所以“或”真命题，所以不正确；③中，令，则不等式恒成立转化为在恒成立，则满足，即，解得或，所以是正确的；④中，如图所示，O为AC的中点，连接DO，BO，则都是等腰直角三角形，，其中也是等腰直角三角形，平面，为三棱锥的高，且，所以三棱锥体积为，所以是正确的，综上可知真命题的序号为①③④【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到充要条件的判定、复合命题的应用，不等式的恒成立问题的求解，以及折叠问题求几何体的体积等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14.已知圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴为正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线和圆的交点的直角坐标为

.参考答案：15.下面四个命题：①命题“?x＞0，x2﹣3x+2＜0”的否定是“?x＞0，x2﹣3x+2≥0”；②要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移个单位；③若定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则f（x）是周期函数；④已知奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1}．其中正确的是

．（填写序号）参考答案：①③16.，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是________.参考答案：5略17.已知函数，若，则a=

．参考答案：－7三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2015秋?哈尔滨校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R），且b2=3ac．（Ⅰ）当时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为钝角，求p的取值范围．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理可得b2=3ac=1，a+c=b=，由此解得a和c的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理求得p2=+cosB，再结合﹣1＜cosB＜0，求得p2的范围，从而求得p的范围．【解答】解：△ABC中，∵sinA+sinC=psinB（p∈R），且b2=3ac，故a+c=pb．（Ⅰ）当时，则由sinA+sinC=sinB（p∈R），且b2=3ac=1，故有a+c=b=，解得a=，c=1；或者a=1，c=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2?b2=+?cosB，即p2=+cosB，因为角B为钝角，故﹣1＜cosB＜0，所以p2∈（1，）．由题设知p∈R，又由sinA+sinC=psinB知，p是正数，求p的取值范围为（1，）．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，钝角的余弦值的范围，属于中档题．19.已知函数求的单调区间；若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。

参考答案：解析：（I）当时，对，有

的单调增区间为当时，由解得或；由解得，的单调增区间为；的单调减区间为。（Ⅱ）因为在处取得极大值，所以所以

由解得。由（I）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，结合的单调性可知，的取值范围是。略20.请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点．设．

(1)某广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

(2)某厂商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．参考答案：解：(1)根据题意有

所以x=15cm时包装盒侧面积S最大.

…………6分(2)根据题意有，所以，；当时，，当时，

所以，当x=20时，V取极大值也是最大值.此时，包装盒的高与底面边长的比值为答:当x=20(cm)时包装盒容积V（cm）最大,此时包装盒的高与底面边长的比值为.

14分21.已知函数.（I）若函数存在极大值和极小值，求的取值范围；（II）设分别为的极大值和极小值，若存在实数使，求的取值范围．（为自然对数的底）参考答案：解：（1），其中，由于函数存在极大值和极小值，故方程有两个不等的正实数根，即有两个不等的正实数根，记为，显然.所以，解得.

………………5分（2）由实数知，且，由（1）知存在极大值和极小值，设的两根为，则在上递增，在上递减，在上递增，所以.因为，所以，且，由于函数在上单调递减，所以.

………………7分而，所以.所以.令，则，令.所以，所以在上单调递减，所以，由，知，所以.

………………13分

略22.（09南通期末调研）（14分）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）设E是B1C1上的一点，当的值为多少时，A1E∥平面ADC1？请给出证明．参考答案：解析:（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥CC1．………………2分又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，

∴AD⊥面BCC1B1．

……5分（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的