2021年辽宁省大连市第一一三中学高三数学理联考试题含解析

2021年辽宁省大连市第一一三中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.参考答案：D2.下列函数中既有奇函数，又在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．参考答案：B略3.函数的图象关于直线对称，且在[0,+∞)上单调递减.若时，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：4.定义域为上的奇函数满足，且，则（

）A．2

B．1

C.-1

D．-2参考答案：C5.O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平行向量与共线向量．【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．2++=，可得=﹣2==2，因此点O是直线AE的中点．可得B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，点M为AC的中点．利用平行线的性质即可得出．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．∵2++=，∴=﹣2==2，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC，=t，∴t=．故选：B．6.是的 (

)A.充分必要条件

B.充分不必要条件 C.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件参考答案：C由可得,设集合.由可得,设集合,显然集合是的真子集,故是的必要不充分条件.故选C.7.复数（为虚数单位）的虚部是（）

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】B

===所以虚部为故选B【思路点拨】先化简成最简形式，然后确定虚部。8.已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则?R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B．（﹣∞，3）∪[5，+∞） C．（﹣∞，3]∪[5，+∞） D．（﹣∞，3]∪（5，+∞）参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合B，再计算A∩B，最后计算CR（A∩B）．【解答】解：∵B={x|2＜x＜5}，∴A∩B={x|3≤x＜5}，∴CR（A∩B）=（﹣∞，3）∪[5，+∞）．故答案选B．【点评】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系．9.设点P是曲线上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．【专题】计算题．【分析】求出曲线解析式的导函数，根据完全平方式大于等于0求出导函数的最小值，由曲线在P点切线的斜率为导函数的值，且直线的斜率等于其倾斜角的正切值，从而得到tanα的范围，由α的范围，求出α的范围即可．【解答】解：∵y′=3x2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又∵0≤α≤π，∴0≤α＜或．则角α的取值范围是[0，）∪[，π）．故选C．【点评】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用切线的斜率与倾斜角之间的关系k=tanα进行求解．10.已知，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若一个正三棱柱的各条棱均与一个半径为的球相切，则该正三棱柱的体积为____________参考答案：略12.实数x、y满足，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是．参考答案：[﹣1，1]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC=﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤kBA=1∴﹣1≤a＜0，综上a∈[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．13.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是

.参考答案：由，得，当，得，由图象可知，要使函数有三个不同的零点，则有，即，所以实数的取值范围是。14.已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是

．参考答案：15.（不等式选讲）对于任意实数和b，不等式恒成立，则实数x的取值范围是

．参考答案：16.展开式中项系数为

.参考答案：1617.已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则的取值范围为．参考答案：（0，]【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设∠APC=2θ，用θ表示出，求出θ的范围即可得出的范围．【解答】解：设∠APB=2θ，则PA=PB=，当OP取得最小值时，θ取得最大值．圆心C（2，1）到直线x+2y﹣9=0的距离为=，圆的半径为r=1，∴sinθ的最大值为=，∴≤cosθ＜1．∵≤2cos2θ﹣1＜1，即≤cos2θ＜1．=cos2θ=?cos2θ．设cos2θ=t，f（t）==，则f′（t）=，令f′（t）=0得t=﹣1+或t=﹣1﹣，∴f（t）在[，1）上单调递增，∴f（t）的最大值为f（）=，又f（1）=0，∴0＜f（t）≤．故答案为（0，]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(I)求角B的大小；(Ⅱ)若b=1，求的取值范围．参考答案：19.（本小题满分12分）已知等差数列满足：，．的前n项和为．（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）令bn=（nN*），求数列的前n项和．参考答案：（本小题共12分）（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为d,

……………

(1分)……(4分)………………

(6分)（Ⅱ），故…

(8分)

所以数列的前n项和=……

(12分)略20.已知抛物线C：y2=2px（p＞0），圆M：（x﹣2）2+y2=4，圆心M到抛物线准线的距离为3，点P（x0，y0）（x0≥5）是抛物线在第一象限上的点，过点P作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点．（1）求抛物线C的方程；（2）求△PAB面积的最小值．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）由题知，即可得到抛物线方程；（2）设切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0），可得切线与x轴的交点为，圆心（2，0）到切线的距离为2，得：．设两条切线的斜率分别为k1，k2，则，∴=．根据x0≥5可求得△PAB面积的最小值为．【解答】解：（）由题知，所以抛物线方程为：y2=4x．

…（4分）（2）设切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0），令y=0，解得，所以切线与x轴的交点为，圆心（2，0）到切线的距离为，∴，整理得：．设两条切线的斜率分别为k1，k2，则，∴=,x0≥5可求得△PAB面积的最小值为．．21.

数列{an}是一等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn＝(bn－1)，若a2＝b1，a5＝b2．（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：解(1)∵S1＝(b1－1)＝b1，∴b1＝－2．又S2＝(b2－1)＝b1＋b2＝－2＋b2，∴b2＝4，∴a2＝－2，a5＝4．∵{an}为等差数列，∴公差d＝＝＝2，即an＝－2＋(n－2)·2＝2n－6．(2)∵Sn＋1＝(bn＋1－1)①，Sn＝(bn－1)②，①－②得Sn＋1－Sn＝(bn＋1－bn)＝bn＋1，∴bn＋1＝－2bn，∴数列{bn}是一等比数列，公比q＝－2，b1＝－2，即bn＝(－2)n．∴Sn＝[(－2)n－1]22.已知命题P：函数y=loga（2x+1）在定义域上单调递增；命题q：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立，若p且?q为真命题