福建省宁德市东桥经济开发区中学高三数学文期末试卷含解析

福建省宁德市东桥经济开发区中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将一枚硬币连续抛掷次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则的最小值为（

）A．4

B．5

C.

6

D．7参考答案：A由题意得,选A.2.已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点,则实数的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D3.已知直线m，n不重合，平面，不重合，下列命题正确的是

(A)若m，n，m//，n//，则

(B)若m，m，，则m//n

(C)若，m，n，则

(D)若m，n，则参考答案：D略4.设集合M={(1,2)}，则下列关系成立的是A

1∈M

B

2∈M

C

(1,2)∈M

D

(2,1)∈M参考答案：C5.

（

）参考答案：C6.已知，则下列说法中错误的是（）A.函数的最小正周期为πB.函数在上单调递减C.函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到D.是函数图象的一个对称中心参考答案：C【分析】可化为，利用复合函数的讨论方法可求该函数的周期、对称中心、单调区间等，利用图像变换可考虑它与函数的图像变换关系.【详解】，所以，故A正确；当时，，因在为增函数，在上为减函数，故在上为减函数，故B正确；函数的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍得到，而函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍得到得是的图象，故C错误；令，当时，，故为图像的一个对称中心，故D正确；综上，选C.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．7.甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么

（

）

A．甲是乙的充分但不必要条件

B．甲是乙的必要但不充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件参考答案：B8.已知函数的零点为,则所在区间为（）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有

(A)0条

(B)1条

(C)多于1的有限条

(D)无穷多条参考答案：D解：在a、b、c上取三条线段AB、CC￠、A￠D￠，作一个平行六面体ABCD—A￠B￠C￠D￠，在c上取线段A￠D￠上一点P，过a、P作一个平面，与DD￠交于Q、与CC￠交于R，则QR∥a，于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交．由于可以取无穷多个点P．故选D．10.下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为

（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.参考答案：x=0或x=略12.已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1?a2…ak为正整数的k（k∈N*）叫做“易整数”．则在[1，2015]内所有“易整数”的和为

．参考答案：2036【考点】数列的函数特性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，及对数的换底公式知，a1?a2?a3…ak=log2（k+1），结合等比数列的前n项和进行求解即可．【解答】解：∵an=logn（n+1），∴由a1?a2…ak为整数得1?log23?log34…logk（k+1）=log2（k+1）为整数，设log2（k+1）=m，则k+1=2m，∴k=2m﹣1；∵211=2048＞2015，∴区间[1，2015]内所有“易整数”为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，24﹣1，…，210﹣1，其和M=21﹣1+22﹣1+23﹣1+24﹣1+…+210﹣1=﹣10=211﹣2﹣10=2036．故答案为：2036．【点评】本题以新定义“易整数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用．13.已知：数列满足，，则的最小值为______参考答案：7

略14.已知在平面直角坐标系中，为原点，且（其中均为实数），若N（1，0），则的最小值是

.参考答案：略15.若非零向量满足，且，则向量与的夹角为

．参考答案：16.如图所示：以直角三角形ABC的直角边AC为直径作，交斜边AB于点D，过点D作的切线，交BC边于点E．则=________________.参考答案：17.若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=

．参考答案：1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴ln（+x）（﹣x）=0，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＜0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）在△ABC中，内角A，B，C满足2sin2=g（C+）+1，且其外接圆的半径为1，求△ABC的面积的最大值．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由图知周期T，利用周期公式求出ω，由f（）=1，结合|φ|＜求出φ，利用三角函数图象平移求出g（x）的解析式；（2）利用三角函数恒等变换与三角形内角和定理，化简求C的值，由正弦、余弦定理，基本不等式求出ab≤1，从而求出三角形面积的最大值．【解答】解：（1）由图知，=4×（+），解得ω=2；∵f（）=sin（2×+φ）=1，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，解得φ=2kπ+，k∈Z，由于|φ|＜，因此φ=；∴f（x）=sin（2x+），∴f（x﹣）=sin=sin（2x﹣），即函数y=g（x）的解析式为g（x）=sin（2x﹣）；（2）∵2sin2=g（C+）+1，∴1﹣cos（A+B）=1+sin（2C+），∵cos（A+B）=﹣cosC，sin（2C+）=cos2C，cosC=cos2C，即cosC=2cos2C﹣1，所以cosC=﹣或1（不合题意舍去），可得：C=；由正弦定理得=2R=2，解得c=，由余弦定理得cosC==﹣，∴a2+b2=3﹣ab≥2ab，ab≤1，（当且仅当a=b等号成立），∴S△ABC=absinC=ab≤，∴△ABC面积最大值为．【点评】本题考查了三角函数周期公式、图象平移与三角函数恒等变换、内角和定理以及正弦、余弦定理，基本不等式的应用问题，是综合题．19.(本小题满分14分)如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．参考答案：答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……14分解法二(构造直角三角形)：设∠PMD＝θ，在△PMD中，此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°

…………14分解法三：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN，即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．

…………2分

答：设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………14分

解法四(坐标法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．即．

答：设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………14分解法五(变换法)：以AB所在的直线为x轴，A为坐标原点，建立直角坐标系．设M(x1，0)，N(x2，x2)，P(x0，y0)．答：设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………14分解法六(几何法)：由运动的相对性，可使△PMN不动，点A在运动．由于∠MAN＝60°，∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上，…………4分设圆弧所在的圆的圆心为F，半径为R，由图形的几何性质知：AP的最大值为PF＋R．

…………8分

答：设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．…………14分20.（12分）如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中两点坐标分别为（4，0）、（0，－2），连结．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．

参考答案：解．（1）．

……………3分（2）是直角三角形．

……………4分证明：令，则．．．．5分．是直角三角形．

…………6分（3）能．当矩形两个顶点在上时，如图1，交于．，．．设，则，，．=．………7分当时，最大．．，．，．…9分当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，，．．设，，．=．…10分当时，最大．，．

………………12分综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）；当矩形一个顶点在上时，坐标为略21.（本题12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.参考答案：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率