河南省周口市试量中学高三数学文联考试卷含解析

河南省周口市试量中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，的零点分别为，则(

)A.

B.0＜＜1

C.1＜＜2

D.参考答案：B2.函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”．设曲线y=ex上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t?φ（A，B）＜3恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，1] D．[1，3]参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数y=ex的导数，可得切线的斜率，运用φ（A，B），由分离参数法，可得t＜恒成立，求得右边的范围或最值，即可得到t的范围．【解答】解：y=ex的导数为y′=ex，φ（A，B）===＞0，可得==＞1，t?φ（A，B）＜3恒成立，则t＜恒成立，由＞3，即有t≤3．故选：A．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：求切线的斜率，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，求最值，考查运算能力，属于中档题．3.函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a参考答案：B【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．【分析】根据f（x）=f（2﹣x）求出（x）的图象关于x=1对称，又当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，x﹣1＜0，得到f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可．【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，故选B．4.参考答案：C5.已知为虚数单位，图中复平面内的点表示复数，则表示复数的点是 (

)A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知，则命题：“，”的否定为（

）A．，

B．，C.，

D．，参考答案：A考点：1、命题的否定．7.为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是（

）

A．20

B．30

C．40

D．50

参考答案：答案：C8.如果向量与共线且方向相反，则（

）.A．

B.

C.2

D.0参考答案：B略9.有关下列命题的说法正确的是（）

A．命题“若x2=1,则x=1”的否命题为:若“x2=1则x≠1”

B．“”是“”的必要不充分条件

C．命题“x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“x∈R,均有x2+x+1<0”

D．命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题参考答案：【知识点】四种命题．A2

【答案解析】D

解析：对于A，该命题的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；对于B，x=﹣1时，x2﹣5x﹣6=0，充分性成立，x2﹣5x﹣6=0时，x=﹣1或x=6，必要性不成立，∴是充分不必要条件，B错误；对于C，该命题的否定是：“x∈R，均有x2+x﹣1≥0，∴C错误．对于D，x=y时，sinx=siny成立，∴它的逆否命题也为真命题，∴D正确．故选：D．【思路点拨】A中，写出该命题的否命题，即可判断A是否正确；B中，判断充分性和必要性是否成立，即可得出B是否正确；C中，写出该命题的否定命题，从而判断C是否正确．D中，判断原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性．10.已知全集，集合，，则等于

(A).

(B).

(C).

(D).参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列中，则_____________。参考答案：12.已知实数满足不等式组,且的最小值为,则实数的值是

．参考答案：m=6略13.已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的体积为

．参考答案：4π解：若棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则球的直径等于正方体的对角线长即2R＝2∴R＝则球的体积V＝＝4π．故答案为：4π．14.函数的图像在点处的切线方程是

.参考答案：（1）求切点，把带入原函数，解得y=0，所以切点为（1，0） （2）求斜率。根据点斜式写出方程：y-0=(x-1),即：15.正项等比数列中，若，则等于______.参考答案：16在等比数列中，，所以由，得，即。16.设函数若，则x0的取值范是

．参考答案：略17.函数的图象中相邻两条对称轴的距离为_____________________．参考答案：【知识点】三角函数性质C3解析：相邻对称轴间的距离为半个周期，此函数的周期为T＝=．【思路点拨】相邻对称轴间的距离为半个周期，只需求周期即可.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入(单位：万元)函数为，其中x是产品生产的数量(单位：百台)．(1)求利润关于产量的函数．(2)年产量是多少时，企业所得的利润最大？参考答案：（1）解：设年产量为x，利润为………………6分（2）解：由（1）知时，………………8分时，=………………10分当时，故年产量为475台时，工厂所得利润最大………………12分【分析】（1）由于商品年需求量为，故要对产量分成不大于和大于两段来求利润.当时，用收入减掉成本，即为利润的值.当时，成本和的表达式一样，但是销售收入是固定的，由此求得解析式.（2）两段函数，二次函数部分用对称轴求得其最大值，一次函数部分由于是递减的，在左端点有最值的上限.比较两段函数的最大值，来求得整个函数的最大值.【详解】(1)当0≤x≤5时，产品能全部售出，则成本为0.25x＋0.5，收入为5x－x2，利润f(x)＝5x－x2－0.25x－0.5＝－x2＋4.75x－0.5.当x>5时，只能销售500台，则成本为0.25x＋0.5，销售收入为5×5－×52＝，利润f(x)＝－0.25x－0.5＝－0.25x＋12.综上，利润函数f(x)＝(2)当0≤x≤5时，f(x)＝－(x－4.75)2＋10.78125，当x＝4.75∈[0,5]时，f(x)max＝10.78125(万元)；当x>5时，函数f(x)是递减函数，则f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．10．75<10.78125.综上，当年产量是475台时，利润最大．【点睛】本小题主要考查实际生活计算利润的问题.在利润等于收入减去成本.本题中含有固定成本和可变成本.而需求量是一个固定值，所以产量超过500时，收入是固定的，这一点解题过程中要注意到.19.空间几何体ABCDEF如图所示．已知面ABCD⊥面ADEF，ABCD为梯形，ADEF为正方形，且AB∥CD，AB⊥AD，CD=4，AB=AD=2，G为CE的中点．（Ⅰ）求证：BG∥面ADEF；（Ⅱ）求证：CB⊥面BDE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣BDG的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取ED中点H，连接HG、AH，推导出AHGB为平行四边形，从而AH∥BG，由此能证明BG∥面ADEF．（Ⅱ）推导出BD⊥BC，ED⊥AD，ED⊥BC，由此能证明BC⊥面BDE．（Ⅲ）三棱锥E﹣BDG的体积VE﹣BDG=VE﹣BDC﹣V_G﹣BDC，由此能求出结果．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取ED中点H，连接HG、AH，因为G、H分别为EC、ED的中点，所以HG∥CD且；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为AB∥CD且所以AB∥HG，且AB=HG，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以AHGB为平行四边形，所以AH∥BG；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为BG?面PBC，AH?面PBC，所以BG∥面ADEF；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）在直角梯形ABCD中，由题意得，在Rt△ABD中，由题意得所以△BDC中，由勾股定理可得BD⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由ADEF为正方形，可得ED⊥AD由面ABCD⊥面ADEF，得ED⊥面ABCDBC?面ABCD，所以ED⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以BC⊥面BDE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）因为DE⊥平面BDC，DE=2，G到到平面BDC的距离d==1，S△BDC===4，所以三棱锥E﹣BDG的体积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20.（12分）（2012?虹口区二模）已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间上有最大值4，最小值1，设函数．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在时恒成立，求实数k的取值范围．参考答案：考点： 二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；指数型复合函数的性质及应用．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）由二次函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b的对称轴为x=1，由题意得，或，解得a、b的值，即可得到函数f（x）的解析式．（2）不等式即，在时，设，则k≤（t﹣1）2，根据（t﹣1）2min＞0，求得实数k的取值范围．解答： 解：（1）由于二次函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b的对称轴为x=1，由题意得：1°，解得．或

2°，解得．（舍去）

∴a=1，b=0…（6分）故g（x）=x2﹣2x+1，．…（7分）（2）不等式f（2x）﹣k?2x≥0，即，∴．…（10分）在时，设，∴k≤（t﹣1）2，由题意可得，函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，故t≠1，即≤t≤2，且t≠1．∵（t﹣1）2min＞0，∴k≤0，即实数k的取值范围为（﹣∞，0]．…（14分）点评： 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，用待定系数法求函数的解析式，函数的恒成立问题，属于中档题．21.已知三棱锥P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥P-ABC中：（I）证明：平面PAC⊥平面ABC；（Ⅱ）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角的余弦值.

图一图二参考答案：（I）见解析（Ⅱ）【分析】(I)设AC的中点为O,证明PO垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(Ⅱ)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.【详解】（Ⅰ）设的中点为，连接，.由题意，得，，.因为在中，，为的中点，所以，因为在中，，，，，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，平面，所以是直线与平面所成的角，且，所以当最短时，即是的中点时，最大.由平面，，所以，，于是以，，所在直线分别轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，则，，，，，，，，.设平面的法向量为，则由得：.令，得，，即.设平面的法向量为，由得：，令，得，，即..由图可知，二面角的余弦值为.【点睛】本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.22.已知fn(x)＝(1＋2)n，n∈N*.(1)若g(x)＝f4(x)＋f5(x)＋f6(x)，求g(x)中含x2项的系数；(2)若pn是fn(x)展开式中所有无理项的二项式系数和，数列{an}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：．参考答案：（1）解：，g(x)中含x2项的系数为24C＋24C＋24C＝336.----------------------4分（2）证明：由题意，pn＝.欲证明，只要证明，用数学归纳法证明如下：①当n＝1时，左＝右，

时，=

时，欲证不等式成立；②假设当n＝k时，(1＋a1)(1＋a2)(1＋ak)≤(a1a2ak＋1)成立，当n＝k＋1时，(1＋a1)(1＋a2)(1＋