线性代数高职PPT完整全套教学课件

第一章行列式

行列式的定义1.1

行列式的性质与计算1.2克莱姆（Cramer）法则

1.31.1行列式的定义1.1.1二阶和三行列式1.1.2n阶行列式的定义1.1.3几个常用的特殊行列式一元一次方程ax=b当a≠0时，二元（三元）线性方程组例解二元线性方程组得于是1.1.1二阶与三阶行列式类似地，可得线性方程组消去x2:的两边后,两式相加得消元法类似地，可得记称它为二阶行列式，定义为:二阶行列式D的展开式于是，线性方组（1）的解可以写为类似的，我们还可以定义三阶行列式为1.1.2

n阶行列式的定义更多举例，请各位同学见课本！1.1.3几个常用的特殊行列式形如与其特点：是主对角线以下（上）的元素全为0不妨计算下三角行列式的值:得出其结果同理，可得上三角行列式：特别地:

非主对角线上元素全为零的行列式称为对角行列式。易知综上所述，

上，下三角形行列式和对角行列式的值都等于其主对角线上元素的乘积对角行列式的求值1.2行列式的性质与计算1.2.1行列式的性质1.2.2利用“三角化”计算行列式推论1两行（列）相同的行列式值为零.行列式与它的转置行列式相等.1.2.1行列式的性质性质2交换行列式的两行（列）行列式变号性质1性质3用数k乘行列式的某一行（列），等于用数k乘此行列式例如：则：推论2行列式的某一行（列）中所有的元素公

因子可以提到行列式符号外面推论3行列式中若有两行（列）元素成正比例，则此行列式为零例如:(列对应成比例)性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和

例如：性质5把行列式的某行（列）的各元素同一倍数k后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变例如：1.2.2利用“三角化”计算行列式

在计算行列式时，常用行列式的性质，把它转化为三角形行列式来计算.化为上三角形行列式的步骤是：1.如果第一列第一个元素为0，先将第一行与其他行交换，使得第一列第一个元素不为02.把第一行分别乘以适当的数加到其他各行，使得第一列除第一个元素外其余元素全为03.同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式4.如此继续下去，直至使它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.下面举几个相对应例题例解：例注：证明n阶范德蒙行列式课后完成

设线性方程组

定理

（Cramer法则）若线性方程组（1）的系数行列式不等于零，1.3克莱姆（Cramer）法则则其中

则方程组有唯一解

证先证（2）是（1）的解，即要证明

为此看n+1

阶行列式首先，因为第

1

行与第i+1

行相同,所以它的值为零.再把它按第1行展开，注意到，其第一行中

aij的代数余子式为故有

即因而

是线性方程组（1）解.

设x1=c1,x2=c2,x3=c3

是线性方程组（1）的解,于是有：

3个恒等式A12,A22,An2

分别乘以上的3个等式得相加,得类似的可得于是也就是由于

例

用Cramer法则解线性方程组

解因为所以

定理

如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0

，那么它只有零解.下述齐次方程组有非零解？解根据定理，若此齐次线性方程组有非零解，则其行列式必为

0.而所述方程组确有非零解.

第二章矩阵

矩阵及其运算2.1逆矩阵2.2分块矩阵2.3

矩阵的秩2.4初等矩阵2.52.1矩阵及其运算2.1.1矩阵的概念2.1.2矩阵的加法2.1.3数与矩阵的乘法2.1.4矩阵的乘法2.1.5矩阵的转置2.1.6方阵的幂2.1.7方阵的行列式2.1.8对称矩阵2.1.9共轭矩阵

定义1由

m×n个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列数表称为m×n

矩阵.记成2.1.1矩阵的概念*七种特别矩阵：

定义设A=(aij

),B=(bij

)都是m×n矩阵,矩阵A与B的和记成A+B,例

规定为2.1.2矩阵的加法

矩阵的加法运算满足规律：2.(A+B)+C=A+(B+C)(结合律)3.A+0=A4.设A=(aij

),记–A=(−aij

),规定A−B=A+(−

B)

称–A

为A,1.A+B=B+A(交换律)的负矩阵易知：

A+(−A)=0

定义

2.1.3数与矩阵的乘法例

若规定3A=A3解数乘矩阵的运算满足规律：A,B为矩阵.

定义

设A=(aij)是一个m×s

矩阵,B=(bij

)

是一个s×n矩阵A

与B的乘积记成

AB，即C=AB.规定

A与B

的积为一个m×n

矩阵C=(cij

)

AB=ABm×ss×nm×n

2.1.4矩阵的乘法例

例例

例例一般，AB≠BA,

若

A，B

满足AB=0,未必有A=0或B=0

的结论.

n阶矩阵

称为单位矩阵.

即矩阵的乘法不满足交换律.例

n阶矩阵称为对角矩阵.两个对角矩阵的和是对角矩阵，两个对角矩阵的积也是对角矩阵.如果A为

m×n

矩阵，那么PS:矩阵的乘法满足下述运算规律:解1解2矩阵的幂A是一个n阶矩阵,k

是一个正整数,规定矩阵的幂满足规律对于两个n阶矩阵A与B，例

解一

解二

例

已知线性方程组如果记那么上述线性方程组可记成于是

定义将矩阵

A的各行变成同序数的列得到的

矩阵的转置满足下述运算规律：记为AT.矩阵称为

A的转置矩阵,2.1.5矩阵的转置

解因为所以

*矩阵

A称为对称矩阵，

容易知道,A=(aij)n×n是对称矩阵的充要条件i,j=1,2,……,n.

矩阵

A称为反对称矩阵，如果AT=A.如果AT=−A.

矩阵A=(aij)n×n是反对称矩阵的充要条件是aij=−aji,

aij=aji,i,j=1,2,……,n.

例

如果A是一个

n

阶矩阵，那么，A+AＴ是

对称矩阵．

证因为A−AＴ是反对称矩阵．所以A+AＴ是对称矩阵．因为所以A−AＴ是反对称矩阵．

例

设

A为m×n

矩阵,

证由矩阵的乘法可知AAＴ是

m阶的.所以AAＴ是对称矩阵.1.证明H为对称矩阵.

因为2.计算H2

.1.证因为所以H为对称矩阵.2.1.6方阵的幂定义例解2.1.7方阵的行列式

方阵的行列式运算满足下述规律，

定义

由n

阶矩阵

A的元素构成的行列式，称为方阵A

的行列式,2.1.8对称矩阵定义则称为对称矩阵2.1.9共轭矩阵定义共轭矩阵共轭矩阵满足以下运算规律(设A，B为复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的)：那么于是几个例题：2.设

A

为3

阶矩阵,那么于是2.2逆矩阵2

.2.1逆矩阵的概念2.2.2伴随矩阵及其与逆矩阵的关系2.2.3矩阵方程

定义

设

A

是n

阶矩阵，若有

n

阶矩阵

B使

如果矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一

的，记其为A-1.

定理

若矩阵A是可逆的，

证因为

A可逆，

则称A是可逆矩阵，称B为A的逆矩阵

AB=BA=E即有A-1

使AA-1=E.所以|A|≠0.则|A|≠0.2.2.1逆矩阵的概念

设

A

是n

阶矩阵，如果|A|≠0,那么A称为非奇

异矩阵.

A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|≠0

．

A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异的．

定理

若|A|≠0，则A

可逆,且

例

判断下列矩阵是否为可逆矩阵？

解因为所以A为可逆矩阵，B是不可逆矩阵．

推论设A,B都为

n

阶矩阵,则A

为可逆矩阵，若AB=E，

例

因为所以方阵的逆矩阵满足下述运算规律：则AB也可逆，且3.设A,B

为同阶可逆矩阵,2.2.2伴随矩阵及其与逆矩阵的关系

定义

设A

是

n阶矩阵，的代数余子式Aij

所构成的矩阵由行列式|A|的各元素称为矩阵A的伴随矩阵

例

求矩阵的逆矩阵.

解由知A

的逆矩阵A-1

存在.

再由得：

例

已知求矩阵X满足AX=C

解由例3知A-1存在，于是得X=A-1C

，即2.2.3矩阵方程2.3分块矩阵2.3.1分块矩阵的概念2.3.2分块矩阵的运算2.3.3分块对角矩阵的运算子块

用分块法计算矩阵A与B的乘积,左矩阵

A

的列的分法与右矩阵B

的行的分法一致.其运算规则与普通矩阵的运算规则类似.

分块矩阵

分块法计算矩阵的乘积2.3.1分块矩阵的概念

解

把A，B

分块成其中则而所以分块矩阵的转置设分块矩阵那么分块矩阵其中Ai都是方阵，称为分块对角矩阵．2.3.2&3分块矩阵的运算则A是可逆矩阵，并有解用分块法.令可得

例

设B

为n阶矩阵,若把按B列分块为于是

若A

也是n

阶矩阵,便有AB

=2.4矩阵的秩2.4.1矩阵秩的概念2.4.2初等变换求矩阵的秩

定义

在m×n

矩阵

A

中任取

k

个行与

k

个列,

定义

如果矩阵A中有一个

k阶子式D≠0，

且所有的k+1

阶子式都等于

0,则称D为

A的一个最高阶非零子式.数

k称为矩阵A

的秩，矩阵A

的秩记成R(A).零矩阵的秩规定为0.

位于这些行与列交叉处的元素而得的

k阶行列式,称为矩阵

A

的一个k

阶式.2.4.1矩阵秩的概念

解在A中有一个2阶子式3阶子式都等于零，所以R(A)=2.

解在A中有一个3阶子式且A

中所有的4阶子式都等零,所以R(A)=3.

行阶梯形矩阵的秩=其非零行的行数.2.4.2初等变换求矩阵的秩求矩阵

A

的秩:1.根据矩阵秩的定义.

2.根据定理.

行阶梯形矩阵的秩=其非零行的行数（定义）.

矩阵A的秩=此行阶梯形矩阵的秩（据定理）．

例3

求下列矩阵的秩

解用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.Ar1←→r2～r2-2r1r2←→r3～r3+4r2因此，R(A)=3.

例4求下述矩阵的秩

解用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.～因此，R(A)=2.Ar1←→r3r2-2r1r3-2r1～2.5初等矩阵2.5.1初等矩阵的概念2.5.2初等变换求逆法2.5.3有关矩阵秩的一些结论E～2.5.1初等矩阵的概念定义

由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵

称为初等矩阵.初等矩阵以下有三种：E～～E=E.因此，由于初等矩阵是可逆矩阵，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵.=E.因此，由于=E.因此，由于定理

对矩阵A

施行一次初等行（列）变换相

当于以相应的初等矩阵左（右）乘A.例

证明必要性设

A

为可逆矩阵.因为A～E,所以

E

经有限次初等变换可以化为A，也就是存在初等矩阵P1,P2,…,Pk,

使A=P1……PiE

Pi+1……Pk.

定理

设A

为n阶矩阵,则

A是可逆矩阵的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pk

，使A=P1P2…Pk

即A=P1P2……Pk

推论矩阵A～B(A

与

B等价）的充要条件是存在可逆矩阵

P和

Q使PAQ=B

充分性因为初等矩阵是可逆矩阵，可逆矩阵的乘积也是可逆矩阵.所以,当P1,P2,…,Pk为初等矩阵,

A=P1P2…Pk

时，A

是可逆矩阵.2.5.2初等变换求逆法

设

A

为可逆矩阵,据定理5，有初等矩阵P1,P2,…,Pk,使

A=P1P2…Pk.于是有还有所以

由（1）和（2）式，根据定理4可知，可逆矩阵A

经一些初等行变换可化为E，E

经同样一些初等行变换可变为A-1.～～～解：所以

～2.5.3有关矩阵秩的一些结论

定理两矩阵的乘积的秩不大于各因子矩阵的秩于是由推论2可知定理证明略

高斯消元法3.1

线性方程组的相容性定理3.2向量组的线性组合3.3向量组的线性相关性3.4向量组的秩

3.5

线性方程组解的结构3.6第三章线性方程组

线性方程组称为n

元齐次线性方程组.A称为方程组的系数矩阵．记为3.1高斯消元法定理

n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A

的秩R(A)<n.例13元齐次线性方程组是否有非零解？r2-r1r3-3r1

r4-r1～r3-r2

r4-2r2～所以此齐次线性方程组有非零解.可知R(A)=2.因为R(A)=2＜3

解由

解用初等行变换化系数矩阵有非零解.R(A)=2<3.性方程组有非零解.～～

n元非齐次线性方程组记其中Ax=bA称为非齐次线性方程组的系数矩阵,B称为增广矩阵.于是，这个非齐次方程组可以记为定理

n元非齐次线性方程组Ax=b

有解的充分必要条件是R(A)=R(B),其中B=(Ab)为非齐次线性方程组Ax=b

的增广矩阵.

例3判断下列非齐次线性方程组是否有解解用初等行变换化其增广矩阵～～由此可知，R(A)=3,R(B)=4，即R(A)≠R(B)，因此方程组无解.3.2线性方程组的相容性定理定理1线性方程组有解的充分必要条件是

当r(A)=r([A┆b])=r时，方程组(3.1)有解，而且有r个基本未知元，有n-r个自由未知元，易知，只要方程组有自由元，方程组(3.1)的解就有无穷多个，而当方程组没有自由元时，即r=n时，解才唯一.这一点可归结为下述定理：定理2设对于线性方程组(3.1)有r(A)=r([A┆b])=r，则当r=n时，线性方程组(3.1)有唯一解(n是未知数的个数).定理3设对于线性方程组(3.1)r(A)=r([A┆b])=r，则当r<n时，线性方程组(3.1)有无穷多组解(n是未知数的个数).定理4齐次方程组(3.2)有非零解的充分必要条件为r(A)<n.

例

a,b

取何值时，非齐次线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？～～解：由此可知：

（1）当a≠−1时，R(A)=R(B)=4,方程组有唯一解；（2）当a=−1，b≠0时R(A)=2,而R(B)=3,方程组无解；（3）当a=−1，b=0时，R(A)=R(B)=2,方程组有无穷多个解.3.3向量组的线性组合3.3.1n维向量及其线性运算

3.3.2向量组的线性组合3.3.3向量组间的线性表示定义1n个有次序的数a1，a2，…，an所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量.分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量n维向量可写成一行，也可写成一列.按第2章的规定，分别称为行向量和列向量若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合称为向量组3.3.1n维向量及其线性运算定义2两个n维向量α=(a1，a2，…，an)T与β=(b1，b2，…,bn)T的各对应分量之和组成的向量，称为向量α与β的和，记为α+β，即由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：定义3n维向量α=(a1，a2，…，an)T的各个分量都乘以实数k所组成的向量，称为数k与向量α的乘积(又简称为数乘),记为kα,即向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算与行(列)矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律(其中α，β，γ∈

Rn，k，l∈R)：(1)α+β=β+α;(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)α+0=α;(4)α+(-α)=0;(5)1α=α;(6)k(lα)=(kl)α;(7)k(α+β)=kα+kβ(8)(k+l)α=kα+lα.【例1】设α=(2,0,-1,3)T,β=(1,7,4,2)T,γ=(0,1,0,1)T.(1)求2α+β-3γ;(2)若有x,满足3α-β+5γ+2x=0,求x.【解】2α+β-3γ=2(2,0,-1,3)T+(1,7,4,-2)T-3(0,1,0,1)T

=(5,4,2,1)T3.3.2向量组的线性组合考察线性方程组令则线性方程组可表示为如下向量形式：线性方程组是否有解，就相当于是否存在一组数k1，k2，…，kn使得下列线性关系式成立：定义4给定向量组A：

α1，α2，…，αs，对于任何一组实数k1，k2，…，ks，表达式k1α1+k2α2+…+ksαs称为向量组A的一个线性组合，k1，k2，…，ks称为这个线性组合的系数，也称为该线性组合的权重.定义5给定向量组A：α1，α2，…，αs和向量β，若存在一组数k1，k2，…，ks

，使定理1设向量β，αj(j=1，2，…，s)由上式给出，则向量β能由向量组α1，α2，…，αs线性表示的充分必要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αs)与增广矩阵A=(α1，α2，…，αs,β)的秩相等则称向量β是向量组A的线性组合，又称向量β能由向量组A线性表示(线性表出).3.3.3向量组间的线性表示定义6设有两向量组A∶α1，α2…αs;B:β1,β2,…,βt,若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价.按定义，若向量组B能由向量组A线性表示，则存在k1j，k2j，…，ksj

(j=1，2，…，t)，使定理2若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性表示.证明

由定理的条件，存在系数矩阵M，N使得A=BM，B=CN，由此得A=CNM=CK,其中K=NM,即向量组A可由向量组C线性表示.【例6】已知向量组B：β1,β2由向量组A：α1，α2线性表示为：β1=α1-α2，β2=α1+α2，试将向量组A的向量用向量组B的向量线性表示.【解】

由

β1=α1-α2，

β2=α1+α2，

将两式相加得β1+β2=2α1，

将两式相减得β1-β2=-2α2，所以有

α1=(β1+β2)／2；α2=(β2-β1)／2.3.4向量组的线性相关性3.4.1线性相关性的概念

3.4.2线性相关性的判定3.4.1线性相关性的概念定义给定向量组A：α1，α2，…，αs

，如果存在不全为零的数k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0则称向量组A线性相关，否则称为线性无关.从上述定义可见：(1)向量组只含有一个向量α时，α线性无关的充分必要条件是α≠0.因此，单个零向量0是线性相关的.（式一）进一步还可推出，包含零向量的任何向量组都是线性相关的.事实上，对向量组α1,α2，…，0，…，αs恒有0α1+0α2+…+k·0+…+0αs=0其中：k可以是任意不为零的数，故该向量组线性相关.(2)仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例.两向量线性相关的几何意义是这两个向量共线.(3)三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.

最后我们指出，如果当且k1=k2=…=ks=0时(式一)才成立，则向量组α1，α2，…，αs是线性无关的，这也是论证一向量组线性无关的基本方法.3.4.2线性相关性的判定定理1向量组α1，α2，…，αs

(s≥2)线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示.证明

必要性

设α1，α2，…，αs线性相关，则存在s个不全为零的数k1，k2，…，ks

，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0成立.不妨设k1≠0,于是

充分性设α1，α2，…，αs中至少有一个向量能由其余向量线性表示，不妨设

即故α1，α2，…，αs线性相关.即α1可由其余向量线性表示.定理2设有列向量组(j=1,2,…,s)则向量组α1，α2，…，αs线性相关的充要条件是：矩阵A=(α1，α2，…，αs)的秩小于向量的个数s.推论1s个n维向量组α1，α2，…，αs线性无关(线性相关)的充要条件是：矩阵A=(α1，α2，…，αs)的秩等于(小于)向量的个数s.推论2n个n维列向量组α1，α2，…，αn线性无关(线性相关)的充要条件是：矩阵A=(α1，α2，…，αn)的行列式不等于(等于)零.上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时，此向量组必线性相关.定理3若向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.推论4线性无关的向量组中的任一部分组皆线性无关.定理4若向量组α1，α2，…，αs

，β线性相关，而向量组α1，α2，…，αs线性无关，则向量β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一.定理5设有两向量组A:α1,α2,…,αs;B:β1,β2,…,βt,向量组B能由向量组A线性表示，若s<t，则向量组B线性相关.推论5设向量组B能由向量组A线性表示，若向量组B线性无关，则s≥t.推论6设向量组A与B可以相互线性表示，若A与B都是线性无关的，则s=t.例3设向量组α1，α2，α3线性相关，向量组α2，α3，α4线性无关，证明：(1)α1能由α2，α3线性表示；(2)α4不能由α1，α2，α3线性表示.证明:(1)因α2，α3，α4线性无关，由推论4知α2，α3线性无关，而α1，α2，α3线性相关，由定理4知α1能由α2，α3线性表示.(2)用反证法:

假设α4能由α1，α2，α3线性表示，而由(1)知α1能由α2，α3线性表示，因此，α4能由α2，α3线性表示，这与α2，α3，α4线性无关矛盾.3.5向量组的秩3.5.1极大线性无关向量组

3.5.2向量组的秩

3.5.3矩阵与向量组秩的关系定义1设有向量组A：α1，α2，…，αs

，若在向量组A中能选出r个向量αj1，αj2，…，αjr满足(1)向量组A0：αj1，αj2，…，αjr线性无关；(2)向量组A中任意r+1个向量(若存在的话)都线性相关，则称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关向量组(简称为极大无关组).3.5.1极大线性无关向量组向量组的极大无关组可能不止一个，但由3.4推论6知，其向量的个数是相等的.定理1如果αj1，αj2，…，αjr是α1，α2，…，αs的线性无关部分组，它是极大无关组的充分必要条件是α1，α2，…，αs中的每一个向量都可由αj1，αj2，…，αjr线性表示.证明

必要性

若αj1，αj2，…，αjr是α1，α2，…，αs的一个极大无关组，则当j是j1，j2，…，jr中的数时，显然αj可由αj1，αj2，…，αjr线性表示；而当j不是j1，j2，…，jr中的数时，αj，αj1，αj2，…，αjr线性相关，又αj1，αj2，…，αjr线性无关，由3.4定理4知，αj可由αj1，αj2，…，αjr线性表示.充分性如果α1，α2，…，αs可由αj1，αj2，…，αjr线性表示，则α1，α2，…，αs中任何包含r+1(s>r)个向量的部分组都线性相关，于是，αj1，αj2，…，αjr是极大无关组.由定理1知，

向量组与其极大线性无关组可相互线性表示，即向量组与其极大线性无关组等价.

3.5.2向量组的秩定义2向量组α1，α2，…，αs的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩,记为r(α1，α2，…，αs).规定：由零向量组成的向量组的秩为0.例如，前面已经讨论过，二维向量组α1=(0,1)T,α2=(1,0)T,α3=(1,1)T,α4=(0,2)T的极大无关组的向量的个数为2，故r(α1，α2，α3，α4)=2.

3.5.3矩阵与向量组秩的关系定理2设A为m×n矩阵，则矩阵A的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.证明

设A=(α1，α2，…，αn)，r(A)=s，则由矩阵的秩的定义知，存在A的s阶子Ds≠0.从而Ds所在的s个列向量线性无关；又A中所有s+1阶子式Ds+1=0，故A中的任意s+1个列向量都线性相关.同理可证，矩阵A的行向量组的秩也等于s.因此，Ds所在的s列是A的列向量组的一个极大无关组，所以列向量组的秩等于s.推论1矩阵A的行向量组的秩与列向量组的秩相等.例1全体n维向量构成的向量组记作Rn，求Rn的一个极大无关组及Rn的秩.解

因为n维单位坐标向量构成的向量组E：ε1，ε2，…，εn是线性无关的，又知Rn中的任意n+1个向量都线性相关，因此，向量组E是Rn的一个极大无关组，且Rn的秩等于n.定理3若向量组B能由向量组A线性表示，则r(B)≤r(A).由向量组等价的定义及定理3可得到：推论2等价的向量组的秩相等.推论3设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个极大无关组.证明

设向量组B含有s个向量，则它的秩为s，因向量组A能由向量组B线性表示，故r(A)≤s，从而向量组A和任意s+1个向量线性相关，所以向量组B是向量组A的一个极大无关组.3.6线性方程组解的结构3.6.1齐次线性方程组解的结构3.6.2

非齐次线性方程组解的结构设有齐次线性方程组若记3.6.1齐次线性方程组解的结构则方程组(3.19)可改写为向量方程Ax=0,(3.20)称矩阵方程(3.20)的解为方程组性质1若ξ1，ξ2为方程组(3.20)的解，则ξ1+ξ2也是该方程的解.(3.19)的解向量.性质2若ξ1为方程组(3.20)的解，k为实数，则kξ1也是方程组(3.20)的解.注意：齐次线性方程组若有非零解，则它就有无穷多个解.定义1若齐次线性方程组Ax=0的有限个解η1，η2，…，ηt满足：(1)η1，η2，…，ηt线性无关；(2)Ax=0的任意一个解均可由η1，η2，…，ηt线性表示，则称η1，η2，…，ηt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.定理1对于齐次线性方程组Ax=0，若r(A)=r<n，则该方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于n—r，其中n是方程组所含未知量的个数.下面给出求齐次线性方程组Ax=0的基础解系的方法.设r(A)=r<n，对矩阵A施以初等行变换，化为如下形式：写出齐次线性方程组Ax=0的同解方程组：其中xr+1，xr+2，…，xn是自由未知量.分别取代入式，即可得到方程组Ax=0的一个基础解系η1，η2，…，ηn-r.【解】对系数矩阵A作初等行变换，化为行最简形矩阵，有可得题设方程组的通解方程组由此可写出所求通解3.6.2非齐次线性方程组解的结构设有非齐次线性方程组它也可写作向量方程Ax=b,(3.24)称Ax=0为Ax=b对应的齐次线性方程组(也称为导出组).性质3设η1，η2是非齐次线性方程组Ax=b的解，则η1-η2是对应的齐次线性方程组Ax=0的解.证明A(η1-η2)=Aη1-Aη2=b-b=0，即η1-η2为对应的的齐次线性方程组Ax=0的解.性质4设η是非齐次线性方程组Ax=b的解，ξ为对应的齐次线性方程组Ax=0的解，则.ξ+η为非齐次线性方程组Ax=b的解.证明A(ξ+η)=Aξ+Aη=0+b=b，即ξ+η是非齐次线性方程组Ax=b的解定理2设η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的通解，则x=ξ+η*是非齐次线性方程组Ax=b的通解.证明根据非齐次线性方程组解的性质，只需证明非齐次线性方程组的任一解η一定能表示为η*与Ax=0的某一解ξ1的和.为此取ξ1=η-η*.由性质3知，ξ1是Ax=0的一个解，故η=ξ1+η*，即非齐次线性方程组的任一解都能表示为该方程组的一个解η*与其对应的齐次线性方程组某一个解的和综合前述讨论，设有非齐次线性方程组Ax=b，而α1，α2，…，αn是系数矩阵A的列向量组，则下列四个命题等价：(1)非齐次线性方程组Ax=b有解；(2)向量b能由向量组α1，α2，…，αn线性表示；(3)向量组α1，α2，…，αn与向量组α1，α2，…，αn，b等价；(4)r(A)=r(A┆b).由r(A)=r(A)=2<5，知方程组有无穷多解，且原方程组等价于方程组将它们分别代入方程组(3.25)的导出组中，可求得基础解系求特解：令x3=x4=x5=0，得x1=-9／2，x2=23／2，故所求通解为其中c1，c2，c3为任意常数第四章相似矩阵及二次型向量的内积和向量组的正交单位化4.1矩阵的特征值与特征向量4.2相似矩阵4.3

4.4二次型二次型4.1.2向量组的正交单位化4.1.1向量的内积4.1向量的内积和向量组的正交单位化定义1设有2个n维向量令(α,β)=a1b1+a2b2+…+anbn则(α,β)称为向量α与β的内积4.1.1向量的内积

内积是向量的一种运算，如果用矩阵记号表示，向量的内积还可写成内积满足下列运算规律(其中α,β,γ为n维向量，λ为实数)：(1)(α,β)=(β,α)(2)(λα,β)=λ(α,β)(3)(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ)定义2设‖α‖=(α,α)=a21+a22+…+a2n,称‖α‖为n维向量α的长度(或范数).当‖α‖=1时，称α为单位向量.对于任何非零向量α，1‖α‖α称为向量α的单位化.向量的长度具有下述性质:(1)非负性：当α≠0时，‖α‖＞0，当α=0时，‖α‖=0(2)齐次性：‖λα‖=‖λ‖‖α‖(3)三角不等式：‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖定义3当(α,β)=0时，称向量α与β正交.定义4若非零向量组α1，α2，…，αs中的任意2个向量都是正交的，则称这个向量组为正交向量组.例如,n维单位向量ε1,ε2,…,εn是正交向量组，因为定理

若n维向量α1,α2,…,αs是正交向量组，则α1,α2,…,αs线性无关.

证明用反证法，假设有s个不全为零的λ1,λ2,…,λs,使得

λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0以αTi左乘上式两端，得λiαTiαi=0

因αi≠0,故αTiαi=‖αi‖2≠0,从而λi=0(i=1,2,…,s)，与假设相矛盾，于是向量组α1,α2,…,αs线性无关.4.1.2向量组的正交单位化线性无关的向量组α1，α2，…，αs不一定是正交向量组，不过总可以找一组两两正交的单位向量γ1,γ2,…,γs与α1，α2，…，αs等价，称为将向量组α1，α2，…，αs正交单位化.下面介绍将线性无关的向量组α1，α2，…，αs正交单位化的施密特(Schmidt)过程.设α1，α2，…，αs线性无关,首先取β1=α1再取β2=α2+λβ1(其中λ待定),由(β2,β1)=(α2+λβ1,β1)=(α2,β1)+λ(β1,β1)=0

【解】取β1=α14.2矩阵的特征值与特征向量4.2.1特征值与特征向量4.2.2特征值与特征向量的求法4.2.1特征值与特征向量定义1设A为n阶方阵,若存在数λ和非零的n维向量x,使得Ax=λx(4.1)则称数λ为矩阵A的特征值,称x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量.若将式(4.1)改写成(λE-A)x=0(4.2)则式(4.2)为齐次线性方程组,而它有非零解的充分必要条件为det(λE-A)=0(4.3)式(4.3)的左端det(λE-A)为λ的n次多项式,因此A的特征值就是该多项式的根.而与特征值λ对应的特征向量便是齐次线性方程组(4.2)的非零解.定义2设矩阵则称矩阵

4.2.2特征值与特征向量的求法下面先举一个例子,然后介绍矩阵A的特征值与特征向量的求法.【解】先写出A的特征多项式如下:再求特征多项式的根,即解方程(λ-1)(λ-3)2=0所以得到A的3个特征值为λ1=1,λ2=λ3=3.求矩阵A对应于特征值λ=λ0的特征向量.利用式(4.2),将λ=λ0代入式(4.2),求出该齐次线性方程组的所有非零解,这些解均为对应于λ=λ0的特征向量.将特征值λ1=1代入式(4.2),即得齐次线性方程组(1E-A)x=0(4.8)把系数矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵取x3为自由元,得到方程组(4.8)的基础解系为于是k1α1(k1≠0),便是矩阵A的对应于特征值1的全部特征向量.把λ2=λ3=3代入式(4.2),解得齐次线性方程组(3E-A)x=0(4.9)为此,先计算对它做初等行变换化为阶梯形矩阵取x3为自由元,得到式(4.9)的基础解系于是对于任意常数k2(k2≠0),k2α2便是矩阵A的对应于特征值3的全部特征向量;由此可以得到2个重要的结论:(1)矩阵A对应于特征值λ0的特征向量乘以非零常数k仍为对应于λ0的特征向量;

(2)矩阵A对应于同一个特征值λ0的2个特征向量之和仍为对应于λ0的特征向量.上述关于矩阵A的特征值及特征向量的求法的结论,可归纳为下述定理.定理1设A为n阶方阵,则数λ0为A的特征值的充分必要条件是:λ0是A的特征多项式det(λE-A)的根;n维向量α是A对应于特征值λ0的特征向量的充分必要条件为:α是齐次线性方程组(λ0

E-A)x=0的非零解.具体计算特征值、特征向量的步骤如下：(1)写出特征多项式det(λE-A),并求出它的全部根，这就是A的全部特征值；(2)对于A的每一个特征值λ0，求出齐次线性方程组(λ0

E-A)x=0的一个基础解系α1,α2,…,αt则对于不全为零的任意常数k1,k2,…,kt,有k1α1+k2α2+…+ktαt为A对应于特征值λ0的全部特征向量.定理2对称矩阵A的不同特征值的特征向量一定是正交的

证明

设λ1与λ2是对称矩阵A的2个不同的特征值，α1，α2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量.于是有因为λ1(α1,α2)=(λ1α1,α2)=(Aα1,α2)=(Aα1)Tα2=αT1ATα2=αT1Aα2λ2(α1,α2)=(α1,λ2α2)=(α1,Aα2)=αT1Aα2所以λ1(α1,α2)=λ2(α1,α2)即(λ1-λ2)(α1,α2)=0因为λ1≠λ2，所以(α1,α2)=0，即α1与α2正交.定理3对称矩阵A的不同特征值的特征向量是线性无关的.证明

由定理3知，A的不同特征值的特征向量是正交的；又由4.1节中的定理知，其向量也是线性无关的.4.3相似矩阵4.3.1相似矩阵的概念4.3.2相似矩阵的对角化4.3.1相似矩阵的概念定义1设A与B都是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P-1AP，则称A与B是相似的，记做A～B.相似矩阵有如下性质：性质1相似矩阵有相同的行列式.证明设A～B，即存在可逆矩阵P，使得B=P-1AP，于是detB=det(P-1AP)=det(P-1)detAdetP=det(P-1)detPdetA=det(P-1P)detA=detA性质2相似矩阵具有相同的可逆性；若可逆，它们的逆矩阵也相似.证明

因矩阵的可逆性是由矩阵的行列式是否为零所决定的.由性质1知，它们具有相同的可逆性.又设A～B，且A，B都可逆.

由于B=P-1AP，故B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P由定义1知，A-1～B-1.性质3相似矩阵具有相同的特征多项式.证明

设A～B，即B=P-1AP，所以det(λE-B)=det(λE-P-1AP)=det(P-1(λE-A)P)=det(P-1)detPdet(λE-A)=det(λE-A)性质4相似矩阵具有相同的特征值.证明

由性质3立即可得性质4.定理1设A与B都是n阶矩阵，则tr(AB)=tr(BA),其中tr(AB)表示AB的迹.性质5相似矩阵有相同的迹.证明设A～B，则存在可逆矩阵P，使得B=P-1AP由定理1，得tr(B)=tr(P-1AP)=tr(P-1(AP))=tr((AP)P-1)=tr(AE)=tr(A)4.3.2相似矩阵的对角化

如果n阶矩阵A能相似于对角矩阵，则称A可对角化.设A是n阶方阵，如果可对角化，即有可逆矩阵P，使得P-1AP=D其中D为对角矩阵，即AP=PD把P进行分块，得P=[α1α2…αn]由上式得A[α1α2…αn]=[α1α2…αn]D即[Aα1Aα2…Aαn]=[λ1α1λ2α2…λnαn]于是有Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,…,Aαn=λnαn因为P是可逆矩阵，所以α1，α2，…，αn是线性无关的.满足上述等式的是A的n个特征值λ1，λ2，…，λn分别对应的线性无关的特征向量α1，α2，…，αn.由于上述推导过程可以反推回去，因此，关于矩阵A的对角化有如下结论:

定理2n阶方阵A可对角化的充分必要条件是：A有n个线性无关的特征向量α1，α2，…，αn

，此时以它们为列向量组的矩阵P，就能使P-1AP成为对角矩阵，而且此对角矩阵的主对角元依次是α1，α2，…，αn,对应的特征值为λ1，λ2，…，λn.

定理3对应于不同特征值的特征向量是线性无关的.证明

设A的s个不同特征值为λ1，λ2，…，λs，对应的特征向量分别为α1，α2，…，αs，不妨假设前r(r<s)个特征向量线性无关，则αr+1=k1α1+k2α2+…+krαr(4.10)在等式(4.10)两边同乘以λr+1，得λr+1αr+1=k1λr+1α1+k2λr+1α2+…+krλr+1αr(4.11)在等式(4.10)两边左乘以矩阵A，得Aαr+1=k1Aα1+k2Aα2+…+krAαr(4.12)利用Aαi=λiαi(i=1，2，…，s)，代入式(4.12)得λr+1αr+1=k1λ1α1+k2λ2α2+…+krλrαr(4.13)用式(4.13)减去式(4.11)，得k1(λ1-λr+1)α1+k2(λ2-λr+1)α2+…+kr(λr-λr+1)αr=0由于α1，α2，…，αr线性无关，所以k1(λ1-λr+1)=0,k2(λ2-λr+1)=0,…,kr(λr-λr+1)=0,由于λ1，λ2，…，λs，λr+1互不相同，故k1=0,k2=0,…,kr=0由此可知结论正确.由前面的讨论可知，只要把A的全部不同的特征值求出来，设为λ1，λ2，…，λs

，然后对每个λi，求出齐次线性方程组(λiE-A)x=0的一个基础解系，就是A的极大线性无关的特征向量组.如果这个向量组有n个向量，则A可对角化；如果这个向量组个数小于n，则A不可对角化.4.3.3实对称矩阵的相似矩阵

在矩阵中有一类特殊矩阵即实对称矩阵是一定可以对角化的，并且对于实对称矩阵A不仅能找到一般的可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵，而且还能够找到一个正交矩阵U，使得U-1AU为对角矩阵.在这里我们不加证明地给出这些结果定理4实对称矩阵的特征值都是实数.定理5

若A是实对称矩阵，则一定可对角化，并且一定能够找到一个正交矩阵U，使得U-1AU为对角矩阵.综上所述，对于实对称矩阵A，求一个正交矩阵U，使得U-1AU为对角矩阵的一般步骤为：(1)求出A的所有不同的特征值，设其为λ1，λ2，…，λs.因为由定理4知，n阶实对称矩阵全部特征值均为实数.(2)求出A对应于每个特征值λi的一组线性无关的特征向量，即求出齐次线性方程组(λiE-A)X=O的一组基础解系，并且利用施密特正交化过程，把此组基础解系进行正交化，单位化，所以关于n阶实对称矩阵A，一定可求出n个正交的单位化的特征向量(3)以n个正交单位化的特征向量作为列向量所得的n阶方阵即为所求的正交矩阵U，以相应的特征值作为主对角线元素的对角矩阵，即为所求的U-1AU.【解】由于AT=A，故由定理5知，一定可找到正交矩阵U，使得U-1AU为对角矩阵.(1)先求A的特征值，由求得A的不同特征值为λ1=2(二重)，λ2=-7.(2)对于λ1=2，求解齐次线性方程组(2E-A)x=0，由求得其基础解系为先正交化，令再单位化，令对于λ2=-7，求解齐次线性方程组(-7E-A)x=0.由求得其基础解系为这里只有一个向量，只需单位化，得(3)以正交单位向量组γ1，γ2，γ3作为列向量组的矩阵U就是所求的正交矩阵.即有4.4二次型4.4.1二次型的概念及矩阵表示4.4.3正定二次型4.4.2化二次型为标准型4.4.1二次型的概念及矩阵表示定义1含n个变量x1，x2，…，xn的二次齐次多项式f(x1，x2，…xn)=a11x21+a12x1x2+…+a1nx1xn+a21x2x1+a22x22+…+a2nx2xn+…+an1xnx1+an2xnx2+…+annx2n(4.14)称为n元二次型.

从二次型(4.14)的构成可知，它的矩阵形式为f(x1,x2,…,xn)=xTAx其中在平面解析几何中讨论二次曲线时，经常采用的是把二次曲线的一般方程ax2+2bxy+cy2=f(4.15)通过适当的坐标变换，例如

4.4.2化二次型为标准型把式(4.15)化为标准型：

a′x′2+b′y′2=f′.根据这一标准型方程，就可做出曲线形状的判断，该曲线是圆、椭圆还是双曲线，以及得到诸如圆的半径，椭圆、双曲线的长半轴、短半轴等数据.在这里将对二次型也进行类似的讨论.为此，引入线性变换，如设x=Cy(4.16)其中C是一个可逆的已知n阶方阵，则二次型就变形为f(x1,x2,…,xn)=xTAx=(Cy)TACy=yTCTACy(4.17)即同一个二次型若用变量y表示，其对应的矩阵就成为CTAC(4.18)于是我们所关心的是任何寻找适当的可逆矩阵C，使CTAC变成最简单的形式——对角矩阵.即任何通过满秩变换x=Cy，使得二次型用y1，y2，…，yn表示时，只有平方项而没有交叉乘积项，也就是化为

d1y21+d2y22+…+dny2n我们简称这个问题为化二次型为标准型.1.用配方法化二次型为标准型【例1】化二次型f(x1,x2,x3)=2x21+x22-8x23+4x1x2-4x1x3-8x2x3为标准型.f(x1,x2,x3)=2[x21+2x1(x2-x3)+(x2-x3)2]-2(x2-x3)2+x22-8x23-8x2x3=2(x1+x2-x3)2-x22-10x23-4x2x34.4.2化二次型为标准型再将含x2的各项配成完全平方，即f(x1,x2,x3)=2(x1+x2-x3)2-(x22+4x2x3+4x23)-6x23=2(x1+x2-x3)2-(x2+2x3)2-6x23令y1=x1+x2-x3y2=x2+2x3

y3=x3(4.19)f(x1,x2,x3)=2y21-y22-6y23(4.20)式(4.20)就是所求的标准型.式(4.19)就是从变量x到变量y之间变换式，其逆变换为x1=y1-y2+3y3x2=y2-2y3x3=y3(4.21)即x=Cy，其中由于detC=1，故C为满秩矩阵.对于二次型，引入矩阵及变换式(4.21)后，即有f(x1,x2,x3)=xTAx=(Cy)TACy=yTCTACy若二次型用变量y表示，则相应的对角矩阵为易知上述配方法总是可行的，所以有下面的结论.定理1任何一个二次型都可化为标准型.即任何一个对称矩阵A，总能找到可逆矩阵C，使得CTAC成为对角矩阵.2.用正交变换法化二次型为标准型上面介绍了用配方法把二次型化为标准型.除了这个方法以外还有更重要的方法——正交变换法.在这一节的前面曾指出，平面上二次曲线的分类问题关键是要把x，y的二次型

ax2+2bxy+cy2经过变量代换x=x′cosθ-y′sinθy=x′sinθ+y′cosθ(4.27)化为平方和的形式a′x′2+b′y′2这里变量代换(4.27)的系数矩阵是一个正交矩阵.如果变量代换的系数矩阵是正交矩阵，则称之为正交变换.现在我们将说明对二次型一定可以经过正交变换把它化成标准型.定理2对于任何一个二次型f(x1，x2，…，xn)，一定能找到一个正交矩阵U，使得经过正交变换x=Uy把它化为标准型λ1y21+λ2y22+…+λny2n其中λ1，λ2，…，λn是二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵A的