大一各专业汇总土木期末复习理论力学

理论力学B-23何斌2021年7月5日星期一第9章动量矩定理及其应用刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程动量和动量矩定理在碰撞中的应用结论与讨论几个有意义的实际问题质点与刚体的动量矩动量矩定理及其守恒形式相对质心的动量矩定理作业讲解动量和动量矩定理在碰撞中的应用在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象——物体运动速度突然发生有限的改变。碰撞：运动着的物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化，这种现象称为碰撞。碰撞的特征：物体的运动速度或动量在极短的时间内发生有限的改变。碰撞时间之短往往以千分之一秒甚至万分之一秒来度量。因此加速度非常大，作用力的数值也非常大。碰撞力（瞬时力）：在碰撞过程中出现的数值很大的力称为碰撞力；由于其作用时间非常短促，所以也称为瞬时力。害处：机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。利处：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。研究碰撞现象，就是为了掌握其规律，以利用其有利的一面，而避免其危害。动量和动量矩定理在碰撞中的应用动量和动量矩定理在碰撞中的应用碰撞的恢复因数碰撞的基本定理碰撞的恢复因数解决工程问题时，由于很难确定碰撞力的变化规律，通常只分析碰撞前后物体运动的变化，并根据碰撞的特点，作适当简化，主要简化有：碰撞过程中，由于碰撞力极大，重力等非碰撞力可以忽略不计。由于碰撞时间极短，物体的位置基本没有改变，故物体的位移可忽略不计。碰撞的恢复因数物理学中关于碰撞的论述：若碰撞前后两球的质心速度矢与两球接触面的公法线共线，则称为正碰撞。碰撞中，两球碰撞后相对分离的速度与碰撞前相对接近的速度之比，称为恢复因数(coefficient

of

restitution)：I1

v1

v2

u2

u1e

I

2式中u1、u2分别为两球碰撞后的速度；v1、v2分别为两球碰撞前的速度。碰撞的恢复因数例1对于球A与固定平面的正碰撞情形

vAe＝

I2

＝

vBI1

vA

vBI

v1

Ae＝

I2

＝－

vAvB＝vB＝0

，BAhh22h1vAv'A212gh

,AAv

2ghv

h1h2e＝碰撞的恢复因数式中v1n、v2n分别为刚体碰撞前两球碰撞点的速度在接触点公法线方向的投影；u1n、u2n为刚体碰撞后两球碰撞点的速度在接触点公法线方向的投影。对于刚体，恢复因数表达式应改写为：v1nI1

v2n

u1n

u2ne

I

2碰撞的恢复因数恢复因数的取值范围部分弹性碰撞：变形不能完全恢复；0

e

1完全弹性碰撞：无能量损耗，碰撞后变形完全恢复；e

1完全塑性碰撞：能量完全损耗，变形完全不能恢复。e

0i

ier

F

dtL

L

0O

2

O1iiei

ei2

1碰撞的基本定理应用动量定理的积分形式和动量矩定理的积分形式，可以形成质点系碰撞过程的基本定理。t2t1dt

Ip

p

Fiiieie2

1由于碰撞过程中忽略了碰撞物体中各点的位移，即ri为常量，所以上述二式可以分别表示成t2dt

Ip

p

Fniit1niTiin

iTeO

iei00

M

I

nir

IF

dt

r

ri

Fi

dt

LO

2

LO1碰撞的基本定理定轴转动的物体发生碰撞时，基本定理为e

O

i

eiM

(I

)Im

uC

m

vC

JO

2

JO1

平面运动的物体发生碰撞时，基本定理为为e

C

ieiM

(I

)Im

uC

m

vC

JC

2

JC1

具体应用时，根据具体情形，将基本定理的表达式与碰撞因数公式联立，再加上运动学补充方程，即可求得问题的解答。例2绕定轴O转动的刚体质量为m，刚体对轴O的转动惯量为JO，该刚体的质量对称面在图示平面内。今有外碰撞冲量

I作用在对称平面内。试分析：轴承的约束碰撞力冲量IO

。例2y Oy

muCy

mvCy

I

I解：因为质量对称面在图示平面内，所以刚体的质心必位于图形平面内。建立图示之坐标系，y轴通过质心。应用冲量定理有muCx

mvCx

I

x

IOx

式中uCx、uCy和vCx、vCy分别为碰撞后质心速度在x、y轴上的投影。例2y Oy

muCy

mvCy

I

I

IOx

muCx

mvCx

I

x若图示位置是发生碰撞的位置，则有

uCy＝vCy=0。于是，轴O处的约束碰撞力为Oy

yIOx

m(uCx

vCx

)

IxI

I可见，一般情形下，会在轴承处引起碰撞冲量。这种碰撞冲量将使轴承和轴发生损伤，所以实际设计时，应当尽量避免。例2oy为使轴承处碰撞冲量是零，即Iox

0I

0必须满足

vCx

)I

x

m(uCxI

y

0为了满足I

y

0外冲量I必须沿着垂直于OC的方向。IOx

m(uCx

vCx

)

IxIOy

IyOxJ

(ucxa

a-

vcx

)

=

lI=

lm

(uCx

-

vCx

)例2

vCx

)为了满足I

x

m(uCxeO

2

O

1O

iM

(

I

)J

J

mal

Jo其中a为O点至质心C点的距离，K点是外碰撞冲量I的作用线与OC

线的交点。这一点称为撞击中心(center

ofpercussion)。I作用点与O轴之间的距离不能是任意的。实例第9章动量矩定理及其应用几个有意义的实际问题质点与刚体的动量矩动量矩定理及其守恒形式相对质心的动量矩定理刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程动量和动量矩定理在碰撞中的应用结论与讨论结论与讨论质点系的外力系与动量系质点系的外力系(F1,F2,…,Fn)和动量系(m1v1,m2v2,…,mnvn)是质点系动力学的两个重要矢量系。事实上，二者数学意义上是完全相同的矢量系。因而，它们的基本特征量均是主矢和主矩，其运算法则、投影方式以及对点之矩和对轴之矩的关系都是相同的。结论与讨论iO

iOM

e

M

（F

)主矩

F

,iiF

eR基本特征量：

主矢质点系的外力系与动量系作用在质点系上的外力系——力系及其基本特征量力系：

F

(F1

,

F2

,...,

Fi

,...,

Fn

),结论与讨论i

iLO

LO

i

M

O

(mi

vi

)i

i主矩:质点系动量矩质点系的外力系与动量系作用在质点系上的动量系——动量系及其基本特征量动量系：

p

(

p1

,

p2

,...,

pi

,...,

pn

),基本特征量：

主矢:

质点系动量

p

pi

mi

vi

,结论与讨论质点系的外力系与动量系之一：质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理

之二：质点系动量定理与相对质心(平移系)动量矩定理之三：刚体平面运动微分方程结论与讨论eRd

p

Fdt质点系动量定理质点系的外力系与动量系之一：质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理结论与讨论eOd

LO

M质点系相对定点动量矩定理质点系相对定轴动量矩定理eOzeOyeOxdtdtdLOzdtdLOydtdLOx

M

M

M定轴转动的特殊情形J

z

M

z质点系的外力系与动量系之一：质点系动量定理与相对定点或定轴动量矩定理结论与讨论eRd

p

FdteCdtd

LCr

M质点系相对质心(平移系)动量矩定理——描述质点系质心的运动——描述质点系相对质心的运动质点系的外力系与动量系之二：质点系动量定理与相对质心(平移系)动量矩定理质点系动量定理结论与讨论iiCCi

Fxi

Fy(F

e

)J

MmxCmyC－描述刚体质心的运动－描述刚体相对质心(平移系)的转动质点系的外力系与动量系之三：刚体平面运动微分方程——动量定理和相对质心动量矩定理描述平面运动刚体的总体运动。结论与讨论iiCC