5同构与导数放缩-原卷版-2023届高考数学二轮复习

第5讲同构与导数放缩知识与方法同构不等式是近些年高考模拟题的热点题型，经常出现在压轴选择填空和导数大题中，特别是恒成立求参数取值范围，或证明不等式，常规方法可能需要采用隐零点，往往较为繁琐,而用同构，则会达到四两拨千斤的功效.那么何为同构？什么时候用同构呢？顾名思义，同构，函数结构相同时使用，或者通过变形使不等式两边的函数结构相同。例如题目给了条件FG)≥0能等价变形为f[gG)]≥f[MQ],然后利用f6)的单调性，如递增，再转化为gG)≥岛)，这种方法我们就可以称为同构不等式，简称同构..同构第一重境界：双变量问题X]、X2地位完全等价，只需把同一个变量移到不等式同一边即可。给大家一些常见的例子，一看便知.'S)_"'2)>k(x<X)of(X)—f(X)<kx—kxof(X)—kx<f(X)—kxX—X 1 2 1 2 1 2 11 2 22=y=f(X)—kX为增函数，求导证明即可f(X)—f(X)k k(X—X)kk k 1 2-<(X<X)=f(X)—f(X)>——1——2-=一一一=f(X)+—X—X XX1 2 1 2XXXX 1X12 12 12 2 1 1>f(x2)+k=y=f(X)+k为减函数.2X X2同构第二重境界：指对跨阶时使用，何谓指对跨阶？简单做一个介绍，eχ、X、lnX中，指数eχ增长最快属于第一阶，X其次，属于第二阶，lnX增长最慢，属于第三阶。如果题目中既出现eχ,又出现lnX,我们暂且称之为指对跨阶.指对跨阶常见模型及处理方法：(1)积型：同右:ealnea≤blnb >f(X)=XlnXaea≤blnb——三种同构方式~><同左:aea≤(lnb)eɪnb >f(X)=XeX取对:a+lna≤lnb+ln(lnb) >f(χ)=X+lnX(2)商型：同左:史＜aeinbinbeab一＜———三种同构方式》《ainbea b同右: <一ineainbinx取对:a-ina<InzP-ln(inb) Tf(x)=x-inx(3)和差型：ea±a>b±inb—两种同构方式>同左:ea±a>einb±inb同右:ea±inea>b±inbTf(x)=X±inx同构第三重境界：有些同构式不是很明显的指对跨阶，需要配凑常数或者自变量X,此类题型较为含蓄，需要同学们多加练习。举例说明：【例】如：⑴aeax>inx—同1乘~~Taxeax>Xinxax>iogx0xax>xiogX0XaX>(iogX)∙alogaxm mm2x3inx≥meXox2inx2≥一eX0xaGnx2)einx2以上就是同构的三重境界，很多同学看完后可能同构的运用还是不够灵活，要想用好同构,还要掌握两种方法，指对变换与放缩.常见的指对变换有x=einx,x=ineX,基于此，有如下一些变形，需要大家理解并掌握.ex xxex=ex+inx，—=eX—inX；—=einX-X

'x eX一一exxinx=inx∙einX，X+inX=inXeX，X—inX=in一xe2(1)ex≥x+1neXT≥XneX≥exneX≥—X2,4x(2)inx≤x一1nineX≤XninX≤-einx≤x一1ninx≤ex一2 ,I- 1 「、，inx≥1一一nxinX≥X-1，X常见的指对变换与放缩结合有如下几种：eXxex=ex+inx≥x+inX+1，—=eX-inX>X—inX+1xx =eɪnX一X≥inx-x+1；eXx2ex=ex+2inx≥x+2inX+1，X2ex=ex+2inx≥e(x+2inx)exTf(X)=—XTf(X)=xTf(x)=ex±xaa，/mm≥—exxx2ex≥1+x+—2典型例题【例1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数.logX-k-2kX≥0:21一一一e2λX--lnX≥≥0;λH.X2lnX-meX≥0;a(eaX+1)≥J1Y2X+—lnX./V XJaln(X-1)+2(X-1)≥ax+2eX;(6)X+alnx+e-χ≥Xa(X>1).e-X-2X-lnX=0;X2eX+lnX=0;【例2】若2X-2y<3-X-3-yA.ln(y-X+1)>0则()B.ln(y-X+1)<0，C.ln∣x-y∣>0D.lnX-y∣<0【例3】已知不等式ax>logx(a>0,a≠1),对∀X∈(0,+∞)恒成立，则a的取值范围是a.【例4】设实数λ>0,若对任意的X∈(0,+∞),不等式λe大X-lnX≥0恒成立，则λ的取值范围为.ωlnX=一Xg(X)=Xe-X若存在x1∈(0,+∞),X2∈R,使得f(X)=g(X)=k(k<0)成立2ek的最大值为()Ix1，，12，则(xΛ

XG 4 1A.Q2 B.e c・— D.—e2 e2【例6】若对任意x＞。，恒有α(e"+l)≥2[x+']lnx,则实数。的最小值为.【例7】已知函/(x)=eχ-αln(αx-0)+”(α＞O),若关于X的不等式/00＞。恒成立，则实养。的取值范围为()/ 、A.∏),e2 B,H),e2∕ C.1© D.【例8】对任意x＞。，不等式2〃e2x-ln%+lnα≥0恒成立，则实数。的最小值为.【例9】已知函数/G)=〃ei—lnx+lnα.(1)当Q=e时，求曲线y=∕G)在点(1,7(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若/G)≥l,求a的取值范围.【例】IO.已知函数/(x)=oe4χ-2XlnX.(1)若〃=L讨论/G)的单调性；(2)若∕G)≥O,求α的取值范围.强化训练1.已知函数/(X)=叱，g(x)=xer,若存在x∈(0,+∞)

X 1/(x)=gG)=M左<。)成立，则XX的最小值为()

1 2 122 2A.-1 B.—— C.——e e2ɪer使得1

D.--

e2•设实数〃?〉°•且不寺式阳XInX一(X+m)em'≤0对x＞。恒成立，则m的最大值是Q2A.e B.— C.2e D.Qi23.已知〃＜。，不等式心+ι∙eχ+αlnx≥O对任意的实数x＞l恒成立，则实数。的最小值为()C 1A.——— B.—2e C.—- D.—eIe e4.=mln(x+,+∞)上恒成立,则实数加的取值范围是()A.O≤m≤3 B.m≥3C.m<3D.m<Q5.已知。＞。，函数/(x)=e.i—ln(χ+α)-I(X＞0)的最小值为0,则实数。的取值范围是((

A.o4b∙γ1ID.ΦC.√6.已知/函数/G)=X20x-2+lnx-2,的零点，则e2τ°+Inx=7.已知函数/(x)=Xeai—Inx-ax,若∕G)≥。对任意%＞。恒成立，则实数α的最小值是•8.已知函数/(x)=lnx-x+l,g(χ)=ɑreʌ-4,其中a>Q,求证：g(x)-2∕(x)≥2(lnd!-ln2)9.已知函数/(%)=x(2x-〃)，若/(x)≥l+x+lnx,求α的取值范围.10.已知函数/(X)=xcχ—Cix^,g(x)=InX+X—χ2+1——,当Q>0时，若aZzG)=/G)—QgG)≥。恒成立，求α的取值范围..已知函数f(X)=ex+a(lnX—x),求证0<a≤e2时，f(χ)+e2≥。.X2lnx+1C.已知函数f(x)= +3a,xg(x)=xe2ax+a.(1)讨论f(x),g(x)零点的个数;(2)若方程f(X)=g(x)有实数根，求a的取值范围.“、〜Yax3.已知函数f(x)=2lnX—1+--eaxI2)_r1 1∖ ,g(x)=x2eaxlnx+——ax-11 4)⑴若a=0,求g(x)的极值;(2)证明:fG)≤g(D∙14.已知函数f(x)=X-lnX,已知实数a>0,若f(x)+αe2X+lna≥0在(0,+∞)上恒成立，求α的取值范围._，八1、 -16.若X∈(0,-)时，关于X的不等式axɜeOX+2lnX≤0恒成立，求a的最大值.e17.已知函数f(X)