2022年江苏省南京市第八中学高三数学文期末试卷含解析

2022年江苏省南京市第八中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数则实数（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D略2.三棱锥D—ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与BCA为面的二面角的大小为

（

）

A．300

B．450

C．

600

D．

900参考答案：答案：C3.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．8

B．

C．

D．参考答案：C略4.下列说法中正确的是A.先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B.线性回归直线不一定过样本中心点C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1

D.设随机变量服从正态分布，则参考答案：D5.若集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：B略6.曲线在点处的切线方程为A.

B.C.

D.参考答案：C7.已知复数z满足，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】首先求得复数z，然后求解其共轭复数并确定模即可.【详解】由题意可得：，则.故选：A.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

8.四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，若AB=2，PA=1，则此四棱锥的外接球的体积为（）A．36π B．16π C． D．参考答案：C【考点】球内接多面体．【分析】把四棱锥P﹣ABCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥P﹣ABCD的外接球的直径2R．利用勾股定理得出R，即可得出此四棱锥的外接球的体积．【解答】解：把四棱锥P﹣ABCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥P﹣ABCD的外接球的直径2R．∴（2R）2=22+22+12=9，∴R=，∴此四棱锥的外接球的体积为=．故选：C．9.已知A，B是圆上的两个动点，，若M是线段AB的中点，则的值为A． B． C．2 D．3参考答案：D解析：由，所以，又为等边三角形，所以.故答案选D10.设全集I=R，集合A={y|y=x2﹣2}，B={x|x＜3}，则（?1A）∩B=(

)A．{x|x＜﹣2} B．{x|x≤﹣2} C．{x|x＜3} D．{x|﹣2≤x＜3}参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出A的补集与B的交集即可．【解答】解：由A中y=x2﹣2≥﹣2，得到A={x|x≥﹣2}，∵全集I=R，∴?IA={x|x＜﹣2}，由B={x|x＜3}，则（?IA）∩B={x|x＜﹣2}，故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在正三棱锥V﹣ABC内，有一个半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积的最小时，其底面边长为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由于正三棱锥的侧面为全等的等腰三角形，故侧面与球的切点在棱锥的斜高上，利用等积法得出棱锥的高与棱锥底面边长的关系，得出棱锥的体积关于高h的函数V（h），利用导数与函数的最值得关系计算V（h）的极小值点，然后转化为底面边长得答案．【解答】解：设△ABC的中心为O，取AB中点D，连结OD，VD，VO，设OD=a，VO=h，则VD==．AB=2AD=2a．过O作OE⊥VD，则OE=2，∴S△VOD=OD?VO=VD?OE，∴ah=2，整理得a2=（h＞2）．∴V（h）=S△ABC?h=××a2h=a2h=．∴V′（h）=4×=4×．令V′（h）=0，得h2﹣12=0，解得h=2．当2＜h＜2时，V′（h）＜0，当h＞2时，V′（h）＞0，∴当h=2，即a=，也就是AB=时，V（h）取得最小值．故答案为：．【点评】本题考查了球与外切多面体的关系，棱锥的体积计算，导数与函数的最值，属于中档题．12.已知{an}，{bn}均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，总有=，则=

．参考答案：9【考点】8E：数列的求和．【分析】设{an}，{bn}的公比分别为q，q′，利用=，求出q=9，q′=3，可得=3，即可求得结论．【解答】解：设{an}，{bn}的公比分别为q，q′，∵=，∴n=1时，a1=b1．n=2时，．n=3时，．∴2q﹣5q′=3，7q′2+7q′﹣q2﹣q+6=0，解得：q=9，q′=3，∴．故答案为：9．13.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y=4，曲线C2：（θ为参数），过原点O的直线l分别交C1，C2于A，B两点，则的最大值为．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】求出曲线（θ为参数）的普通方程，设直线方程为kx﹣y=0，求出|OA|，|OB|，即可求出的最大值．【解答】解：曲线（θ为参数），普通方程为（x﹣1）2+y2=1．设直线方程为kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=，∴|OB|=2=，kx﹣y=0与x+y=4联立，可得A（，），∴|OA|=，∴=，设k+1=t（t＞0），则=≤=．∴的最大值为．故答案为．14.已知,则=

.参考答案：15.已知命题“若为任意的正数，则”．能够说明是假命题的一组正数的值依次为

．参考答案：1,2,3（只要填出，的一组正数即可）16.已知两点等分单位圆时，有相应正确关系为：；三点等分单位圆时，有相应正确关系为．由此可以推知四点等分单位圆时的相应正确关系：

参考答案：

17.若____________.参考答案： 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）求证：平面BDGH∥平面AEF；（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．参考答案：【考点】组合几何体的面积、体积问题；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直；（II）利用线线平行证明GH∥平面AEF，OH∥平面AEF．由面面平行的判定定理可证面面平行；（III）把多面体分割成四棱锥A﹣BDEF和四棱锥C﹣BDEF，分别求出体积，再求和．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，且AC?平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF；（Ⅱ）证明：在△CEF中，∵G、H分别是CE、CF的中点，∴GH∥EF，又∵GH?平面AEF，EF?平面AEF，∴GH∥平面AEF，设AC∩BD=O，连接OH，在△ACF中，∵OA=OC，CH=HF，∴OH∥AF，又∵OH?平面AEF，AF?平面AEF，∴OH∥平面AEF．又∵OH∩GH=H，OH、GH?平面BDGH，∴平面BDGH∥平面AEF．（Ⅲ）由（Ⅰ），得AC⊥平面BDEF，又∵AO=，四边形BDEF的面积S=3×=6，∴四棱锥A﹣BDEF的体积V1=×AO×S=4，同理，四棱锥C﹣BDEF的体积V2=4．∴多面体ABCDEF的体积V=8．【点评】本题考查了面面垂直的性质，面面平行的判定，考查了用分割法求多面体的体积，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．19.(本小题满分12分)

某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30.第6小组的频数是7.（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；（Ⅲ）若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知、的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率.参考答案：解：（Ⅰ）第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，∴此次测试总人数为(人).∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．…………4分（Ⅱ）直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等.前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内.

…………8分（Ⅲ）设成绩优秀的9人分别为则选出的2人所有可能的情况为：.共36种，其中、到少有1人入选的情况有15种，∴、两人至少有1人入选的概率为…………12分20.（本题12分）在如图所示的几何体中，四边形ABDE为梯形，AE//BD，AE平面ABC，ACBC，AC=BC=BD=2AE，M为AB的中点.

（I）求证：CMDE；（II）求锐二面角的余弦值.参考答案：21.已知向量

与

共线，设函数。（1）求函数的周期及最大值；（2）已知锐角△ABC中的三个内角分别为A、B、C，若有，边BC＝，，求△ABC的面积．参考答案：（1）因为，所以（2）┄┄┄┄┄┄┄┄14分22.如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC=BC，M，N分别是棱CC1，AB的中点．（1）求证：CN⊥平面ABB1A1；（2）求证：CN∥平面AMB1．参考答案：.证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CN?平面ABC，∴AA1⊥CN，∵AC=BC，N是棱AB的中点，∴CN⊥AB，∵AA1∩AB=A，AA1?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1