江西省赣州市石城第五中学高三数学理月考试题含解析

江西省赣州市石城第五中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数既是奇函数又是减函数的是

A．

B．

C．

D．参考答案：DA,B,D为奇函数，排除C.A为增函数，B在R上不单调，所以选D.2.设是定义在上的偶函数，满足，当时，.

方程在区间内实根的个数为（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：D3.已知抛物线上点到其焦点的距离为2，则该抛物线的标准方程为(

)A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据点到其焦点的距离为得到点M到准线的距离为2，解方程组即得解.【详解】由题得点到准线的距离为2，所以1-所以该抛物线的标准方程为.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知集合，，则（

）A．[1,2)

B．

C．[0,1]

D．参考答案：D5.等差数列中，已知前15项的和，则等于(

)

A．

B．6

C．

D．12参考答案：B由题意得，所以，选B.6.已知函数f（n）=n2cos（nπ），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a100=（）A．0 B．﹣100 C．100 D．10200参考答案：B【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；数列的求和；数列递推式．【分析】先求出分段函数f（n）的解析式，进一步给出数列的通项公式，再使用分组求和法，求解．【解答】解：∵，由an=f（n）+f（n+1）=（﹣1）n?n2+（﹣1）n+1?（n+1）2=（﹣1）n[n2﹣（n+1）2]=（﹣1）n+1?（2n+1），得a1+a2+a3+…+a100=3+（﹣5）+7+（﹣9）+…+199+（﹣201）=50×（﹣2）=﹣100．故选B7.半径为的球面上有四点，两两互相垂直，则面积之和的最大值为A．8B．16C．32D.64参考答案：C8.若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是2，则的值为

A．

B．

C．1

D．2参考答案：B9.下列四个图中,函数的图象可能是

参考答案：C10.已知等比数列的各项均为正数，对，，，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数y=tanθ+（0＜θ＜），则函数y的最小值为

．参考答案：2【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用二倍角公式化简函数，结合三角形函数的图象及性质即可求函数的最小值．【解答】解：由题意：函数y=tanθ+（0＜θ＜），化简：y=+==；∵0＜θ＜，∴0＜2θ＜π，所以：0≤sin2θ≤1．当sin2θ=1时，函数y取得最小值，即．故答案为：2．12.已知a＞0，且二项式展开式中含项的系数是135，则a=．参考答案：3【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】由条件利用二项展开式的通项公式，求得展开式中含项的系数，再根据展开式中含项的系数为135，从而求得a的值．【解答】解：二项式展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣1）r?a6﹣r?x3﹣r，令3﹣r=﹣1，求得r=4，故开式中含项的系数是?a2=135，求得a=3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．13.如图，某几何体的正视图、侧视图、俯视图均为面积为2的等腰直角三角形，则该多面体的表面积为

，体积为

．参考答案：14.对于集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合{1，2，4，6，9}的交替和是9-6+4-2+1=6，集合{5}的交替和为5．当集合N中的n=2时，集合N={1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+（2-1）=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1，2，3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn=

参考答案：15.在极坐标系中，曲线和相交于点、，则

▲

．参考答案：略16.函数的零点有个．参考答案：3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：题目中条件：“函数f（x）=的零点个数”转化为方程lnx=x2﹣2x的根的个数问题及一次函数2x+1=0的根的个数问题，分别画出方程lnx=x2﹣2x左右两式表示的函数图象即得．解答：解：当x＞0时，在同一坐标系中画出y=lnx与y=x2﹣2x的图象如下图所示：由图象可得两个函数有两个交点．又一次函数2x+1=0的根的个数是：1．故函数的零点有3个故答案为：3点评：函数的图象直观地显示了函数的性质．在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题．体现了数形结合的数学思想．17.设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴an=．∴=2．∴数列{}的前n项的和Sn===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（8分）某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？参考答案：解：（1）∵

30000÷5000＝6,

∴

能租出24间.

…………3分（2）设每间商铺的年租金增加x万元,则（30－）×（10＋x）－（30－）×1－×0.5＝275，

………6分2x2－11x＋5＝0，

∴x＝5或0.5，∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.……8分略19.（本小题满分12分）数列前项和为，．（1）求证：数列为等比数列；（2）设，数列前项和为，求证：．参考答案：（本小题满分12分）解：（1）……2分又……4分故数列是首项为3，公比为3的等比数列……6分（2）由（1）……9分＝……11分……12分略20.（14分）如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1km处，tan∠BAN=，∠BCN=，现计划铺设一条电缆联通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求A，B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由tan∠BAN=，∠BCN=，得到|AD|，|DB|、|AB|间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；（2）方案①：总铺设费用为5×4=20（万元）．方案②：设∠BPD=θ，则，其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，，，则总铺设费用为．设，则，，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．【解答】解：（1）过B作MN的垂线，垂足为D，如图示：在Rt△ABD中，，所以，在Rt△BCD中，，所以CD=BD．则，即BD=3，所以CD=3，AD=4，由勾股定理得，（km）．所以A，B两镇间的距离为5km．…（4分）（2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4=20（万元）．…（6分）方案②：设∠BPD=θ，则，其中θ0=∠BAN，在Rt△BDP中，，，所以．则总铺设费用为．…（8分）设，则，令f'（θ）=0，得，列表如下：θf'（θ）﹣0+f（θ）↘极小值↗所以f（θ）的最小值为．所以方案②的总铺设费用最小为（万元），此时．…（12分）而，所以应选择方案②进行铺设，点P选在A的正西方向km处，总铺设费用最低．…（14分）【点评】本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题21.已知函数f（x）=ex﹣ax2，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截距为．（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（2x）﹣f（x），求证：g（x）在R上单调递增．参考答案：略22.如图所示的