二阶线性偏微分方程的分类和化简

§1．2二阶线性偏微分方程的分类和化简一、两个自变量的二阶线性方程含两个自变量x,y的二阶线性偏微分方程的一般形式为：

其中都是x,y的连续函数。

我们通过自变量变换，将方程（1.2.1）化简，并在此基础上分类。作自变量变换

其中是二次可微的待定函数，且雅可比（jacobi）行列式

根据隐出数存在定理，此变换是可逆的。

利用变换（1.2.2）可将方程（1.2.1）化为关于自变量的方程。

为此作如下计算：

把（1.2.3），(1.2.4)代入（1.2.1），便得到关于新自变量和的方程：

其中系数

方程（1.2.5）仍然是线性的。

记

其中

那么A与a合同，即

现在，我们要确定变换

使方程（1.2.5）的二阶偏导数项化成最简形式。从（1.2.6）可以看到，如果取一阶偏微分方程

，。这样方程（1.2.5）就得以化简。

的两个线性无关特解分别作为新自变量，，则现在的问题归结为如何求解方程（1.2.7）。一阶偏微分方程（1.2.7）的求解可转化为常微分方程的求解。事实上，（1.2.7）可改写为

的方程，则，于是（1.2.8）可写为

如果把（c为常数）当作定义隐函数常微分方程（1.2.9）称为二阶线性偏微分方程（1.2.1）的特征方程。特征方程的解“”，“”为方程（1.2.1）的特征线。

特征方程（1.2.9）可分为两个方程

根据（1.2.10）根号下的符号来划分偏微分方程的类型：

用（1.2.6）容易验证

由雅可比行列式不等于零知

方程作自变量的变换时，方程的类型不变。

下面我们把（1.2.5）化成标准型。（1）若，这时特征方程（1.2.10）给出两个实解，即方程（1.2.10）有两族不同的实特征线

取变换为

则方程（1.2.5）中的系数，于是方程（1.2.5）变为

其中为的函数。

再作自变量变换

则方地程（1.经2.醉11）化肢为（1.签2.境11）式图和（1.吩2.势12）式框分别曲称为赖双曲键型方勾程的控第一亚标准肢形式秘和第石二标眨准形停式。（2）若，特征方程（1.2.10）变为

只能给出一族实的特征线

令，是任意函数，但要求

则，方程（1.2.5）变为

（1延.2披.1绢3）式吨称为芽抛物提型方隔程的六标准练形式幸。（3），这时特征方程（1.2.10）

的特舰征线貌为复顶数形诉式，姓即令

则，方程（1.2.5）变为（1.设2.碎14）式孕称为张椭圆迎型方纳程的些标准峡形式运。总上秘所述卫，含申两个王自变鲁量的蹈二阶麦线性框偏微过分方灾程的化之简步轿骤如焦下：特征薯方程屑：（一阶微分方程）

（1）当时，有两族不同的实特征线

令

则，因此原方程化为

(双曲型方程的第一标准形式）

（2）时，只能给出一族实的特征线

令

是任意函数，但要求

则，于是原方程化为（抛物型方程的标准形式）

（3）时，特征线是一对共轭复值函数

令

则，此时原方程化为（椭圆型方程的标准形式）

注意：是的函数。

例将脱里谷米（Tricomi）方程

化为标准形。

解彻方程葵的特遇征方滔程为判别式

1）当即时，方程为双曲型。由特路征方育程得二昆族实塘特征邪线取变换

把代入原方程，得

故原方程化为

再取变换

把代入方程得

即

(2)当即时，方程为椭圆型。由特征方程

得一族共轭复特征线

取变换

把代入原方程得

于是榜原方只程化给为二、妈含多家个自玻变量雨的二燃阶线筑性方跟程作自限变量似变换将方程(1.2.15)化为关于自变量的方程

方程(1看.2卸.1坡6)的系依数其中

A为对角阵即

根据狸线性删代数警的惯斧性定饰律，Aii为正掘、负阻、零脑的个捡数是辩确定史的，n个自告变量班的二锈阶线袄性方谣程分云类可饺根据抓二次冈型的特怜征值束的符腹号，匀将方扑程分搭为四帮类：1）n个特界征值腊同号,且都捧不为雅零,方程卵为椭经圆型彩。2）n个特宝征值快都不研为零忙，其棋中n-1个同燥号，毅另一阶个异钢号，虽方程繁为双迷曲型判。3）n个特揉征值昨都不器为零吸，n-捉m个同锄号，念其余m个异登号，（n>m>1饱,n-m>1）方程严为超柱双曲睡型。4）n个特削征值役至少阴有一寺个为够零，律方程脚为抛棚物型惜。其中为及其一阶偏导数的函数。

在可哲逆变隔换下裤，方渔程的驴类型迁不变伟。（因霸为A与a合同途，A与a的特僵征值录的正沙、负盾、零炮的个擦数相丝式同）三、挨二阶访常系互数线舍性方腥程对于紫常系殃数的义二阶弓线性劝方程钟，按忽上述舟方法洲已是以标准霸型，举由于听系