材料力学课件第三章扭转和剪切

§3.1

扭转的概念和实例§3.2

外力偶矩的计算扭矩和扭矩图`§3.3

薄壁圆筒的扭转

纯`

剪切§3.4

圆轴扭转时的应力与强度条件§3.5

圆轴扭转时的变形与刚度条件第三章扭转与剪切§3.6

非圆截面杆扭转的概念§3.7

薄壁杆件的自由扭转§3.8

剪切和挤压的实用计算§

3.9

密圈圆柱螺旋弹簧的应力和变形§3.1扭转的概念和实例F一.工程实例主要承受扭转力矩的轴类零件FFF二.受力特点:力偶矩作用面垂直轴线,即作用在横截面内四.变形特点任意两横截面产生相对转动五.主要研究对象以圆轴为主(等直轴,阶梯轴,空心轴)三.

受力简图圆轴扭转三维动画实例:§3.2

外力偶矩的计算

扭矩和扭矩图PMe=9549

n(kW)(N

.m)(r/min)3.传动机构可根据传动比进行计算一.外力偶矩的计算直接给出Me(N•m)给出功率,转速m(N•m/m)二.横截面上的内力MeMexMeMxMx截面法求内力：切，取，代，平Mx为截面上的扭矩按右手螺旋法：Mx

指离截面为正，三.内力图(扭矩图)指向截面为负。如同轴力图一样,将扭矩用图形表示称扭矩图MxXSMx=0Mx-Me=0Mx=MePD,``例3-1

已知n

`

PA`PB

PC作内力图。(1)计算外力偶矩eA

AM =

9549

·P

/n=1591.5

N·mMeB

=477.5

N·mMeC

=477.5

N·mMeD

=636.5

N·mMx(Ⅰ2=)-M采e用B=正-4向77假.5

定N·内mMx力Ⅱ=的-M方eB法-M可eC省=-去95切5

N·Mx取Ⅲ代=

平M的eD=过6程36.5

N·mMx/N·m477.5955636.5MeA

MeDMeB

MeCⅠⅠⅡⅢⅡⅢMx图特点：有Me作用处,Mx图有突变,突变值=Me;无力偶作用段,Mx图为水平线;有均布力偶作用段,Mx图为斜直线.右起反之Mx(x)

=m

x列扭矩方程的简便方法:Mxx在正向假定内力的前提下左起向上方的Me产生正的Mx向下方的Me产生负的Mx

mlxlm§3.3

薄壁圆筒的扭转`纯剪切Me

x

dxMe

x

dxdxγ实验观察

dx没变

D没变分析变形

ex=0

eq=0s

x

=

0sq=0gt一.薄壁筒扭转实验由于取的为薄壁,所以认为内壁与外壁变形相同,t沿t均布用平衡方程可求得:At

dA

rMx2pr

2tMx

=t

=取出微块二.切应力互等定理由微块的平衡条件可知:在受力构中取出互相垂直的两个平面,要有切应力,必大小相等,方向同时指向或指离两个面的交线。这一现象称为切应力互等定理。tdydxtt't

dy

t dx

=

t`

dx

t

dyt=

t`t相互垂直两平面，有切应力必成对,t方向垂直于交线，头对头或尾对尾。切应力互等定理口诀三.纯剪切四.剪切胡克定律jMe当六面体只有四个面上有应力且只有切应力的情况称纯剪切,这种状态称纯剪切状态。这是一种非常特殊也非常重要的状态，以后将经常遇到。tMetgjtPt实验表明：t

£

tPGt=

Ggt

g剪切胡克定律切变模量对各向同性材料可以证明：E,G,m

三者关系:§3-4

圆轴扭转时的应力与强度条件一.圆轴扭转时横截面上的应力Megdx实验观察:完全同薄壁筒扭转推理：外

里假设：刚性平面gdjdxd/2

rgr1.几何方程d表面处

gdx

=

2

djdx=

r

djgg

dx

=

rdjrrr处2.物理方程t£

trt=

Ggdxr=

Gr

djtr

=

GgMx三.静力方程dAMx

trrrMx

=

A

rtr

dAAdxdj=

G

r2dAdxAr2dA=

G

dj横截面对圆心的极惯性矩GIP抗扭刚度Wptmax=

Mx抗扭截面模量maxpIpr令

W

=pmaxIMx

r

xmat

=A2Pr

dAI

=令djMx

=

G

dx

Ip1.

实心圆截面直径dA2Pr

dAI

=drrr=2d02prdr22d03r

dr=

2p322dpd4=16pd3=maxpIrW

=

P

pd4=

32四.

IPWp

计算2.

空心圆截面外径D内径dPAI

=r2dA

=r2

2prdrD2d2r-pD4

pd4=α=

d/D)4(1

-

a32pD

432

32

=164(1

-

a

)pD3=(

)2D32441

-

a

/Ip

pD=rmaxWp

=三.

圆轴扭转时斜截面上的应力tay由于圆轴扭转横截面上的

应力分布是线性的，这时

不能象拉伸那样沿斜截面

切开，可以取微体来研究。在表面处取出单元体为纯切应力状态。求a面上的应力时可应用截面法：tsatat

axnan

=

0sa

=

-tsin

2at

=

0at

=

t

COS2asa

=

-tsin

2ata

=

t

COS2a1.

sa=f(a),

ta=g(a)2.

sata

有极值存在3.

比较极值,求smax

tmax-

45t90

000tmin

=

-t(90

)max=

t

(0

)a

sa

ta

t45

-

t

0-

t

t0smin

=-t

(45

)max=

t

(-45

)ssmintsmax讨论:四.圆轴扭转时的强度条件对等直轴:危险截面为Mxmax截面,危险点为圆轴周边各点强度条件为Wpmaxt

=

Mxmax

£

[t][t]为材料的许用切应力对变截面轴:要各段分别计算，找出tmax当Mx=C，显然发生在dmin（Wpmin）处例3.2已知:

D=76mm,t=2.5mm,[t]=100MPa求:(1)校核扭转强度(2)改为强度相同实心轴,求W空/W实安全198097

.5

·10

6D1

=

46

.9mm 1

=16pD

3tmax=97.5tmax=97.5Wpmax1.

t =Mxmax

=

97

.5MPa

<

[t]=

97

.

5MPa2

.令实心轴tmax=MxmaxW

p6Wp

=Mxmax97.

5

·10=

0

3343.比较W实

A实W空

=

A空显然,空心轴比实心轴的重量轻,节省了材料.在扭轴设计中,选用空心轴是一种合理的设计.§3.5

圆轴扭转时的变形与刚度条件一.两横截面间绕轴线的相对扭转角j由前节dx

GI=P

Pdj

Mx

Mxdj

=

dxGIGIL0PMx

dxL

dj

=j

=LPGId

j

=

MxL2.

当Mx

GIP在分段内不`变化时1.

L当 段内MxGIP均不变化时`

i

i

Gi

IPiMx

Lj

=3.

当Mx

d沿x轴连续变化`

时mdxL0GI

P

(x)Mx(x)j

=PmaxGI

p=

Mxmax

180

£[q](

/

m)二.刚度条件对于等直圆轴：q工程中的某些构件(车床主轴`凸轮轴…)对刚度要求比较高,衡量刚度(变形)的程度用单位长度的扭转角q。q

=

dj

=

Mx

(rad/m)dx

GIP工程中习惯采用[q]（°/m）故刚度条件:q£[q]对圆轴扭转刚度条件:qmax£[q]对于等直圆轴maxpWt

=

Mxmax

£

[t]GI

Pmaxq

=

Mxmax

180

£

[q]p(

/

m)强度条件:tmax£[t]校核设计确载刚度强度

条件解决三类问题强度刚度结构校核满足满足满足设计确载d1

d2[Me]1

[Me]2{d1、d2}max{[Me]1、[Me]2}min强调:对扭转的轴来说,一般情况下,不论是校核、确载、设计三方面的问题必须要同时满足强度、刚度条件。例3.3已知:PA=6kW、PB=4kW、PC=2kW[t]=30MPa

、[q]=1⁄m、G=80GPa、n=208转/min,求：d=？MeAMeBMeC解:(1)

计算外力矩:eBM

=183.6N·mMeC=91.8N·m(2)绘制扭矩图neM

=

9549

PAMx/N·m183.6(+)(-)91.8MeA=275.4N·mMx/N·m183.6(+)(-)91.8maxMx

=

183.6N

m(3)由强度条件WpMxmax£

[t]tmax

=3

16Mx

max-3=

31.5

·10

mp

[t]d

1

‡PMx

180maxGI

pq=

max

£

[q]\

d

=

{d1

,d2

}max

=

34mm10

m34G

[

]24

32Mxmax-3=qpd2

‡·(4)由刚度条件MeMejjj四.圆轴扭转时弹性变形能Me2U

=

W

=

1

Mej1.

当Mx沿x为连续函数Mx（x）m2U=W=

1

MejGI

Pj

=

Mx(x)dxdxPMx

2

(x)U

=

2GI2.

当Mx、GIP在分段内不变化GiIPij

=

Mx

i

Li3.

当L段内Mx、GIP不变化GIPj

=

MxL2

GI

PM

2

L

x

U

=ni=1

2GiIPiU

=

ix

iM2

L4.比能若取单元体属纯剪切状态tttg£

t

p=

G

gg2G1比能ug2=t2=

2G=

2

tg可以看出:变形能仍为载荷(扭矩)的二次函数.§3.6

非圆截面杆扭转的概念一.非圆截面杆和圆截面杆扭转时的区别变形特点:刚性平面横截面不再为平面.前面的公式均不适用.非圆截面用材料力学的理论方法求解不了.书中结论均为弹性理论得到的结论.二.矩形截面杆的扭转bhmax1a

b

g查表3.1It=b

hb

3MxLt3=GIj

=G

b

hbt1

=

gtmaxMxL由切应力互等定理可证得横截面上切应力分布特点:周边的t必与周边相切外尖角处t”0

Mx=a

hb

2tmax§3.7

薄壁杆件的自由扭转本节只讨论薄壁杆件自由扭转时应力的分布规律及开口、闭口薄壁杆件扭转时的区别及承载能力比较。一.开口tGItiI=

Mxd

itn3i

ih31dI

t

=

hi

=

1h-修正系数j

=

MxLMx当壁厚变化时tmax

发生在dmax

处h1

3Ii

itmaxni

=

1d

3Mx

dmax==

Mxdmaxtt与边界相切,形成顺流二.闭口MxMxtminminmaxMxLs4Gw

2t2wddj

==t

=t

=

td

=

ct称为剪力流btMxtmax

发生在dmin处S-中线长-中线所围面积例3.5已知:相同尺寸的有缝、无缝钢管,截面上扭矩Mx相同,比较抗扭强度、刚度.解:设中径为d,壁厚为t2tpd2t1Mx

=

2Mxt

=34MxLj1

=24G

L

Gpd

tMxsL=23MxMxt=1

/

3pdt3

pdt2t

=j2

=

G

/

3pd3t3

=

Gpdt3d设

=

20t302

t3

d1==tt

24

t3

d)

2(

=

300

2

=MxL

3MxLj

1j可见开口比闭口的强度和刚度都大大下降§3.8

剪切和挤压的实用计算一.剪切构件的受力和变形特点FF受力特点:作用在构件两侧上外力的合力大小相等、方向相反，且作用线相距很近变形特点:位于两个力间的截面(剪切面)发生相对错动工程实例:钉`销钉`螺栓`键（花键`平键）动画实例演示内力分析:比较复杂实用计算方法:根据剪切破坏的实际情况,作出反映实际的假设,简化计算二.剪切的实用计算FF认为受剪面上只有剪力FQt平行FQ,方向同FQ切应力在受剪面上均匀分布FFQFt剪切强度条件单剪FQ=FFF双剪FQ=F/2FF应用破坏计算（安全销、安全阀、安全计算(联接的钉、键要满足剪切强度条件)冲剪板…)三.挤压的实用计算联接件与被联接件之间接触--挤压力Fbs、挤压面、挤压面积Abs假定在挤压面上挤压应力是均匀分布的当接触面为圆柱形,用直径平面作为挤压面挤压强度条件Absbsbss£

[s

]=

Fbsdtsbsdt

Abs

=

td§

3.9

密圈圆柱螺旋弹簧的应力和变形FFad结构特点及主要尺寸实体圆截面弹簧d<<D=2Rα<54.有效圈数n一.簧杆横截面上的内力FR

FQ=FMx=FR