黑龙江省哈尔滨市振华中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析

黑龙江省哈尔滨市振华中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在上的函数满足，，且时，，则（▲）

A.

B. C.

D.参考答案：C略2.设随机变量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜﹣1）=0.2，则函数没有极值点的概率是（）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8参考答案：C【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；函数在某点取得极值的条件．【分析】函数没有极值点，则f′（x）=x2+2x+η2=0无解，可得η的取值范围，再根据随机变量η服从正态分布N（1，σ2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论．【解答】解：∵函数没有极值点，∴f′（x）=x2+2x+η2=0无解，∴△=4﹣4η2＜0，∴η＜﹣1或η＞1，∵随机变量η服从正态分布N（1，σ2），P（η＜﹣1）=0.2，∴P（η＜﹣1或η＞1）=0.2+0.5=0.7，故选C．【点评】本题考查函数的极值点，考查正态分布曲线的对称性，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．3.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A4.已知是定义在]上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且满足下列条件：

①的值域为，且；②对任意不同的，都有；

那么关于的方程在上的根的情况是A．没有实数根

B．有且只有一个实数根

C．恰有两个不同的实数根

D．有无数个不同的实数根参考答案：B略5.如右图，给定两个平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上，且（其中），则满足的概率为（）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.设不等式组

表示的平面区域为．在区域内

随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是()A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.函数的值域是

（

）

A．[－2，2]

B．[]

C．[]

D．[参考答案：C8.命题“”的否定为

（

）

A.

B.C.

D.参考答案：B略9.已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离为9，则椭圆E的离心率等于(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：答案:B10.某校为了解本校高三学生学习心里状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将题目随机编号，分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间的人做试卷，编号落入区间的人做试卷,其余的人做试卷，则做试卷的人数为A.10 B.12C.18 D.28参考答案：B【知识点】抽样方法.

I1

解析：设抽到的学生的编号构成数列，则，由得，，19到40有12个整数，故选B.【思路点拨】根据系统抽样的定义求解.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数y=ln(1-x)的定义域为________参考答案：[0,1)12.已知数列{an}是递增的等比数列，a2+a4=10，a1．a5=16，则数列{an}的前6项和等于．参考答案：63【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意，对于数列{an}，设其首项为a1，公比为q，结合题意可得，解可得等比数列的首项与公比，由等比数列前n项和公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于数列{an}，设其首项为a1，公比为q，又由a2+a4=10，a1．a5=16，又{an}是递增数列，则有，解可得a1=1，q=2，则其前6项和S6==63；故答案为：63．13.已知向量，，满足，且与的夹角的正切为，与的夹角的正切为，，则的值为

．参考答案：；14.书架上有本不同的数学书，本不同的语文书，本不同的英语书，将它们任意地排成一排，则左边本都是数学书的概率为________（结果用分数表示）．参考答案：15.数列满足且对任意的，都有，则的前项和_____.参考答案：16.我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是:如果两等高的几何体在同高处截得的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为

．参考答案：

17.现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有____种.参考答案：180【分析】由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分4步进行分析：对于A部分，有5种颜色可选，即有5种情况；对于B部分，与A部分有公共边，有4种颜色可选，即有4种情况；对于C部分，与A、B部分都有公共边，有3种颜色可选，即有3种情况；对于D部分，与A、C部分都有公共边，有3种颜色可选，即有3种情况；则不同的着色方法有5×4×3×3=180种三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.排成一排的名学生生日的月份均不相同，有名教师，依次挑选这些学生参加个兴趣小组，每个学生恰被一名教师挑选，且保持学生的排序不变，每名教师挑出的学生必须满足生日的月份是逐渐增加或逐渐减少的（挑选一名或两名学生也认为是逐渐增加或逐渐减少的），每名教师尽可能多选学生，对于学生所有可能的排序，求的最小值。参考答案：的最小值为。若，不妨假设这名学生生日的月份分别为，当学生按生日排序为时，存在一名教师至少要挑选前四名学生中的两名，由于这两名学生生日的月份是逐渐减少的，且后六名学生生日的月份均大于前四名学生生日的月份，因此这名教师不可能再挑选后六名学生；在余下的不超过两名教师中，一定存在一名教师至少要挑选第五名至第七名学生中的两名，同理，这名教师不可能再挑选后三名学生；余下的不超过一名教师也不可能挑选后三名学生，矛盾。下面先证明：对于互不相同的有序实数列，当时，一定存在三个数满足或。设最大数和最小数分别为，不妨假设。若，则满足；，因为，所以要么在的前面，要么在的后面至少有两个数，不妨假设在的后面有两个数，从而与中一定有一个成立。引用上面的结论，当时，第一名教师至少可以挑选三名学生；若余下的学生大于等于名，则第二名教师也至少可以挑选三名学生；这时剩下的学生的数目不超过名，可以被两名教师全部挑选，因此，的最小值为。19.（本小题满分12分）已知函数,.(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.参考答案：(Ⅰ),所以,的最小正周期.

…6分(Ⅱ)因为在区间上是增函数,在区间上是减函数,又,故函数在区间上的最大值为,最小值为.

…………12分20.（本题满分12分）某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：付款方式分l期分2期分3期分4期分5期频数4020a10b

已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用表示经销一辆汽车的利润．

（Ⅰ）求上表中a，b的值；

（Ⅱ）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有l位采用3期付款”的概率P（A）；

（Ⅲ）求的分布列及数学期望．参考答案：(本题满分12分）解：（Ⅰ）由∵40+20+a+10+b=100

∴b=10

…………2分（Ⅱ）“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率：

…………6分

（Ⅲ）记分期付款的期数为，依题意得

…………9分的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）的分布列为11．52P0．40．40．2的数学期望（万元）…………12分略21.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上D点在AN上，且对角线MN过点C,已知AB=3米，AD=2米。(Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值。参考答案：（Ⅰ）设DN的长为米，则米,由得又得解得：即DN的长取值范围是(Ⅱ）矩形花坛的面积为当且仅当时，矩形花坛的面积最小24平方米22.已知函数.（1）用定义证明：当时，函数在上是增函数；（2）若函数在上有最小值，求实数的值．参考答案：（1）当时，任取时，

因为，所以

所以，所以在上为增函数。

（2）解法一、根据题意恒成立。且等号成立。

所以

由于在上单调递减，所以所以；

当等式等号成立时，所以，