2019高考数学复习专题：函数性质及其应用(含解析)

2019高考数学复习专题：函数性质及其应用(含解析)

函数是高中数学的核心内容，贯穿于中学数学的始末。函数的四大性质是高考对函数内容考查的重点，其中单调性和奇偶性更是必考内容。在高考命题中，函数常与方程、不等式等其他知识结合考查，考查形式多样，有选择题、填空题和解答题，有基础题和难度较大的试题。在求单调区间时，应树立“定义域优先”的原则，单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示。如果有多个单调区间，应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接。比较大小时，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决。解不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解。利用单调性求参数时，需要注意函数的定义域和分段函数的单调性以及衔接点的取值。解函数不等式问题的一般步骤包括定性确定函数的单调性、转化成f(M)<f(N)的形式、去掉函数的抽象符号“f”、转化成一般的不等式或不等式组、解不等式或不等式组确定解集，最后反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题。掌握f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)和若奇函数在x＝处有意义，则f(0)＝0这两个结论，会给解题带来方便。对f(x)定义域内任一自变量的值x，若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；若f(x＋a)＝1/f(x)，则T＝2a(a>0)；若f(x＋a)＝－1/f(x)，则T＝2a(a>0)。(4)若$f(x+2a)=f(x+a)-f(x)$，则$T=6a(a>0)$。(5)若$f(x+a)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)}$，则$T=2a(a>0)$。(6)若$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$，则$T=4a(a>0)$。2.函数对称性与函数周期性的关系(1)若函数$f(x)$的图像既关于直线$x=a$对称，又关于直线$x=b$对称$(a\neqb)$，则$f(x)$是周期函数，且$2(b-a)$是它的一个周期。(2)若函数$f(x)$的图像既关于点$(a,0)$对称，又关于点$(b,0)$对称$(a\neqb)$，则$f(x)$是周期函数，且$2(b-a)$是它的一个周期。(3)若函数$f(x)$的图像既关于直线$x=a$对称，又关于点$(b,0)$对称$(a\neqb)$，则$f(x)$是周期函数，且$4(b-a)$是它的一个周期。3.函数$f(x)=\begin{cases}1,&x\text{为有理数}\\0,&x\text{为无理数}\end{cases}$是一个奇特的函数，该函数是偶函数，是周期函数，但没有最小正周期，也无法作出其图像。4.设$y=f[g(x)]$是定义在$M$上的函数，若$f(x)$与$g(x)$的单调性相反，则$y=f[g(x)]$在$M$上是减函数；若$f(x)$与$g(x)$的单调性相同，则$y=f[g(x)]$在$M$上是增函数，简称同增异减。5.对称性的一般结论①若$f(a+x)=f(b-x)$，则$f(x)$的图像关于直线$x=\frac{a+b}{2}$对称；②$y=f(a+x)$与$y=f(b-x)$的图像关于直线$x=\frac{a+b}{2}$对称。【例1】如果对定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)$，对任意两个不相等的实数$x_1,x_2$，都有$x_1f(x_1)+x_2f(x_2)>x_1f(x_2)+x_2f(x_1)$，则称函数$f(x)$为“H函数”。给出下列函数$①y=e^x$，$②y=x$，$③y=3x-\sinx$，$④f(x)=\begin{cases}\lnx,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$。以上函数是“H函数”的所有序号为。【分析】本题的重点和难点均为对“H函数”本质的认识和理解，即如何处理和转化题中所给不等式：$x_1f(x_1)+x_2f(x_2)>x_1f(x_2)+x_2f(x_1)$，采用合并重组的方法进行处理，得到$(x_1-x_2)(f(x_1)-f(x_2))>0$。由单调性定义可知，H函数是单调递增函数。当x<0时为减函数，当x>0时为增函数，因此选项A和选项C符合要求。而选项B和选项D不符合要求。本题主要考查了单调函数的定义和函数单调性的判断，需要学生能够理解和领悟知识的本质。已知函数f(x)=2-x^a在区间[0,1]上单调递增，求2x的取值范围。根据函数单调性的定义，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)。因此，对于函数f(x)=2-x^a，在区间[0,1]上单调递增，当x1<x2时，2-x1^a<2-x2^a。可以得到x1^a<x2^a，进而得到x1<x2。因此，当x<1/2时，2x<2-x^a；当x>1/2时，2x>2-x^a。因此，2x的取值范围为[-1,1]。已知函数f(x)=x^2+1/(x^2+1)，求f(-x)。将x替换为-x，得到f(-x)=x^2+1/(x^2+1)。因此，f(x)+f(-x)=2x^2+2/(x^2+1)。因为f(x)是偶函数，所以f(x)+f(-x)=2f(x)。因此，f(x)=x^2+1/(x^2+1)。将x替换为1，得到f(1)=3。因此，f(-1)=3。因为f(x)是偶函数，所以f(-1)=f(1)=3。已知函数f(x)=(x+1)^2+asin(x)/(x^2+1)+3，其中a∈R，且f(ln(log25))=5，求f(ln(log52))。将x替换为-ln(log52)，得到f(ln(log52))=(-ln(log52)+1)^2+asin(-ln(log52))/((-ln(log52))^2+1)+3。因为f(x)是偶函数，所以f(-ln(log52))=f(ln(log52))。将x替换为ln(log25)，得到f(ln(log25))=(ln(log25)+1)^2+asin(ln(log25))/((ln(log25))^2+1)+3=5。因此，asin(ln(log25))/((ln(log25))^2+1)=-12。将这个结果代入f(ln(log52))的表达式中，得到f(ln(log52))=3。已知函数f(x)=x^2+1/(x^2+1)，求f(x)+f(-x)。将x替换为-x，得到f(-x)=x^2+1/(x^2+1)。因此，f(x)+f(-x)=2x^2+2/(x^2+1)。因为f(x)是偶函数，所以f(x)+f(-x)=2f(x)。因此，f(x)=x^2+1/(x^2+1)。已知函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)=f(x-5)+x，数列{an}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)+g(a2)+…+g(a9)=45，则a1+a2+…+a9=（）。因为f(x)是奇函数且在R上是单调递增函数，所以g(x)是奇函数且在R上是单调递增函数。因此，{an}中的数列也是奇数列且公差不为0。因为g(x)是奇函数，所以g(0)=0。因此，g(a1)+g(a2)+…+g(a9)=g(0)+g(a1)+g(2a1-a2)+…+g(8a1-7a2)=g(0)+g(a1)+g(a9-a1)+…+g(5a1-4a2)=9g(0)+9g(a1)+3g(5a1-4a2)=9a1+15a1+…+45a1=45(2a1+8d)=45。因此，a1+a2+…+a9=45/(2a1+8d)。函数的单调性和奇偶性是函数的两个基本性质，前者是相对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质，反映了函数在该区间上函数值的变化趋势；后者是相对于函数的定义域来说的“整体”性质，主要讨论的是函数的对称性。这两个性质的应用十分广泛。【例3】设$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，且当$x\geq0$时，$f(x)=x$。若对任意的$x\in[t,t+2]$，不等式$2f(x+t)\geq2f(x)$恒成立，则实数$t$的取值范围是什么？【分析】本题已明确指出$f(x)$是奇函数，因此可以求出它的解析式（一个分段函数），画出它的图像，发现它是一个单调递增函数。难点在于题中所给不等式$2f(x+t)\geq2f(x)$中，$2f(x)$的系数2如何处理？再次仔细观察所求函数的解析式的结构特征，发现满足$2f(x)=f(2x)$。最后结合单调性，转化一个恒成立问题，利用分离参数的方法求出$t$的范围。【解析】由$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的奇函数，且当$x\geq0$时，$f(x)=x$可得：当$x<0$时，$-x>0$，$f(-x)=-(-x)=x$；因此，$f(x)=\begin{cases}x^2&(x\geq0)\\-x&(x<0)\end{cases}$。$f(x)$在$\mathbb{R}$上是单调递增函数，且满足$2f(x)=f(2x)$。因为不等式$2f(x+t)\geq2f(x)$在$[t,t+2]$上恒成立，所以有$x+t\geq2x$，即$t\geqx$。因此，$2t\geqt+2x$，解得$x\leq\frac{1}{2}(t+2)$。综上所述，实数$t$的取值范围是$[2,+\infty)$。【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性。其中奇偶性是一个明显的条件，单调性是一个隐含的条件，作出函数的图像可以方便地发现它的单调性。这也再次说明了数形结合的重要性。本题最后转化成一个恒成立问题，运用分离参数的方法求解，这正说明了函数性质的应用是十分广泛的，它能与很多知识结合，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力。【小试牛刀】设函数$f(x)=\ln(1+|x|)-\frac{1}{1+x^2}$，则使得$f(x)>f(2x-1)$成立的$x$的取值范围是$(1,+\infty)$。解法二：将x=1代入f(x)>f(2x-1)，得到f(1)>f(1)，这显然不成立，所以x=1不满足f(x)>f(2x-1)，因此可以排除选项D；又f(0)=-1，f(-1)=ln2，因此可以排除选项B和C，所以选项A是正确的。(四)函数性质的综合运用【例4】已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)为奇函数，函数f(x+3)关于直线x=1对称，则下列式子一定成立的是（）A.f(x-2)=f(x)B.f(x-2)=f(x+6)C.f(x-2)·f(x+2)=1D.f(-x)+f(x+1)=0【分析】由题中函数f(x)满足f(2-x)为奇函数，结合奇函数的定义转化可得：f(x)=-f(4-x)，再由条件：函数f(x+3)关于直线x=1对称，结合对称性的规律可得：f(4-x)=f(4+x)，最后由周期性的概念可转化为：f(x)=-f(x+4)=-f(x+8)，可见函数的周期为8，即可求解。【点评】本题主要考查了学生对抽象函数的处理能力，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性。要想顺利完成本题有一个难点：f(2-x)为奇函数的处理，这要对奇函数定义本质有充分的理解。函数的四大性质在抽象函数的考查中往往会综合在一起，这也正是此类题目一般较难的原因。在我们复习备考中一定要加强对所学概念本质的理解，这并非一日之功，须注意平时的积累和磨炼。【小试牛刀】【2018湖北襄阳调研】若函数y=f(x)对定义域D内的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使得f(x1)·f(x2)=1成立，则称f(x)为“自倒函数”。给出下列命题：①f(x)=sinx+2，x∈(-π/2,π/2)，是自倒函数；②自倒函数f(x)可以是奇函数；③自倒函数f(x)的值域可以是R；④若y=f(x)和y=g(x)都是自倒函数，且定义域相同，则y=f(x)·g(x)也是自倒函数。则以上命题正确的是_______（写出所有正确命题的序号）。【答案】①②【解析】f(x)为D上的单调函数，否则方程f(x)=1不止一个实数解。对于①，f(x)=sinx+2在(-π/2,π/2)上是单调增函数，且其值域为(1,3)，对于任意的t∈(1,3)，则在(-π/2,π/2)上存在唯一的x1和x2，使得f(x1)·f(x2)=1，因此f(x)是自倒函数。对于②，若f(x)为奇函数，则f(x)·f(0)=1，即f(x)=1/f(0)，因此f(x)的值域不能包含0，因此②不正确。对于③，若f(x)的值域包含0，则在x=0处无定义，因此③不正确。对于④，设f(x)·g(x)=1，由于f(x)和g(x)都是单调函数，因此它们的符号必须相同，即它们都是正函数或都是负函数，因此f(x)·g(x)也是单调函数，且f(x)·g(x)=1，因此f(x)·g(x)也是自倒函数，因此④正确。1.对于第一段话，可以将其改写为：如果函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上都是单调递减函数，则对于任意t∈(-∞,0)∪(0,+∞)，方程f(x)=t有唯一解x=x2，而当f(x)取值于(-∞,0)∪(0,+∞)时，由于f(x)为“自倒函数”，因此该命题正确。对于命题③，如果f(x)的值域为R，则取f(x1)×f(x2)=1无解，因此该命题不正确。对于命题④，可以取f(x)=x，g(x)=1，它们都是“自倒函数”，但它们的积F(x)=f(x)g(x)=1是常数函数，不是“自倒函数”。2.对于第二段话，可以将其改写为：解决函数性质相关问题的一般步骤是：利用函数的周期性将大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小。画函数草图的步骤是：根据已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图像，再利用奇偶性确定对称区间的图像，最后利用周期性确定整个定义域内的图像。这些步骤可以将抽象问题变得直观形象，将复杂问题变得简单明了，对于问题的解决有很大的帮助。3.对于第三段话，可以将其改写为：根据已知条件，函数f(x)的定义域为R。由f(-x)=-f(x)可知，函数f(x)为奇函数。由f'(x)>0可知，函数f(x)在定义域上单调递增。因此，对于不等式f(x)<0，可以解得x∈(-∞,-1)∪(0,1)，因此该不等式的解集为(-∞,-1)∪(0,1)。而对于不等式f(x)>0，可以解得x∈(-1,0)∪(1,+∞)，因此该不等式的解集为(-1,0)∪(1,+∞)。因此，选项C为正确答案。4.对于第四题，可以将其改写为：已知函数f(x)=x-1和g(x)=x+1，函数h(x)=f(g(x))=x，因此命题①正确。由于f(x)和g(x)都是“自倒函数”，因此h(x)也是“自倒函数”，因此命题④正确。因此，选项B为正确答案。5.对于第五题，可以将其改写为：已知函数f(x)和g(x)在定义域为R上都是连续函数，并且满足命题①和命题②。对于不等式f(g(x))<0，由于f(x)和g(x)都是单调递增函数，因此可以得到g(-∞)<x<g(0)或g(1)<x<g(+∞)，因此命题A和命题C都不正确。对于不等式f(g(x))>0，由于f(x)和g(x)都是单调递增函数，因此可以得到0<x<g(-1)或g(0)<x<1，因此命题B为正确答案。6.已知函数$f(x)=\begin{cases}x-3x,&x<2\\2-x,&x\geq2\end{cases}$，且函数$g(x)$满足当$x>0$时，$g'(x)>0$，且对任意$x\in\mathbb{R}$，有$g(x)=g(-x)$，则$g[f(x)]\leqg(a-\frac{a}{2})$，其中$a$是满足$f(x+2)=f(x)$的最小正实数，则$|f(x)|\leq|a-\frac{a}{2}|$恒成立。因为$g(x)$是偶函数且在$[0,+\infty)$上单调递增，且有$g|(x|)=g(x)$。由$f(x+2)=f(x)$得到$f(x)$的周期$T=2$。因为$x\in[-2,2]$时，$f(x)=x-3x=-2x$，$x\in[2,4]$时，$f(x)=2-x$，所以$f(x)$在$[-2,4]$上的最大值为$2$。因为$g'(x)>0$，所以$g(x)$是增函数，因此当$x\in[0,2]$时，$g[f(x)]\leqg(2)=g(a-\frac{a}{2})$，即$f(x)$的最大值不超过$2$，所以$|a-\frac{a}{2}|\geq2$，解得$a\leq0$或$a\geq1$，因此答案为$\textbf{(D)}$。7.已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a>0$，$b<0$，$c>0$。表示$f(x)$在$[0,1]$上的最大值为$M_1$，在$[1,2]$上的最小值为$m_2$，在$[2,3]$上的最大值为$M_3$。则$\max\{M_1,m_2,M_3\}=f(\frac{5}{4})=\frac{25a}{16}-\frac{5b}{4}+c$，$\min\{M_1,m_2,M_3\}=f(2)=2a+2b+c$。因为$a>0$，$b<0$，$c>0$，所以$\frac{25a}{16}-\frac{5b}{4}+c>\frac{5a}{2}+2b+c$，即$\max\{M_1,m_2,M_3\}>f(2)$。因此选项$\textbf{(C)}$错误，正确选项为$\textbf{(D)}$。8.函数$f(x)=\begin{cases}ax^2+x-1,&x>2\\ax-1,&x\leq2\end{cases}$是$\mathbb{R}$上的单调递减函数。当$x>2$时，$f'(x)=2ax+1>0$，即$a>-\frac{1}{2}$；当$x\leq2$时，$f'(x)=a<0$，即$a<0$。因此$a$的取值范围为$a<0$且$a>-\frac{1}{2}$，即$a\leq-1$。因此选项$\textbf{(D)}$正确。9.已知定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)$是奇函数且满足$f(-x)=f(x)$，$f(-2)=-3$，数列$\{a_n\}$满足$a_1=-1$，$a_{n+1}=2n+1$。因为$f(x)$是奇函数，所以$f(0)=0$。因为$f(-2)=-3$，所以$f(2)=3$。因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(x)$是奇函数，即$f'(-x)=-f'(x)$，因此$f'(0)=0$。因为$f(x)$是偶函数，所以$f''(x)$是偶函数，因此$f''(0)>0$，即$f(x)$在$x=0$处取得极小值。因此$f(x)$在$[-2,2]$上单调递增，$f(x)>0$，且$f(2)=3$。因为$a_n=2n+1$，所以$a_n>0$，且$a_n$是等差数列，因此$a_n$的中位数为$\frac{a_1+a_n}{2}=n$。因为$f(x)$在$[-2,2]$上单调递增，所以$f(n)\leqf(\frac{a_1+a_n}{2})=f(n)$，即$f(n)$是$f(x)$在$[-2,2]$上的最小值。因此$f(n)\leq3$，即$f(n)-3\leq0$。因为$f(x)$是奇函数，所以$f(1)=f(-1)=0$，即$1$和$-1$是$f(x)$的零点。因为$f(x)$在$[-2,2]$上单调递增，所以$f(x)$在$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$上单调递增。因此$f(x)$在$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$上为正，$f(x)$在$(-1,1)$上为负。因为$a_n$是等差数列，所以$a_n>a_1=-1$，即$n>\frac{a_1-1}{2}=-1$。因为$a_n=2n+1$，所以$n$是奇数。因此$n\geq1$。因为$a_n$是等差数列，所以$a_n-a_1=(n-1)d=2n$，即$d=\frac{2}{n-1}$。因为$a_n=2n+1$，所以$n=\frac{a_n-1}{2}$，即$n$是$a_n$的中位数。因此$n\leq\frac{a_1+a_n}{2}=n$。因此$n=\frac{a_1+a_n}{2}=n$。因为$a_n=2n+1$，所以$a_n$是奇数，即$a_n$为正奇数。因此$f(a_n)=0$，即$f(a_n)-3=-3\leq0$。因为$f(x)$在$(-1,1)$上为负，所以$f(x)-3<0$。因此$f(a_n)-3\leqf(x)-3<0$，即$f(a_n)-3\leq0$。因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(x)$是奇函数，因此$f'(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，且$f'(x)>0$，因此$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，且$f(x)>0$。因此$f(a_n)-3\geqf(0)-3=0$。因此$f(a_n)-3=0$，即$f(a_n)=3$。因为$a_n$是等差数列，所以$a_n>a_1=-1$，即$n>\frac{a_1-1}{2}=-1$。因为$a_n=2n+1$，所以$n=\frac{a_n-1}{2}$，即$n$是$a_n$的中位数。因此$n\leq\frac{a_1+a_n}{2}=n$。因此$n=\frac{a_1+a_n}{2}=1$。因此$a_n=3$。因此$f(3)-3=0$，即$f(3)=3$。因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-3)=f(3)=3$。因此$f(x)$在$[-3,3]$上为正且单调递增，且$f(3)=f(-3)=3$。因为$a_n$是等差数列，所以$a_n>a_1=-1$，即$n>\frac{a_1-1}{2}=-1$。因为$a_n=2n+1$，所以$n=\frac{a_n-1}{2}$，即$n$是$a_n$的中位数。因此$n\leq\frac{a_1+a_n}{2}=2$。因此$n=1$或$n=3$。因为$a_n=2n+1$，所以$a_n$是奇数，即$a_n$为正奇数。因此$f(a_n)=0$，即$f(a_n)-3=-3\leq0$。因为$f(x)$在$[-3,3]$上为正且单调递增，且$f(3)=f(-3)=3$，所以$f(x)-3>0$，因此$f(a_n)-3<0$。因此$f(a_n)-3\leqf(x)-3<0$，即$f(a_n)-3\leq0$。因此$f(a_n)-3=0$，即$f(a_n)=3$。因此$\{a_n\}$中满足$f(a_n)=3$的项是$a_3=7$。因为$a_n=2n+1$，所以$a_n$是奇数，即$a_n$为正奇数。因此$a_n\geq1$。因为$a_n=2n+1$，所以$n=\frac{a_n-1}{2}$，即$n$是$a_n$的中位数。因此$n\leq\frac{a_1+a_n}{2}=2$。因此$n=1$或$n=3$或$n=5$。因为$a_n=2n+1$，所以$a_n$是奇数，即$a_n$为正奇数。因此$a_n\geq1$。因为$a_n=2n+1$，所以$n=\frac{a_n-1}{2}$，即$n$是$a_n$的中位数。因此$n\leq\frac{a_1+a_n}{2}=2$。因此$n=1$或$n=3$。因为$a_n=2n+1$，所以$a_n$是奇数，即$a_n$为正奇数。因此$a_n\geq1$。因此$a_n=3$或$a_n=7$。因为$a_n$是等差数列，所以$a_{n+1}-a_n=d=4$，因此$a_{n+1}=a_n+4$。因此$a_1=-1$，$a_2=3$，$a_3=7$，$a_4=11$，$a_5=15$，$\cdots$。因为$a_n$是等差数列，所以$a_n+a_{n+2}=2a_{n+1}$，因此$a_{n+2}-a_n=4$，即$a_{n+2}=a_n+4$。因此$a_{2k+1}=2k+1$，$a_{2k}=2k+3$，因此$n=2k+1$时，$a_n=2n+1=4k+3$，$n=210.已知函数$f(x)=\dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-a^2}$，其中$a>1$，则$f(\log_a(2-1))=$（）。解析：首先要求出函数的定义域。由于$x-a$和$x-a^2$都不能为零，所以$x\neqa$且$x\neqa^2$，因此函数的定义域为$(-\infty,a)\cup(a,a^2)\cup(a^2,\infty)$。接下来求$f(\log_a(2-1))$，即$f(1)$。将$x=1$代入函数得$f(1)=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-a^2}$。选项中都是数字，因此需要将分式化为数字形式。先将两个分式通分得到$\dfrac{1}{1-a^2}+\dfrac{1}{1-a}\cdot\dfrac{1+a}{1+a}=\dfrac{2-a}{1-a^2}$。因此$f(1)=\dfrac{2-a}{1-a^2}$。将$a>1$代入得$f(\log_a(2-1))=f(1)=\dfrac{2-a}{1-a^2}=2$，因此选$\textbf{(B)}$。11.定义区间$[x_1,x_2]$的长度为$x_2-x_1$（$x_2>x_1$），函数$f(x)=\dfrac{(a^2+a)x-1}{a}$的定义域与值域都是$[m,n]$（$n>m$），则区间$[m,n]$取最大长度时实数$a$的值为（）。解析：首先要求出函数的定义域和值域。由于$a\neq0$，所以函数的定义域为$\mathbb{R}$。当$(a^2+a)x-1=0$时，函数的值最小，此时$f(x)=\dfrac{(a^2+a)x-1}{a}=\dfrac{(a^2+a)x-1}{(a^2+a)a}=-\dfrac{1}{a^2+a}$。因此函数的值域为$[-\dfrac{1}{a^2+a},+\infty)$。接下来考虑区间$[m,n]$的长度。设$[m,n]\subseteq\mathbb{R}$，且$f(x)$在$[m,n]$上单调递增，则$f(m)$和$f(n)$的值最小，此时函数的值域为$[f(m),f(n)]$，因此区间$[m,n]$的长度为$n-m$。由于$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，因此可以将区间$[m,n]$分为三种情况：(1)$[m,n]\subseteq(-\infty,a)$；(2)$[m,n]\subseteq(a,a^2)$；(3)$[m,n]\subseteq(a^2,\infty)$。对于第一种情况，$f(x)$在$(-\infty,a)$上单调递增，因此区间$[m,n]$的长度为$n-m=a-(-\infty)=+\infty$。对于第三种情况，$f(x)$在$(a^2,\infty)$上单调递增，因此区间$[m,n]$的长度为$n-m=\infty-a^2=+\infty$。对于第二种情况，$f(x)$在$(a,a^2)$上单调递增当且仅当$a^2+a>0$，即$a>-\dfrac{1}{2}$。此时，$f(x)$在$(a,a^2)$上的单调性保证了区间$[m,n]$的长度最大。因此，$[m,n]=[a,a^2]$，且$a>-\dfrac{1}{2}$。将$a=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$代入得$n-m=a^2-a=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$。因此选$\textbf{(D)}$。12.函数f(x)的取值范围为(1,2)。因为当x<2时，f(x)>8，而f(x)的值域为(8,+∞)，所以当x≥2时，f(x)>8，即7+loga(x)>8，解得loga(x)>1，即1<x≤2，所以a的取值范围为(1,2)，即f(x)的取值范围为(1,2)。13.因为f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x)，即lne^(2x+1)+a=lne^(-2x+1)+a，化简得e^(2x+1)=e^(-2x+1)，解得x=0，所以f(x)的最小值为ln2。14.根据题意，可得f(3)=-1，f(0)=1。因为f(x)是减函数，所以f(x)<f(3)当且仅当x>3，f(x)<f(0)当且仅当x<0。所以不等式f(1+lnx)<1可以化为f(3)<f(1+lnx)<f(0)，即-1<f(1+lnx)<1。又因为f(x)是减函数，所以f(1+lnx)<1当且仅当1+lnx>e^(-1)，即x>e^(1/e)-1，同时f(1+lnx)>-1当且仅当1+lnx<e^(-1)，即x<e^(1/e)-1。综上可得不等式的解集为(e^(1/e)-1,e^(1/e)-1)。15.因为f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)，即-1+a-5=-1-a-5，解得a=-3。所以g(x)=-f(-x)=x-2x=-x，所以g(-1)=-(-1)=1。16.因为f(x)的图象关于点(-2,0)中心对称，所以f(x)=f(-4-x)，即(x+2)(x+ax-5)=(-4-x+2)(-4-x+a(-4-x)-5)，化简得a=-3或a=3+2m，其中m为任意实数。又因为(-5,-2)∈A，所以f(-5+m)<f(-5)，即(-3+m)(2+m-5)<(m+3)(m-5)，解得m≤-3或m=3。17.因为f(x)是奇函数，所以f(1+x)=-f(1-x)，即f(2)=f(0)，所以f(x)在(0,2)上单调递减。又因为f(x)=log2(x-1)，所以f(x)在(1,∞)上单调递增。所以当x∈(2,3)时，f(x)=log2(x-1)在(1,2)上单调递增，所以1<x-1≤2，即2<x≤3。,x2∈D,有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，则f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0．(2)对于任意x∈D，令x1＝x，x2＝－x，则x·(－x)＝－x2·x2＝x1·x2＝－x2·x1∈D，∴f(x·(－x))＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3)由f(4)＝f(2·2)＝2f(2)＝4f(1)＝4·0＝0，又f(x－1)<2，f(x)在(0,＋∞)上是增函数，∴f(x)＜f(x－1)＋2＜f(5)＝f(2·2·1.25)＝3f(2)＝6f(1)＝0，∴f(x)＜0，又f(16)＝4f(4)＝0，∴x－1∈(4,16)，即3＜x＜17，又f(x)在(0,＋∞)上是增函数，∴f(x)＜f(16)＝0，又f(0)未定义，∴x≠1，故x的取值范围为{x|－15<x<17且x≠1}．已知函数f(x)=x-(a+1)x-4(a+5),g(x)=ax-x+5，其中存在相同的零点，求a的值；(Ⅰ)若函数f(x)在[0,1]上单调递增，求a的取值范围；(Ⅱ)若存在两个正整数x1,x2使得f(x1)=f(x2)，且x1+x2=5，求a的取值范围。(1)首先，由题意可得f(x)=g(x)有相同的零点，即ax-x+5=x-(a+1)x-4(a+5)有相同的解，即ax-x+5=-ax+5x+4a+20。整理得(a+1)x=4a+15，因为x不为0，所以a不等于-1。解得x=(4a+15)/(a+1)。(2)由题意可得f(x1)=f(x2)，即x1-(a+1)x1-4(a+5)=x2-(a+1)x2-4(a+5)，整理得(a+5)(x1+x2)=5x1+5x2，即(a+5)(x1+x2-5)=0，因为x1+x2=5，所以a+5=0，即a=-5。(3)由f(x)=x-(a+1)x-4(a+5)，可得f'(x)=1-(a+1)4x，当f(x)在[0,1]上单调递增时，f'(x)>0，即1-(a+1)4x>0，解得x<(a+1)/4。因为x不为0，所以a不等于-1。又因为x=(4a+15)/(a+1)，所以4a+