第二章 平面向量练习题及答案全套

第二章平面向量练习题及答案全套

2.1平面向量的实际背景及基本概念下列不是向量的量是【密度】，因为密度只有大小没有方向。正确的说法是：零向量是没有方向的；零向量的长度为0；零向量与任意向量平行；零向量的方向是任意的。把平面上所有单位向量的始点放在同一点，这些向量的终点构成的图形是【一个单位圆】。正确命题的个数是【3】，因为②、③、④是正确的。正确的命题是：若a=b，则a和b相等；若a//b，则a和b平行。正确的选项是：AD与AE相等。c与b必定平行。c与b不一定平行。|BC|=√3。四边形ABCD是菱形。2.2平面向量的线性运算正确的选项是：a·b=1。用向量加法的几何意义，可知AC=AB+BC=a+b。a、b、c一定可以构成一个三角形。船速为v1，水速为v2，所以实际速度为v=v1+v2，因此选项D正确。a=-b。1.在三个不等式2a>2a+b，2a<2a+b，2b>a+2b中，只有2a<2a+b成立。2.一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船相对于水的速度为4km/h，根据矢量加法，船相对于岸的速度为23^2-4^2的平方根，即21km/h。因此，水流的速度为23-21=2km/h。3.一艘船距对岸43km，以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km。根据矢量加法，船相对于水的速度为8/43*23=4.28km/h，船相对于岸的速度为23^2-4.28^2的平方根，即22.4km/h。因此，水流的速度为23-22.4=0.6km/h。4.一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船的实际航行的速度的大小为4km/h，方向与水流间的夹角是60度。根据矢量加法，船相对于水的速度为4/v1，船相对于岸的速度为v1^2-16/v1^2+4v1v2*cos60度的平方根。因此，v1=8km/h，v2=2km/h。5.一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h。根据矢量加法，船相对于水的速度最大为7km/h，最小为3km/h。6.向量的减法运算是指将一个向量加上另一个向量的相反数。其几何意义是将一个向量平移后，再将另一个向量平移并取相反方向后，两个向量的起点和终点连线所得到的向量。7.下列等式中正确的是①a+0=a，②b+a=a+b，③-(-a)=a，④a+(-a)=0，⑤a+(-b)=a-b，因此正确的个数是5。8.下列等式中一定能成立的是AB-AC=BC，因为三角形两边之差的长度等于第三边的长度。9.化简OP-QP+PS+SP的结果等于OS，因为OP和QP相互抵消，PS和SP相互抵消，只剩下OS。10.a+b=c，b+c=d，c-d=e，a+b+c-d=a+b+d-c=e。因此，a+b=c，b+c=d，c-d=e，a+b+c-d=e-a。所以，d=a+b+c-e=a+b+c-(c-d)=2c-d。11.一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船相对于水的速度为4km/h，根据矢量加法，船相对于岸的速度为23^2-4^2的平方根，即21km/h。因此，水流的速度的大小为2km/h。12.若a、b共线且|a+b|＜|a-b|成立，则a与b的关系为a与b的夹角为90度。13.在正六边形ABCDEF中，BA=AF=m，AD=n，则AE=m+n。14.已知a、b是非零向量，则|a-b|=|a|+|b|时，应满足条件a与b同向且|a|=|b|。15.向量数乘运算是指将一个向量乘以一个标量，其几何意义是改变向量的长度和方向。16.下列命题中正确的是AB+BA=0，因为向量的加法是可交换的，即a+b=b+a，因此AB+BA=0+0=0。17.下列命题正确的是若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量。18.下列等式中正确的是|a+b|=|a-b|，因为当a与b夹角为90度时，左边等于右边。19.下列命题中正确的是若a与b是单位向量，则a·b=cosθ，其中θ为a与b之间的夹角。20.已知向量e1≠0，则下列关系一定成立是λ∈R，a=λe1。1.若向量a与b共线，则存在实数λ使得a=λb或b=λa。2.对于向量a,b,c和实数λ，真命题是B.若λa=a，则λ=1或a=0。3.下列命题中，正确的命题是B.a+b≥a或a+b≥b。4.已知ABCD是平行四边形，O为平面上任意一点，设OA=a,OB=b,OC=c,OD=d，则有B.a-b+c-d。5.在四边形ABCD中，AB-DC-CB等于A.AC。6.若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且AB=a,AD=b，则BE等于C.a-1/2b。7.向量a与b都不是零向量，则下列说法中不正确的是D.向量a与b反向，且a<b，则向量a+b与a同向。8.若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有A.a∥b且a、b方向相同。9.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P，满足PA+PB+PC=k。若实数λ满足AB+AC=λAP，则λ的值为C.3。10.在△ABC中，AB=c，AC=b。若点D满足BD=2DC，则AD=B.3/2(b+c)。11.如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，BC=d。若点E在AC上，且DE平分∠ADC，则CE=B.(a+d)/2。1.若AB为向量(2,4)，AC为向量(1,3)，则BC为向量(1,-1)。改写为：已知向量AB和AC分别为(2,4)和(1,3)，求向量BC。2.在平行四边形ABCD中，E和F分别为BC和CD的中点。改写为：已知平行四边形ABCD，E和F分别为BC和CD的中点。3.已知DE与AF相交于点H，AB为a，BC为b，则AH等于b-a。改写为：已知DE与AF相交于点H，设AB为a，BC为b，求AH的值。4.已知D为三角形ABC的边BC的中点，且在三角形ABC所在平面内有一点P，满足PA+PB+PC=BC。设|AP|=λ，则λ的值为|PD|。改写为：已知D为三角形ABC的边BC的中点，在三角形ABC所在平面内有一点P，满足PA+PB+PC=BC。设|AP|=λ，求λ的值。5.在平行四边形ABCD中，E和F分别为边CD和BC的中点，且AC=λAE+μAF，其中λ，μ满足λ+μ=1。改写为：已知平行四边形ABCD，E和F分别为边CD和BC的中点，且AC可以表示为λAE+μAF，其中λ，μ满足λ+μ=1。6.在四面体ABCD中，对角线AC的长度为a，对角线BD的长度为b。试用a，b表示向量AB和向量BC的长度。改写为：已知四面体ABCD，对角线AC的长度为a，对角线BD的长度为b，求向量AB和向量BC的长度。7.设e1和e2为两个不共线向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1-e2，且三点A，B，D共线。求k的值。改写为：已知两个不共线向量e1和e2，且AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1-e2，且三点A，B，D共线。求k的值。8.若向量AB为(2,4)，向量AC为(1,3)，则向量BC为(1,-1)。改写为：已知向量AB和AC分别为(2,4)和(1,3)，求向量BC。9.不能作为平面内所有向量的基底的一组向量是a=(-1,2)，b=(2,5)。改写为：判断哪组向量不能作为平面内所有向量的基底：a=(-1,2)，b=(2,5)。10.已知向量a=(1,1,3)，向量b=(2,-1,4)，则向量a-b=(-1,2,-1)。改写为：已知向量a=(1,1,3)和向量b=(2,-1,4)，求向量a-b。7.已知向量a=(1,3)，b=(-2,4)，则a+b=(-1,7)。8.已知向量a=(2,-1)，b=(-1,3)，则2a-3b的坐标是(7,-11)。9.已知点O是平行四边形ABCD的对角线交点，AD=(2,5)，AB=(-2,3)，则CD坐标为(4,7)，DO坐标为(0,4)，CO的坐标为(2,7)。10.已知OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，线段AB的中点为C，则OC的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。1.已知平面向量a=(1,2)，b=(-2,m)，且a//b，则2a+3b=(-4,4)。2.已知向量a=(x,3)，b=(3,-1)，且a与b共线，则x=9。3.已知a=(-2,5)，|b|=|2a|，若b与a反向，则b=(4,-10)。4.平行四边形ABCD的三个顶点为A(-2,1)、B(-1,3)、C(3,4)，则点D的坐标是(2,2)。5.与向量d=(12,5)不平行的向量是(-12,-5)。6.已知a，b是不共线的向量，AB=λa+b，AC=a+μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点时λ，μ满足的条件是λμ=-1。7.与向量a=(-3,-4)同方向的单位向量是(-3/5,-4/5)。8.设向量a=(1,2)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=-1。9.已知A(-1,-2)，B(4,8)，C(5,x)，如果A，B，C三点共线，则x的值为14。10.已知向量a=(3,2)，b=(-1,1)，向量m与3a-2b平行，|m|=4/√13，求向量m的坐标为(12/13,8/13)。2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义1.下列叙述不正确的是D，a·b不是一个实数，而是向量a和向量b的数量积。1.在四边形ABCD中，已知AB·BC=0，BC=AD，则四边形ABCD的形状是【】A.直角梯形B.菱形C.矩形D.正方形2.设0≤θ<2π时，已知两个向量op1=(cosθ,sinθ)，op2=(2+sinθ,2-cosθ)，则向量PP12长度的最大值是【】A.2B.3√2C.3D.3√33.力F1、F2共同作用在某质点上，已知|F1|=5N，|F2|=12N，且F1与F2互相垂直，则质点所受合力的大小为【】A.7NB.17NC.13ND.10N4.在△ABC中，若BC=a，CA=b，AB=c且ab=bc=ca，则△ABC的形状是【】A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形5.已知作用于点O的力F1、F2的大小分别为6，6，且两力间的夹角为60°，则两力合力的大小为【】A.6NB.12NC.6√3ND.3√3N6.已知三点O（0，0），A（1，0），P（x，y）且设x≥1，y≠0。（1）如果选取一点Q，使四边形OAPQ成为一平行四边形，则Q的坐标是(1-x,y)；（2）如果还要求AP的中垂线通过Q点，则x=2；（3）再进一步要求四边形OAPQ是菱形，则x=2时。7.已知a=(2，3)，b=(-4，7)，则a在b方向上的投影为【】A.13B.5C.65D.-58.已知|a|=10，b=(1，2)且a∥b，则a的坐标为(5，10)。9.已知a=(1，2)，b(1，1)，c=b-ka，若c⊥a，则c=(-2，1)。10.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)=-20。11.已知a(3，2)，b(-1，-1)，若点P(x，y)在线段ab的中垂线上，则x=1。在满足x·b=-4的向量x中，x=(-2，1)。已知a(1，0)，b(3，1)，c(2，0)，且a⊥b，则a与b的夹角为60°。7.有一条平行于岸的河流，水速为1，小船的速度为2。为了使所走路程最短，小船应朝与水速成45度的方向行驶。8.一架飞机从A地按北偏西30度的方向飞行300km后到达B地，然后向C地飞行。已知C地在A地北偏东60度的方向处，且A、C两地相距300km，求飞机从B地向C地飞行的方向及B、C两地的距离。9.已知两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，试用向量的方法证明以线段AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。10.已知向量OA、OB、OC满足OA+OB+OC=0，|OA|=|OB|=|OC|=1，求证：三角形ABC是正三角形。参考答案：2.1平面向量的实际背景及基本概念1.D2.A3.D4.A5.B6.B7.C8.不共线2.2平面向量的线性运算2.2.1向量的加法运算及其几何意义1.C2.D3.D4.B5.C6.4km/h7.4km/h8.23km，2km/h9.7km/h，3km/h2.2.2向量的减法运算及其几何意义1.B2.C3.D4.B5.-f-ef6.2km/h7.a与b的方向相反且都不为零向量8.m-n9.a与b反向10.b+d-a-c2.2.3向量数乘运算及其几何意义1.D2.C3.D4.B5.D6.B7.D8.A9.C2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理9.310.菱形2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解和坐标表示及运算1.B2.D3.D4.B5.A6.B7.288.(7,-11),(2,-3),(-2,-1),(0,-4)2.3.4平面向量共线的坐标表示平面向量共线的条件是两个向量的夹角为$0$或$\pi$。设$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则有以下两种情况：1.当$\vec{a}$与$\vec{b}$共线时，有$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$或$\frac{x_1}{-x_2}=\frac{y_1}{-y_2}$。2.当$\vec{a}$与$\vec{b}$反向共线时，有$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$或$\frac{x_1}{-x_2}=\frac{y_1}{-y_2}$，且$x_1=-x_2$，$y_1=-y_2$。2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义平面向量的数量积是两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值，即$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$。其中$\theta$是$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角。数量积的值可以为正、负或零，分别表示两个向量的夹角为锐角、钝角或直角。2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角设$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则有以下公式：1.$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$。2